1、 2021 年湖南省娄底市中考联考年湖南省娄底市中考联考数学数学试卷（二）试卷（二） 一一.选择题（每小题选择题（每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）2021 的相反数是（ ） A2021 B12021 C12021 D2021 2 （3 分）2021 年 3 月 5 日，国务院总理李克强在政府工作报告中回顾 2020 年工作时说到年初剩余的 551万农村贫困人口全部脱贫551 万用科学记数法表示为（ ） A5.51102 B5.51107 C551104 D5.51106 3（3 分） 将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起， 若130， 则2 的度数为 （
2、） A10 B15 C20 D30 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa3a4a12 B （3x）39x3 C （b3）2b5 Da10a2a8 5 （3 分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A B C D 6 （3 分）若点 A（3，2）与点 B 关于 x 轴对称，则点 B 的坐标是（ ） A （3，2） B （3，2） C （3，2） D （3，2） 7 （3 分）若关于 x 的一元二次方程（k+2）x23x+10 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak14且 k2 Bk14 Ck14且 k2 Dk14 8 （3 分）某校男子篮球队 10 名队员进行定点投篮练习，每
3、人投篮 10 次，他们投中的次数统计如表： 投中次数 3 5 6 7 9 人数 1 3 2 2 2 则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ） A5，6，6.2 B2，6，6 C5，5，6 D5，6，5 9 （3 分） 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺） ，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ） A4 尺 B4.55 尺 C5 尺 D5.55 尺 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB1，B
4、C3将矩形绕点 A 顺时针旋转 90，到达 ABCD的位置，则点 C 和点 C之间的距离为（ ） A2 B32 C25 D42 11 （3 分）如图，正五边形 ABCDE 内接于O，P 为上的一点（点 P 不与点 D 重合） ，则CPD 的度数为（ ） A30 B36 C60 D72 12 （3 分）对于一个函数，自变量 x 取 c 时，函数值 y 等于 0，则称 c 为这个函数的零点若关于 x 的二次函数 yx210 x+m（m0）有两个不相等的零点 x1，x2（x1x2） ，关于 x 的方程 x2+10 xm20有两个不相等的非零实数根 x3，x4（x3x4） ，则下列关系式一定正确的是（
5、 ） A0131 B131 C0241 D241 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）一个扇形的半径为 6，圆心角为 120，则该扇形的面积是 14 （3 分）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，若 AB2，则 PB 15 （3 分）如图，随机闭合开关 S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发光的概率为 16 （3 分）已知一次函数 y（k3）x+1 的图象经过第一、二、四象限，则 k 的取值范围是 17 （3 分）关于 x 的不等式 2x+a1 只有 2 个正整数解，则 a 的取值范围为 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数
6、 y4x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点正方形 ABCD 的顶点 C、D 在第一象限，顶点 D 在反比例函数 y=（k0）的图象上若正方形 ABCD 向左平移 n 个单位后，顶点 C 恰好落在反比例函数的图象上，则 n 的值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 12 分）分） 19 （6 分）计算： （1）0+|2 3|12 +（12）1 20 （6 分）先化简，再求值：(22+1142+2) (1 42+14)，其中 x3 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分
7、16 分）分） 21 （8 分）随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握 3 项技巧的为 A 类，掌握 2 项技巧的为 B 类，掌握 1 项技巧的为 C 类，掌 握 0 项技巧的为 D 类，并绘制了如图两幅不完整的统计图请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）被调查的学生一共有 人；并请补全条形统计图； （2）若初二年级共有 2500 名学生，则初二年级大约有 名学生已掌握 3 项训练技巧； （3） A 类的 5 名同学中有且仅有 2
8、 名来自同一个班， 现 A 类的 5 名同学中随机抽取 2 名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率 22 （8 分）某中学门口新装了一批太阳能路灯，在路面 A 点观察点 D 的仰角为 60，观察点 C 的仰角为45，灯管安装处 D 点与太阳能电池板安装处 E 点在同一水平线上，已知灯管支架 CD 长度为 1.4 米，且DCE53，求路灯杆 BE 的高度 （结果精确到 0.1 米，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，3 1.732） 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，满分分，满分 18
9、 分）分） 23 （9 分）某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅，若同时开放 1 个大餐厅、2 个小餐厅，可供 1600 名学生就餐；若同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供 2000 名学生就餐 （1）求 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐？ （2）按照疫情防控的就餐要求，每个大餐厅只能容纳原来就餐人数的 40%，每个小餐厅只能容纳原来就餐人数的 30%，若同时开放 7 个餐厅，能否供返校的 1800 名毕业生同时就餐？请说明理由 24 （9 分）如图，点 O 是ABC 内一点，连接 OB、OC，并将 AB、OB、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连接，得到四边形
10、 DEFG （1）求证：四边形 DEFG 是平行四边形； （2）如果OBC45，OCB30，OC4，求 EF 的长 六、综合题（本大题共六、综合题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 25 （10 分）如图，四边形 ABEC 是平行四边形，过 A、B、C 三点的O 与 CE 相交于点 D连接 AD、OD，DB 是ADE 的角平分线 （1）判断BDE 的形状，并说明理由； （2）求证：BE 是O 的切线； （3）如果 AB4，DE2，求O 的面积 26 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，
11、且 OBOC （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 在抛物线上，且POBACB，求点 P 的坐标； （3）抛物线上两点 M，N，点 M 的横坐标为 m，点 N 的横坐标为 m+4点 D 是抛物线上 M，N 之间的动点，过点 D 作 y 轴的平行线交 MN 于点 E 求 DE 的最大值； 点 D 关于点 E 的对称点为 F，当 m 为何值时，四边形 MDNF 为矩形 2021 年湖南省娄底市中考数学联考试卷（二）年湖南省娄底市中考数学联考试卷（二） 答案与答案与解析解析 一一.选择题（每小题选择题（每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）2021 的相反数是（ ） A2021
12、B12021 C12021 D2021 【分析】利用相反数的定义分析得出答案 【解答】解：2021 的相反数是：2021 故选：D 2 （3 分）2021 年 3 月 5 日，国务院总理李克强在政府工作报告中回顾 2020 年工作时说到年初剩余的 551万农村贫困人口全部脱贫551 万用科学记数法表示为（ ） A5.51102 B5.51107 C551104 D5.51106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数，当原数绝对
13、值1 时，n 是负整数 【解答】解：551 万55100005.51106 故选：D 3（3 分） 将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起， 若130， 则2 的度数为 （ ） A10 B15 C20 D30 【分析】根据平行线的性质，即可得出1ADC30，再根据等腰直角三角形 ADE 中，ADE45，即可得到2453015 【解答】解：ABCD， 1ADC30， 又等腰直角三角形 ADE 中，ADE45， 2453015， 故选：B 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa3a4a12 B （3x）39x3 C （b3）2b5 Da10a2a8 【分析】分别按照同底数幂的乘法、
14、积的乘方、幂的乘方和同底数幂的除法法则计算验证即可 【解答】解：A、a3a4a7，故 A 错误； B、 （3x）327x3，故 B 错误； C、 （b3）2b6，故 C 错误； D、a10a2a8，故 D 正确 故选：D 5 （3 分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A B C D 【分析】根据几何体的三视图判断即可 【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥 故选：D 6 （3 分）若点 A（3，2）与点 B 关于 x 轴对称，则点 B 的坐标是（ ） A （3，2） B （3，2） C （3，2） D （3，2） 【分析】关于 x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此
15、即可求得点（3，2）关于 x 轴对称的点 B 的坐标 【解答】解：点 A（3，2）与点 B 关于 x 轴对称， 点 B 的坐标是（3，2） 故选：B 7 （3 分）若关于 x 的一元二次方程（k+2）x23x+10 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak14且 k2 Bk14 Ck14且 k2 Dk14 【分析】 根据一元二次方程的定义和根的判别式得出 k+20 且 （3）24 （k+2） 10， 求出即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（k+2）x23x+10 有实数根， k+20 且（3）24（k+2） 10， 解得：k14且 k2， 故选：C 8 （3 分）某校男子篮球队 10
16、 名队员进行定点投篮练习，每人投篮 10 次，他们投中的次数统计如表： 投中次数 3 5 6 7 9 人数 1 3 2 2 2 则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ） A5，6，6.2 B2，6，6 C5，5，6 D5，6，5 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数 【解答】解：在这一组数据中 5 是出现次数最多的，故众数是 5 次； 处于中间位置的两个数的平均数是（6+6）26，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位
17、数是 6次 平均数是： （3+15+12+14+18）106.2（次） ， 所以答案为：5、6、6.2， 故选：A 9 （3 分） 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺） ，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ） A4 尺 B4.55 尺 C5 尺 D5.55 尺 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10 x）尺利用勾 股定理解题即可 【解答】解：设竹子折断处离地面 x 尺
18、，则斜边为（10 x）尺， 根据勾股定理得：x2+32（10 x）2 解得：x4.55 答：原处还有 4.55 尺高的竹子 故选：B 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BC3将矩形绕点 A 顺时针旋转 90，到达 ABCD的位置，则点 C 和点 C之间的距离为（ ） A2 B32 C25 D42 【分析】连接 CC，延长 CB 交 BC 于 E，由旋转的性质可求 ABAB1，BCBC3，由勾股定理可求解 【解答】解：连接 CC，延长 CB 交 BC 于 E， 将矩形绕点 A 顺时针旋转 90，到达 ABCD的位置， ABAB1，BCBC3， BBABBAE90， 四边形 AB
19、EB是矩形， BEAB1，BEAB1， CE4，CE2， CC= 2+ 2= 16+ 4 =25， 故选：C 11 （3 分）如图，正五边形 ABCDE 内接于O，P 为上的一点（点 P 不与点 D 重合） ，则CPD 的度数为（ ） A30 B36 C60 D72 【分析】连接 OC，OD求出COD 的度数，再根据圆周角定理即可解决问题； 【解答】解：如图，连接 OC，OD ABCDE 是正五边形， COD=3605=72， CPD=12COD36， 故选：B 12 （3 分）对于一个函数，自变量 x 取 c 时，函数值 y 等于 0，则称 c 为这个函数的零点若关于 x 的二次函数 yx2
20、10 x+m（m0）有两个不相等的零点 x1，x2（x1x2） ，关于 x 的方程 x2+10 xm20有两个不相等的非零实数根 x3，x4（x3x4） ，则下列关系式一定正确的是（ ） A0131 B131 C0241 D241 【分析】根据题意画出关于 x 的二次函数 yx210 x+m（m0）的图象以及直线 y2，根据图象即可判断 【解答】解：由题意关于 x 的方程 x2+10 xm20 有两个不相等的非零实数根 x3，x4（x3x4） ，就是关于 x 的二次函数 yx210 x+m（m0）与直线 y2 的交点的横坐标， 画出函数的图象草图如下： 抛物线的对称轴为直线 x= 102(1)
21、= 5， x3x15， 由图象可知：0131 一定成立， 故选：A 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）一个扇形的半径为 6，圆心角为 120，则该扇形的面积是 12 【分析】根据题目中的数据和扇形面积的计算公式，可以计算出该扇形的面积 【解答】解：一个扇形的半径为 6，圆心角为 120， 该扇形的面积是：12062360=12， 故答案为：12 14 （3 分）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，若 AB2，则 PB 5 1或3 5 【分析】 根据黄金分割点的定义， 分 APBP 和 APBP 两种情况， AP=512AB 叫做黄金比进
22、行计算，代入数据即可得出 AP 的长 【解答】解：当 APBP 时， AP=5122= 5 1， 当 APBP 时， AP2（5 1）35 故答案为：5 1或3 5 15 （3 分）如图，随机闭合开关 S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发光的概率为 23 【分析】根据题意可得：随机闭合开关 S1，S2，S3中的两个，有 3 种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为23 【解答】解：P（灯泡发光）=23 故本题答案为：23 16 （3 分）已知一次函数 y（k3）x+1 的图象经过第一、二、四象限，则 k 的取值范围是 k3 【分析】根据 ykx+b，k0，b0 时，函数图象经过第一、二、
23、四象限，则有 k30 即可求解； 【解答】解：y（k3）x+1 的图象经过第一、二、四象限， k30， k3； 故答案为 k3； 17 （3 分）关于 x 的不等式 2x+a1 只有 2 个正整数解，则 a 的取值范围为 5a3 【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有两个正整数解即可得到一个关于 a 的不等式，求得 a 的值 【解答】解：解不等式 2x+a1 得：x12， 不等式有 2 个正整数解，一定是 1 和 2， 根据题意得：2123， 解得：5a3 故答案为：5a3 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y4x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、
24、B 两点正方形 ABCD 的顶点 C、D 在第一象限，顶点 D 在反比例函数 y=（k0）的图象上若正方形 ABCD 向左平移 n 个单位后，顶点 C 恰好落在反比例函数的图象上，则 n 的值是 3 【分析】过点 D 作 DEx 轴过点 C 作 CFy 轴，可证ABODAE（AAS） ，CBFBAO（AAS） ，则可求 D（5，1） ，C（4，5） ，确定函数解析式 y=5，C 向左移动 n 个单位后为（4n，5） ，进而求 n的值； 【解答】解：过点 D 作 DEx 轴，过点 C 作 CFy 轴， ABAD， BAOADE， ABAD，BOADEA， ABODAE（AAS） ， AEBO，D
25、EOA， 易求 A（1，0） ，B（0，4） ， D（5，1） ， 顶点 D 在反比例函数 y=上， k5， y=5， 易证CBFBAO（AAS） ， CF4，BF1， C（4，5） ， C 向左移动 n 个单位后为（4n，5） ， 5（4n）5， n3， 故答案为 3； 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 12 分）分） 19 （6 分）计算： （1）0+|2 3|12 +（12）1 【分析】根据实数的混合计算解答即可 【解答】解：原式1+3 2 23 + 2 = 1 3 20 （6 分）先化简，再求值：(22+1142+2) (1 42
26、+14)，其中 x3 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式=4212(2+1)44214=(2+1)(21)2(2+1)4;(2;1)2= 22;1， 当 x3 时，原式= 25 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 21 （8 分）随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分
27、为了四类：掌握 3 项技巧的为 A 类，掌握 2 项技巧的为 B 类，掌握 1 项技巧的为 C 类，掌 握 0 项技巧的为 D 类，并绘制了如图两幅不完整的统计图请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）被调查的学生一共有 50 人；并请补全条形统计图； （2）若初二年级共有 2500 名学生，则初二年级大约有 250 名学生已掌握 3 项训练技巧； （3） A 类的 5 名同学中有且仅有 2 名来自同一个班， 现 A 类的 5 名同学中随机抽取 2 名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率 【分析】 （1）用 D 的人数除以所占的百分比，求出调查的学生数，再用
28、总人数减去其他类别的人数，求出 C 类的人数，从而补全统计图； （2）用总人数乘以已掌握 3 项训练技巧的人数所占的百分比即可； （3）根据题意先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，继而根据概率公式计算可得 【解答】解： （1）被调查的学生一共有：816%50（人） ； C 类别的人数有：50516821（人） ，补全统计图如下： 故答案为：50； （2）2500550=250（名） ， 答：初二年级大约有 250 名学生已掌握 3 项训练技巧 故答案为：250； （3）将同一个班的 2 名学生均记为 A，其他记为 B、C、D， 列表如下： A A B C D A （A，A） （
29、B，A） （C，A） （D，A） A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （A，D） （B，D） （C，D） 由表可知，共有 20 种等可能结果，其中所抽取的 2 名学生恰好来自同一个班级的有 2 种结果， 所以所抽取的 2 名学生恰好来自同一个班级的概率为220=110 22 （8 分）某中学门口新装了一批太阳能路灯，在路面 A 点观察点 D 的仰角为 60，观察点 C 的仰角为45，灯管安装处 D 点与太阳能电池板安装处 E 点在同一水平线上，已知灯管支架 C
30、D 长度为 1.4 米，且DCE53，求路灯杆 BE 的高度 （结果精确到 0.1 米，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，3 1.732） 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形利用已知角的三角函数分别计算，进而可得结果 【解答】解：如图，作 DFAB 于 F，设 BE 的长度为 x 米， 在 RtDEC 中，DCE53， CDE905337， CECDsin370.84，DECDcos371.12， DEBBDFB90， 四边形 DEBF 是矩形， DEBF1.12，DFBEx， 在 RtABC 中，CAB45，BCx0.84， ABBCx0.84，
31、 AFx0.841.12x1.96， 在 RtAFD 中，DAF60，AFx1.96，DFx， DFAFtan60， x= 3（x1.96） ， 解得：x4.6， 答：路灯杆 BE 的高度约为 4.6 米 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，满分分，满分 18 分）分） 23 （9 分）某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅，若同时开放 1 个大餐厅、2 个小餐厅，可供 1600 名学生就餐；若同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供 2000 名学生就餐 （1）求 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐？ （2）按照疫情防控的就餐要求
32、，每个大餐厅只能容纳原来就餐人数的 40%，每个小餐厅只能容纳原来就餐人数的 30%，若同时开放 7 个餐厅，能否供返校的 1800 名毕业生同时就餐？请说明理由 【分析】 （1）设 1 个大餐厅可供 x 名学生就餐，1 个小餐厅可供 y 名学生就餐，根据“若同时开放 1 个大餐厅、2 个小餐厅，可供 1600 名学生就餐；若同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供 2000 名学生就餐” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）求出疫情防控期间 5 个大餐厅和 2 个小餐厅可供同时就餐的人数，将其与 1800 比较后即可得出结论 【解答】解： （1）设 1 个大
33、餐厅可供 x 名学生就餐，1 个小餐厅可供 y 名学生就餐， 依题意，得： + 2 = 16002 + = 2000， 解得： = 800 = 400 答：1 个大餐厅可供 800 名学生就餐，1 个小餐厅可供 400 名学生就餐 （2）800540%+400230%1840（名） ， 18401800， 同时开放 7 个餐厅，能供返校的 1800 名毕业生同时就餐 24 （9 分）如图，点 O 是ABC 内一点，连接 OB、OC，并将 AB、OB、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连接，得到四边形 DEFG （1）求证：四边形 DEFG 是平行四边形； （2）如果OBC45，OCB30
34、，OC4，求 EF 的长 【分析】 （1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 DGBC，DG=12BC，EFBC，EF=12BC，从而得到 DGEF，DGEF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）过点 O 作 OMBC 于 M，由含 30的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质求得结果 【解答】证明：AB、OB、OC、AC 的中点分别为 D、E、F、G， DGBC，DG=12BC，EFBC，EF=12BC， DGEF，DGEF， 四边形 DEFG 是平行四边形； （2）解：过点 O 作 OMBC 于 M， RtOCM 中，OCM30，OC4 OM
35、=12OC2， CM23， RtOBM 中，OBMBOM45， BMOM2， BC2+23， EF1+3 六、综合题（本大题共六、综合题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 25 （10 分）如图，四边形 ABEC 是平行四边形，过 A、B、C 三点的O 与 CE 相交于点 D连接 AD、OD，DB 是ADE 的角平分线 （1）判断BDE 的形状，并说明理由； （2）求证：BE 是O 的切线； （3）如果 AB4，DE2，求O 的面积 【分析】 （1）根据平行四边形的性质得到CABE，得到EEDB，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接
36、OB，由角平分线的性质得到ADBBDE，根据平行线的性质得到BDEABD，推出ODBOBD，延长 DO 交O 于 G，求得DBG90，根据切线的判定定理即可得到结论； （3）过 C 作 CMAB 于 M，DNAB 于 N，根据平行四边形的性质得到 ACBE，ABCE，求得 ACBD，根据全等三角形的性质得到 AMBN，根据勾股定理得到 DN= 2 2= 42 32= 7，BD= 2+ 2=22，根据相似三角形的性质得到 OD=4147，根据圆的面积即可得到结论 【解答】解： （1）BDE 是等腰三角形； 理由：四边形 ABEC 是平行四边形， CABE， EDBCAB， EEDB， BDBE，
37、 BDE 是等腰三角形； （2）连接 OB， DB 是ADE 的角平分线， ADBBDE， CEAB， BDEABD， ADBABD， ADBABDBDEE， BADDBE， ODOB， ODBOBD， 延长 DO 交O 于 G， DBG90， G+BDG90， DABG， DBEG， DBO+DBE90， DBG90， BE 是O 的切线； （3）过 C 作 CMAB 于 M，DNAB 于 N， 四边形 ABEC 是平行四边形， ACBE，ABCE， ACBD， CMDN，CDMN， 四边形 CMND 是矩形， CMDN，MNCD， RtACMRtBDN（HL） ， AMBN， ABCEAD
38、4，DE2， CDMN2， AMBN1， AN3， DN= 2 2= 42 32= 7， BD= 2+ 2=22， BADG，ANDDBG90， ADNGDB， =， 4=722， DG=8147， OD=4147， O 的面积OD2（4147）2=327 26 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，且 OBOC （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 在抛物线上，且POBACB，求点 P 的坐标； （3）抛物线上两点 M，N，点 M 的横坐标为 m，点 N 的横坐标为 m+4点 D 是抛物线上 M，N 之间的动点，过点 D 作 y
39、 轴的平行线交 MN 于点 E 求 DE 的最大值； 点 D 关于点 E 的对称点为 F，当 m 为何值时，四边形 MDNF 为矩形 【分析】 （1）已知抛物线与 x 轴两交点坐标，可设交点式 ya（x+1） （x+3） ；由 OCOB3 得 C（0，3） ，代入交点式即求得 a1 （2）由POBACB 联想到构造相似三角形，因为求点 P 坐标一般会作 x 轴垂线 PH 得 RtPOH，故可过点 A 在 BC 边上作垂线 AG，构造ACGPOH利用点 A、B、C 坐标求得 AG、CG 的长，由相似三角形对应边成比例推出=12设点 P 横坐标为 p，则 OH 与 PH 都能用 p 表示，但需按P
40、 横纵坐标的正负性进行分类讨论得到用 p 表示 OH 与 PH 并代入 OH2PH 计算即求得 p 的值，进而求点 P 坐标 （3）用 m 表示 M、N 横纵坐标，把 m 当常数求直线 MN 的解析式设 D 横坐标为 d，把 xd 代入直线 MN 解析式得点 E 纵坐标，D 与 E 纵坐标相减即得到用 m、d 表示的 DE 的长，把 m 当常数，对未知数 d 进行配方，即得到当 dm+2 时，DE 取得最大值 由矩形 MDNF 得 MNDF 且 MN 与 DF 互相平分， 所以 E 为 MN 中点， 得到点 D、 E 横坐标为 m+2 由得 dm+2 时，DE4，所以 MN8用两点间距离公式用
41、 m 表示 MN 的长，即列得方程求 m 的值 【解答】解： （1）抛物线与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） 设交点式 ya（x+1） （x+3） OCOB3，点 C 在 y 轴负半轴 C（0，3） 把点 C 代入抛物线解析式得：3a3 a1 抛物线解析式为 y（x+1） （x+3）x24x3 （2）如图 1，过点 A 作 AGBC 于点 G，过点 P 作 PHx 轴于点 H AGBAGCPHO90 ACBPOB ACGPOH = = OBOC3，BOC90 ABC45，BC= 2+ 2=32 ABG 是等腰直角三角形 AGBG=22AB= 2 CGBCBG32 2 =22 =
42、12 OH2PH 设 P（p，p24p3） 当 p3 或1p0 时，点 P 在点 B 左侧或在 AC 之间，横纵坐标均为负数 OHp，PH（p24p3）p2+4p+3 p2（p2+4p+3） 解得：p1=9334，p2=9+334 P（;9;334，;9;338）或（;9:334，;9:338） 当3p1 或 p0 时，点 P 在 AB 之间或在点 C 右侧，横纵坐标异号 p2（p2+4p+3） 解得：p12，p2= 32 P（2，1）或（32，34） 综上所述，点 P 的坐标为（;9;334，;9;338） 、 （;9:334，;9:338） 、 （2，1）或（32，34） （3）如图 2，
43、xm+4 时，y（m+4）24（m+4）3m212m35 M（m，m24m3） ，N（m+4，m212m35） 设直线 MN 解析式为 ykx+n + = 2 4 3( + 4) + = 2 12 35 解得： = 2 8 = 2+ 4 3 直线 MN：y（2m8）x+m2+4m3 设 D（d，d24d3） （mdm+4） DEy 轴 xExDd，E（d， （2m8）d+m2+4m3） DEd24d3（2m8）d+m2+4m3d2+（2m+4）dm24md（m+2）2+4 当 dm+2 时，DE 的最大值为 4 如图 3，D、F 关于点 E 对称， DEEF 四边形 MDNF 是矩形 MNDF，且 MN 与 DF 互相平分 DE=12MN，E 为 MN 中点 xDxE=+42=m+2 由得当 dm+2 时，DE4 MN2DE8 （m+4m）2+m212m35（m24m3）282 解得：m1432，m24+32 m 的值为432或4+32时，四边形 MDNF 为矩形
