1、2022 年四川省绵阳市三台县中考数学模拟试卷（年四川省绵阳市三台县中考数学模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）下列所给的图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）同位素的半衰期（halflife）表示衰变一半样品所需的时间镭226 的半衰期约为 1 600 年，16 00 用科学记数法表示为（ ） A1.6103 B0.16104 C16102 D16010 3 （3 分）如图，点 P 是O 的直径 BA 延长线上一点，PC 与O 相切于点 C，CDAB，垂足为
2、D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：PC2PAPB；PCOCOPCD；OA2ODOP；OA（CPCD）APCD，正确的结论有（ ）个 A1 B2 C3 D4 4 （3 分）ABC 与O 交于 D、E、C、B，A40，C60，则AED 的度数（ ） A60 B40 C80 D100 5 （3 分）如图，点 B 是反比例函数 y（x0）图象上一点，过点 B 分别向坐标轴作垂线，垂足为 A，C反比例函数 y（x0）的图象经过 OB 的中点 M，与 AB，BC 分别相交于点 D，E连接 DE 并延长交 x 轴于点 F，点 G 与点 O 关于点 C 对称，连接 BF，BG则BDF 的面积为（ ）
3、A B C2 D3 6 （3 分）定义运算 aba（1b） ，下列给出了关于这种运算的几个结论： 2（2）6； 2332； 若 a0，则 ab0； 若 2x+x（）3，则 x2 其中正确结论是（ ） A B C D 7 （3 分）在平面直角坐标系中，将抛物线 C1：yx2平移后得到抛物线 C2，使得抛物线 C2恰好经过抛物线 C1的顶点，且抛物线 C2与 x 轴有两个交点，分别记为点 A、点 B若 AB2，抛物线 C2的顶点为点 C，则ABC 的周长是（ ） A3+2 B6+2 C6 D12 8 （3 分）如图所示，CD 是平面镜，光线从 A 点出发经 CD 上的 E 点反射后到达 B 点，若
4、入射角为 ，ACCD，BDCD，垂足分别为 C，D，且 AC3，BD6，CD11，则 tan 的值是（ ） A B C D 9 （3 分）已知 a 是方程 x22x30 的一个实数根，则 2a24a5 的值为（ ） A11 B0 C1 D6 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC2，AB4，O 为边 AB 的中点，P 为矩形 ABCD 外一动点，且APC90，则线段 OP 的最大值为（ ） A5+ B3+ C42 D2+1 11 （3 分）关于 x 的分式方程+1 的解是正数，且关于 y 的不等式组有且仅有 3 个整数解，则满足条件的所有整数 a 的和为（ ） A15 B10 C9
5、D4 12 （3 分）如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，且 BE1，作 DFAE 于点 F，FH 平分DFE，分别交 BD，CD 于点 O，H则 OF 的长度是（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13 （4 分）分解因式：x2xy+xy2 14 （4 分）如图，边长为 2 的菱形 ABCD 的顶点 A，D 分别在直角MON 的边 OM，ON 上滑动若ABC120，则线段 OC 的最大值为 15 （4 分）如图，如果边长为 1 的正六边形 ABCDEF 绕着顶点 A 顺时针旋转 60
6、后与正六边形 AGHMNP重合，点 E 在整个旋转过程中，所经过的路径长为 （结果保留 ） 16 （4 分）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽为 20m，如果水位上升 3m 达到警戒水位时，水面 CD 的宽是 10m如果水位以 0.25m/h 的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过 h 水位达到桥拱最高点 O 17 （4 分）北京世界园艺博览会（简称“世园会” ）园区 4 月 29 日正式开园，门票价格如下： 票种 票价（元/人） 指定日 普通票 160 优惠票 100 平日 普通票 120 优惠票 80 注 1： “指定日”为开园日（4 月 29 日） 、五一劳动节（5 月
7、 1 日） 、端午节、中秋节、十一假期（含闭园日） ， “平日”为世园会会期除“指定日”外的其他日期； 注 2：六十周岁及以上老人、十八周岁以下的学生均可购买优惠票； 注 3：提前两天及以上在线上购买世园会门票，票价可打九折，但仅限于普通票 某大家庭计划在 6 月 1 日集体入园参观游览，通过计算发现：若提前两天线上购票所需费用为 996 元，而入园当天购票所需费用为 1080 元，则该家庭中可以购买优惠票的有 人 18 （4 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0） ，经过点（1，1）和（1，0） ，下列结论：a+b+c0；b24ac； 当 a0 时， 抛物线与 x 轴必有一个交点在 （1
8、， 0） 的右侧； 抛物线的对称轴是直线 x 其中正确的结论是 （只填序号） 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 90 分）分） 19 （16 分）实数计算： （1）2019+3tan30|1|+（3.14）0 20先化简，再求值： （xy+） （x+y） ，其中 x 和 y 是方程 3x+2y8 的正整数解 21 （12 分）中华文化源远流长，文学方面西游记 三国演义 水浒传 红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著” 某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行抽查，根据调查结果绘制了尚不完整的统计图 请根据以上信
9、息，解决下列问题： （1）直接写出本次抽样调查所得的数据的中位数并将条形统计图补充完整； （2） 没有读过四大古典名著的两名学生准备从四部名著中各自随机选择一部来阅读， 求他们恰好选中同一部名著的概率 22 （12 分）阅读理解：对于任意正实数 a、b，0，a2+b0，a+b2，只有当 ab 时，等号成立 结论：在 a+b2（a、b 均为正实数）中，若 ab 为定值 p，则 a+b2，只有当 ab 时，a+b 有最小值 2 根据上述内容，回答下列问题： （1）若 m0，只有当 m 时，m+有最小值 ； （2）若 m0，只有当 m 时，2m+有最小值 ； （3）已知直线 L1：yx+1，若点 C
10、 为双曲线 y上任意一点，作 CDy 轴交直线 L1于点 D，求线段 CD 长的最小值及此时 C、D 点的坐标 23 （12 分）如图，已知O 的半径 OC 垂直于弦 AB，点 P 在 OC 的延长线上，AC 平分PAB （1）求证：PA 是O 的切线； （2）若 PA20，sinP，求 PC 24 （12 分）用总长为 24m 的篱笆围成如图的花圃（四边形 ABEF 和四边形 CDFE 均为矩形） ，现一面利用墙（墙的最大可用长度为 10m） ，设花圃的宽 AB 为 xm，面积为 Sm2 （1）求 S 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围； （2）要围成面积为 45m2的花圃，AB 的长是
11、多少米？ （3）AB 的长为多少米时，围成的花圃面积最大，请直接写出 AB 的长度 25 （12 分）如图，平面直角坐标系中，点 O（0，0） 、A（1，0） ，过点 A 作 x 轴的垂线交直线 yx 于点 B，以 O 为圆心，OA 为半径的圆交 y 轴于 C、D 两点，抛物线 yx2+bx+c 经过 B、D （1）求 b，c 的值； （2）设抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，连接 DE 并延长交O 于 F，求 EF 的长； （3）若O 交 x 轴负半轴于点 G，过点 C 作O 的切线交 DG 的延长线于点 P 探究：点 P 是否在抛物线上？请说明理由 26 （14 分）定义：两个角对应互余，
12、且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形如图 1，在ABC 和DEF 中，若A+EB+D90，且 ABDE，则ABC 和DEF 是余等三角形 （1） 图 2， 等腰直角ABC， 其中ACB90， ACBC， 点 D 是 AB 上任意一点 （不与点 A、 B 重合） ，则图中 和 是余等三角形，并求证：AD2+BD22CD2 （2）图 3，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为 5，且 AD2+BC2100， 求证：ABC 和ADC 是余等三角形 图 4， 连接 BD 交 AC 于点 I， 连接 OI， E 为 AI 上一点， 连接 EO 并延长交 BI 于点 F， 若AD
13、B67.5，IEIF，设 OIx，SEIFy，求 y 关于 x 的函数关系式 2022 年四川省绵阳市三台县中考数学模拟试卷（年四川省绵阳市三台县中考数学模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）下列所给的图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，
14、故此选项正确 故选：D 2 （3 分）同位素的半衰期（halflife）表示衰变一半样品所需的时间镭226 的半衰期约为 1 600 年，16 00 用科学记数法表示为（ ） A1.6103 B0.16104 C16102 D16010 【解答】解：1 6001.6103 故选：A 3 （3 分）如图，点 P 是O 的直径 BA 延长线上一点，PC 与O 相切于点 C，CDAB，垂足为 D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：PC2PAPB；PCOCOPCD；OA2ODOP；OA（CPCD）APCD，正确的结论有（ ）个 A1 B2 C3 D4 【解答】解：PC 与O 相切于点 C， PCB
15、A，PP， PBCPCA， PC2PAPB； OCPC， PCOCOPCD； CDAB，OCPC， OC2ODOP， OAOC， OA2ODOP； APCDOCCPOACD，OAOC， OA（CPCD）APCD， 所以正确的有，共 4 个 故选：D 4 （3 分）ABC 与O 交于 D、E、C、B，A40，C60，则AED 的度数（ ） A60 B40 C80 D100 【解答】解：C+BDE180， BDE18060120， BDEA+AED， AED1204080 故选：C 5 （3 分）如图，点 B 是反比例函数 y（x0）图象上一点，过点 B 分别向坐标轴作垂线，垂足为 A，C反比例函
16、数 y（x0）的图象经过 OB 的中点 M，与 AB，BC 分别相交于点 D，E连接 DE 并延长交 x 轴于点 F，点 G 与点 O 关于点 C 对称，连接 BF，BG则BDF 的面积为（ ） A B C2 D3 【解答】解： （1）设点 B（s，t） ，st8，则点 M（s，t） ， 则 kstst2， BDF 的面积OBD 的面积SBOASOAD823； 故选：D 6 （3 分）定义运算 aba（1b） ，下列给出了关于这种运算的几个结论： 2（2）6； 2332； 若 a0，则 ab0； 若 2x+x（）3，则 x2 其中正确结论是（ ） A B C D 【解答】解：aba（1b） ，
17、 2（2）21（2）2（1+2）236，故正确； 232（13）2（2）4，323（12）3（1）3，故错误； 若 a0，则 aba（1b）0（1b）0，故正确； 2x+x（）3， 2（1x）+x1（）3， 解得 x2，故正确； 故选：C 7 （3 分）在平面直角坐标系中，将抛物线 C1：yx2平移后得到抛物线 C2，使得抛物线 C2恰好经过抛物线 C1的顶点，且抛物线 C2与 x 轴有两个交点，分别记为点 A、点 B若 AB2，抛物线 C2的顶点为点 C，则ABC 的周长是（ ） A3+2 B6+2 C6 D12 【解答】解：设抛物线 C2的解析式为 yx2+bx，点 A 同原点 O 重合，
18、则点 B 的坐标为（2，0）或（2，0） ，如图所示 当点 B 的坐标为（2，0）时，将其代入 yx2+bx 中， 012+2b，解得：b2， 抛物线 C2的解析式为 yx22x， 点 C 的坐标为（，3） ， ACBC2， CABCAB+AC+BC6； 当点 B 的坐标为（2，0）时，同理可求出 ACBC2， CABCAB+AC+BC6 故选：C 8 （3 分）如图所示，CD 是平面镜，光线从 A 点出发经 CD 上的 E 点反射后到达 B 点，若入射角为 ，ACCD，BDCD，垂足分别为 C，D，且 AC3，BD6，CD11，则 tan 的值是（ ） A B C D 【解答】解：因为 AC
19、、BD、法线均和镜面垂直， 所以AB， 而由已知得ACEBDE， 所以即 ， 在三角形 ACE 中 tanAtan 故选：D 9 （3 分）已知 a 是方程 x22x30 的一个实数根，则 2a24a5 的值为（ ） A11 B0 C1 D6 【解答】解：把 xa 代入得到 a22a30， 则 a22a3 2a24a52（a22a）52351， 故选：C 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC2，AB4，O 为边 AB 的中点，P 为矩形 ABCD 外一动点，且APC90，则线段 OP 的最大值为（ ） A5+ B3+ C42 D2+1 【解答】解：如图，连接 AC，取 AC 的中点
20、 E， 矩形 ABCD 中，AB4，BC2，B90，O 为 AB 的中点， AC6， AEEC，AOOB， OE2， APCP， PEAC63， 由三角形的三边关系得，O、E、P 三点共线时 OP 最大， 此时 OP最大3+ 故选：B 11 （3 分）关于 x 的分式方程+1 的解是正数，且关于 y 的不等式组有且仅有 3 个整数解，则满足条件的所有整数 a 的和为（ ） A15 B10 C9 D4 【解答】解：解不等式组，得y3， 有且仅有 3 个整数解， 所以 01， 解得 2a6 解分式方程+1 得 xa3， 因为分式方程的解为正数， 所以 x0，即 a30，解得 a3， 所以 3a6
21、a 是整数， a4，5， a5 时，分式方程无解， 满足条件的所有整数 a 之和为：4 故选：D 12 （3 分）如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，且 BE1，作 DFAE 于点 F，FH 平分DFE，分别交 BD，CD 于点 O，H则 OF 的长度是（ ） A B C D 【解答】解：如图，过点 C 作 CNDF 于点 N，过点 B 作 BPCN 于点 P，交 AE 于点 M，则四边形MFNP 是正方形， FH 平分NFM， 点 P 在 FH 上， 点 O 是正方形 ABCD 的中心， OFOP， AB3，BE1，ABE90， AE， BMAE， BM， AM
22、， ADFBAM， AFBM， FMAMAF， FP， FOFP 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13 （4 分）分解因式：x2xy+xy2 x（y1）2 【解答】解：x2xy+xy2， x（12y+y2） ， x（y1）2 故答案为：x（y1）2 14 （4 分）如图，边长为 2 的菱形 ABCD 的顶点 A，D 分别在直角MON 的边 OM，ON 上滑动若ABC120，则线段 OC 的最大值为 【解答】解：如图，连接 AC，BD 交于 G， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， ABC120， GBC60，BAD60
23、， BGBC1，CGAG， 取 AD 的中点 E，连接 OE， AD2，MON90， OEAE1， 过 E 作 EFAC 于 F， 则DAG30， EFAE，AF， CF， 连接 CE， CE， 连接 OC，有 OCOE+EC， 当 O、E、C 共线时，OC 有最大值，最大值是 OE+CE1+， 故答案为：1+ 15 （4 分）如图，如果边长为 1 的正六边形 ABCDEF 绕着顶点 A 顺时针旋转 60后与正六边形 AGHMNP重合，点 E 在整个旋转过程中，所经过的路径长为 （结果保留 ） 【解答】解：如图，连接 AE、AN， 根据旋转可知： 点 E 在整个旋转过程中，所经过的路径长为弧
24、EN 的长， 过点 F 作 FHAE 于点 H， 在 RtAFH中，AF1，HAF30， AHAFcos301， AFFE， AE2AH， 所以点 E 在整个旋转过程中，所经过的路径长为 故答案为： 16 （4 分）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽为 20m，如果水位上升 3m 达到警戒水位时，水面 CD 的宽是 10m如果水位以 0.25m/h 的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过 4 h 水位达到桥拱最高点 O 【解答】解：设抛物线解析式为 yax2， 因为抛物线关于 y 轴对称，AB20，所以点 B 的横坐标为 10， 设点 B（10，n） ，点 D（5，n+3）
25、， 由题意：， 解得， yx2， 当 x5 时，y1， 故 t4（h） ， 答：再过 4 小时水位达到桥拱最高点 O 故答案为：4 17 （4 分）北京世界园艺博览会（简称“世园会” ）园区 4 月 29 日正式开园，门票价格如下： 票种 票价（元/人） 指定日 普通票 160 优惠票 100 平日 普通票 120 优惠票 80 注 1： “指定日”为开园日（4 月 29 日） 、五一劳动节（5 月 1 日） 、端午节、中秋节、十一假期（含闭园日） ， “平日”为世园会会期除“指定日”外的其他日期； 注 2：六十周岁及以上老人、十八周岁以下的学生均可购买优惠票； 注 3：提前两天及以上在线上购
26、买世园会门票，票价可打九折，但仅限于普通票 某大家庭计划在 6 月 1 日集体入园参观游览，通过计算发现：若提前两天线上购票所需费用为 996 元，而入园当天购票所需费用为 1080 元，则该家庭中可以购买优惠票的有 3 人 【解答】解：设该家庭中可以购买优惠票的有 x 人，购买普通票的有 y 人，由题意得： 得：12y84 y7 将代入得：80 x+12071080 解得：x3 故答案为：3 18 （4 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0） ，经过点（1，1）和（1，0） ，下列结论：a+b+c0；b24ac； 当 a0 时， 抛物线与 x 轴必有一个交点在 （1， 0） 的右侧； 抛
27、物线的对称轴是直线 x 其中正确的结论是 （只填序号） 【解答】解：把点（1，1）和（1，0）代入 yax2+bx+c 中， 得：， a+b+c1， 错误， 由， 得 2a+2c1， 即 a， 当 a，b 异号时，4ac0，而 b20， 错误， 当 a0 时，抛物线开口向下， 由， 得 b， 抛物线的对称轴 x0， 又抛物线经过（1，0） ， 另一个交点到 y 轴的距离大于 1， 抛物线与 x 轴必有一个交点在（1，0）的右侧， 正确，正确， 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 90 分）分） 19 （16 分）实数计算： （1）2019+3tan30|1|+（3.
28、14）0 【解答】解：原式1+3（1）+1 1+1+1 1 20先化简，再求值： （xy+） （x+y） ，其中 x 和 y 是方程 3x+2y8 的正整数解 【解答】解：原式 ， x 和 y 是方程 3x+2y8 的正整数解， 当 x1 时，y（舍去） ； 当 x2 时，y1； 当 x2，y1 时，原式27 21 （12 分）中华文化源远流长，文学方面西游记 三国演义 水浒传 红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著” 某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行抽查，根据调查结果绘制了尚不完整的统计图 请根据以上信息，解决下列问题
29、： （1）直接写出本次抽样调查所得的数据的中位数并将条形统计图补充完整； （2） 没有读过四大古典名著的两名学生准备从四部名著中各自随机选择一部来阅读， 求他们恰好选中同一部名著的概率 【解答】解： （1）调查的总人数为：1025%40（人） ， 阅读 1 部对应的人数为：402108614（人） ， 2+14+102621，2+1420， 中位数为 2 部，将条形统计图补充完整如下： （2）将西游记 三国演义 水浒传 红楼梦分别记作 A，B，C，D， 画树状图可得： 共有 16 种等可能的结果，其中选中同一名著的有 4 种， 故 P（两人选中同一名著） 22 （12 分）阅读理解：对于任意正
30、实数 a、b，0，a2+b0，a+b2，只有当 ab 时，等号成立 结论：在 a+b2（a、b 均为正实数）中，若 ab 为定值 p，则 a+b2，只有当 ab 时，a+b 有最小值 2 根据上述内容，回答下列问题： （1）若 m0，只有当 m 1 时，m+有最小值 2 ； （2）若 m0，只有当 m 2 时，2m+有最小值 8 ； （3）已知直线 L1：yx+1，若点 C 为双曲线 y上任意一点，作 CDy 轴交直线 L1于点 D，求线段 CD 长的最小值及此时 C、D 点的坐标 【解答】解： （1）m0， m+22，当且仅当 m时，即 m1 时，m+有最小值，最小值为 2； 故答案为：1，
31、2； （2）m0， 2m+28，当且仅当 2m时，即 m2 时，2m+有最小值，最小值为 8； 故答案为：2，8 （3）设 C，则：D， CD， CD 最短为 5，此时，n4， C（4，2） ，D（4，3） 23 （12 分）如图，已知O 的半径 OC 垂直于弦 AB，点 P 在 OC 的延长线上，AC 平分PAB （1）求证：PA 是O 的切线； （2）若 PA20，sinP，求 PC 【解答】解： （1）连接 OA， OAOC OCAOAC AC 平分PAB PACBAC OC 垂直于弦 AB， BAC+OCA90 PAC+OAC90 OAPA，且 OA 是半径 PA 是O 的切线； （2
32、）sinP， 设 OP5x，OA3x， OP2OA2AP2400 x5 OAOC15，OP25 PCOPOC10 24 （12 分）用总长为 24m 的篱笆围成如图的花圃（四边形 ABEF 和四边形 CDFE 均为矩形） ，现一面利用墙（墙的最大可用长度为 10m） ，设花圃的宽 AB 为 xm，面积为 Sm2 （1）求 S 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围； （2）要围成面积为 45m2的花圃，AB 的长是多少米？ （3）AB 的长为多少米时，围成的花圃面积最大，请直接写出 AB 的长度 【解答】解： （1）根据题意，得： Sx（243x）3x2+24x， 0243x10， x8 答：
33、S 与 x 的函数关系式为 S3x2+24x，x 值的取值范围是x8； （2）根据题意，得： 当 S45 时，3x2+24x45， 整理，得 x28x+150， 解得 x13，x25， 当 x3 时，BC2491510 不成立， 当 x5 时，BC2415910 成立 答：AB 的长为 5m； （3）S3x2+24x3（x4）2+48， x8， 对称轴 x4，开口向下， 当 x时，S 最大，最大值 答：当 AB 的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米 25 （12 分）如图，平面直角坐标系中，点 O（0，0） 、A（1，0） ，过点 A 作 x 轴的垂线交直线 yx 于点 B，以
34、O 为圆心，OA 为半径的圆交 y 轴于 C、D 两点，抛物线 yx2+bx+c 经过 B、D （1）求 b，c 的值； （2）设抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，连接 DE 并延长交O 于 F，求 EF 的长； （3）若O 交 x 轴负半轴于点 G，过点 C 作O 的切线交 DG 的延长线于点 P 探究：点 P 是否在抛物线上？请说明理由 【解答】 （1）点 B（1，1） ，D（0，1） ， 将 B（1，1） ，D（0，1） ，代入 yx2+bx+c，得 b1，c1； （2）由，DE 连接 CF，由CFDEOD，得， FD，EFFDDE （3）点 P 在抛物线上 设过 D、G 点的直线为：y
35、kx+b， 将点 G（1，0） ，D（0，1）代入 ykx+b， 得直线 DG 为：yx1 过点 C 作O 的切线 CP 与 x 轴平行，P 点的纵坐标为 1， 将 y1 代入 yx1，得：x2 P 点的坐标为（2，1） 又当 x2 时，yx2+x11， P 点在抛物线 yx2+x1 上 26 （14 分）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形如图 1，在ABC 和DEF 中，若A+EB+D90，且 ABDE，则ABC 和DEF 是余等三角形 （1） 图 2， 等腰直角ABC， 其中ACB90， ACBC， 点 D 是 AB 上任意一点 （不与点 A、 B 重
36、合） ，则图中 ACD 和 BCD 是余等三角形，并求证：AD2+BD22CD2 （2）图 3，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为 5，且 AD2+BC2100， 求证：ABC 和ADC 是余等三角形 图 4， 连接 BD 交 AC 于点 I， 连接 OI， E 为 AI 上一点， 连接 EO 并延长交 BI 于点 F， 若ADB67.5，IEIF，设 OIx，SEIFy，求 y 关于 x 的函数关系式 【解答】解： （1）ABC 是等腰直角三角形， A+B90，ACD+BCD90，ACBC， ACD 和BCD 是余等三角形， 过 D 作 DEAC 于 E，过 D 作 DFBC
37、 于 F，如图： ABC 是等腰直角三角形， AB45， ADE 和BDF 是等腰直角三角形， DE，DF， DEAC，DFBC，ACB90， 四边形 CEDF 是矩形， CEDF， RtDCE 中，DE2+CE2CD2， （）2+（）2CD2， AD2+BD22CD2； 故答案为：ACD，BCD； （2）连接 DO 并延长交O 于 E，连接 AE、CE，如图： DE 是O 直径， EAD90， 在 RtEAD 中，AD2+AE2DE2100， AD2+BC2100， AEBC， ACEBAC， AECCBA，ACAC， AECCBA（AAS） ， EACBCA， EAC+CAD90， BCA
38、+CAD90， 同理可得：BAC+ACD90， 而 ACAC， ABC 和ADC 是余等三角形； 连接 OA、OB，过 O 作 OMBD 于 M，过 O 作 ONAC 于 N，如图： 由知：BAC+ACD90， 又ACDABD， BAC+ABD90， ACBD， IEIF， EFI 是等腰直角三角形， OMBD， MOF 是等腰直角三角形， OMFM， EFI 是等腰直角三角形， AEOBFO135， ADB67.5， AOB2ADB135， AOE45BOFOBF， 且 OAOB， AOEOBF（AAS） ， OEBF， 设 OEBFa，OMFMb，则 ONMIa，OFAEb， 在 RtOIM 中， （a）2+b2x2，化简得 a2+2b22x2， 在 RtOBM 中， （a+b）2+b252，化简得 a2+2b2+2ab25， 2ab252x2， yEIFI（a+b）2（a2+2b2）+abx2+
