1、2022 年四川省自贡市中考模拟年四川省自贡市中考模拟数学数学试卷（试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分）分） 1 （4 分）将有理数 682000000 用科学记数法表示，其中正确的是（ ） A68.2108 B6.82108 C6.82107 D6.82109 2 （4 分） 如图是一个正方体展开图， 图中的六个正方形内分别标有： “祝” 、 “你” 、 “考” 、 “试” 、 “顺” 、 “利” ，将其围成一个正方体后，则与“考”相对的是（ ） A祝 B你 C顺 D利 3 （4 分）下列计算正确的是（ ） Aa+a2a3 Ba6a3a3 C （a2b
2、）3a6b3 D （a+2）2a2+4 4 （4 分） “致中和，天地位焉，万物育焉 ”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 5 （4 分）如图，五边形 ABCDE 中，P 为 BC 上一点，PAEAPE，DAEADE，且 EABA，PEBC，EDCD，若PDAx，PADy，则C 的度数为（ ） A1802x B1802y C180 xy D90+x+y 6 （4 分） “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交水稻在全世界推广种植，2021 年 5 月
3、22 日他离开了世界，但他的两个梦想已然实现平凉市李大爷为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取了 9 株水稻苗，测得苗高分别是：25，23，26，25，23，24，22，24，23（单位 cm） ，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A23，23 B24，24 C24，23 D24，25 7 （4 分）若 x23x 的值为 4，则 3x29x3 的值为（ ） A1 B9 C12 D15 8 （4 分）如图，在ABC 中，ACB90，ABC60，AB4，顶点 A，B 分别在 x 轴正半轴和 y轴正半轴上滑动，连接 OC当 OC 的长度最大时，点 C 的坐标为（ ） A （2，2）
4、B （4，2） C （2，） D （4，） 9 （4 分）已知直角三角形的面积为定值，其两条直角边的长度 a（cm）与 b（cm）之间的函数关系如图所示下列结论正确的是（ ） A当直角边的长度 a 不大于 9 时，直角边 b 的长度要小于 4 B三角形的面积是 36 Ca 与 b 之间的函数关系式是 a D当 b20 时，a2 10 （4 分）如图，割线 PAB、PCD 分别交O 于点 A、B 和点 C、D，且 ABCD8，已知O 半径等于 5，OAPC，则圆心 O 与点 P 之间的距离等于（ ） A3 B3 C9 D3 11 （4 分）如图，将边长为 3 的正方形 ABCD 纸片沿 EF 折
5、叠，点 C 落在 AB 边上的点 G 处，点 D 与点 H重合，CG 与 EF 交于点 P，取 GH 的中点 Q，连接 PQ，则GPQ 的周长最小值是（ ） A B C D 12 （4 分）如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C，D 都在格点上，点 E 在 AB 的延长线上，以 A 为圆心，AE 为半径画弧，交 AD 的延长线于点 F，且弧 EF 经过点 C，则扇形 AEF 的面积为（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13 （4 分）若x表示不大于 x 的最大整数，例如4.24，则 14 （
6、4 分）为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表： 一周内做饭次数 2 3 4 5 6 人数 7 6 12 10 5 那么一周内该班学生的平均做饭次数为 15 （4 分）计算的结果为 16 （4 分）已知 a，b，c，d 表示 4 个不同的正整数，满足 a+b2+c3+d490，其中 d1，则 a+2b+3c+4d 的最大值是 17 （4 分）如图，图、图、图均为 44 的正方形网格，线段 AB 的端点均在格点上，按要求在图、图、图中各画一条线段 CD，将线段 AB 分为 2：3 两部分 要求： （1）所画线段 CD 的位置不同 （2）点 C、D
7、均在格点上 18 （4 分）若函数 y4x+1 的图象上存在两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，若 x1x2，则 y1 y2 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （8 分）计算 （1）； （2） 20 （8 分）如图，已知矩形 ABCD，过点 C 作 CEBD 交 AB 的延长线于点 E求证：ACEC 21 （8 分）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是 1.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 30；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是 0.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 45两人相距
8、5 米且位于旗杆同侧（点 B、D、F 在同一直线上） （1）求小敏到旗杆的距离 DF （结果保留根号） （2）求旗杆 EF 的高度 （结果保留整数，参考数据：1.4，1.7） 22 （8 分）某工程队负责对一面积为 33000 平方米的非法砂石码头进行拆除、回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 11 天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米 23 （10 分）中央电视台举办的“中国诗词大会”节目受到中学生的广泛关注，某中学为了解该校初三学生对观看“中国诗词大会”节目的喜爱程度，对该校初三部分学生进行了随机抽样调查，并绘制出如图
9、所示的两幅统计图，在条形图中，从左向右依次为：A 级（非常喜欢） ，B 级（较喜欢） ，C 级（一般） ，D级（不喜欢） ，请结合两幅统计图，回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是 ，表示“D 级（不喜欢） ”的扇形的圆心角为 ； （2）若该校初三有 1200 名学生，请你估计该年级观看“中国诗词大会”节目 B 级（较喜欢）的学生人数； （3）若从本次调查中的 A 级（非常喜欢）的 5 名学生中，选出 2 名去参加长沙中学生诗词大会比赛，已知 A 级学生中男生有 3 名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选出的 2 名学生中至少有 1 名女生的概率 24 （10 分）重庆八中的学子
10、课外活动丰富多彩，开展了很多社团活动最近数学社的同学在探究函数 y的图象与性质，请你根据之前学习函数的经验和方法，画出函数图象，并回答下列问题 （1）选择恰当的值补充表格，在平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数图象 x y （2） 根据函数图象， 判断下列关于该函数性质的说法是否正确， 正确的在答题卡上相应的括号内打 “” ，错误的在答题卡上相应的括号内打“” 该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为 y 轴 （ ） 当 x0 时，函数取得最大值 5；当 x5 或 5 时，函数取得最小值 0 （ ） 当5x0 时，y 随 x 的增大而减小；当 0 x5 时，y 随
11、 x 的增大而增大 （ ） （3）请结合（1）中函数图象，直接写出关于 x 的不等式x+3 的解集 25 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（6，0） ，点 B（0，6） ，动点 C 在以原点 O 为圆心，半径为 3 的O 上，连接 OC，过点 O 作 ODOC，OD 与O 相交于点 D（其中点 C，O，D 按逆时针方向排列） ，连接 AB （1）当 OCAB 时，BOC 的度数为 ； （2）连接 AC，BC，当点 C 在O 上运动到什么位置时，ABC 的面积最大？并求出ABC 面积的最大值 （3）连接 AD，当 OCAD，点 C 位于第二象限时， 求出点 C 的坐标； 直线
12、 BC 是否为O 的切线？并说明理由 26 （14 分）综合与探究 如图，抛物线 yx2+2x6 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，连接 AC，BC （1）求 A、B，C 三点的坐标并直接写出直线 AC，BC 的函数表达式 （2）点 P 是直线 AC 下方抛物线上的一个动点，过点 P 作 BC 的平行线 l，交线段 AC 于点 D 试探究：在直线 l 上是否存在点 E，使得以点 D，C，B，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 E的坐标，若不存在，请说明理由； 设抛物线的对称轴与直线 l 交于点 M，与直线 AC 交于点 N当 SDMNSAO
13、C时，请直接写出 DM 的长 参考答案解析参考答案解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分）分） 1 （4 分）将有理数 682000000 用科学记数法表示，其中正确的是（ ） A68.2108 B6.82108 C6.82107 D6.82109 【解答】解：682000000 用科学记数法表示为 6.82108， 故选：B 2 （4 分） 如图是一个正方体展开图， 图中的六个正方形内分别标有： “祝” 、 “你” 、 “考” 、 “试” 、 “顺” 、 “利” ，将其围成一个正方体后，则与“考”相对的是（ ） A祝 B你 C顺 D利 【解答】解：根据正方体表面
14、展开图的“相间、Z 端是对面”可知， “考”的对面是“顺” ， 故选：C 3 （4 分）下列计算正确的是（ ） Aa+a2a3 Ba6a3a3 C （a2b）3a6b3 D （a+2）2a2+4 【解答】解：A、a 与 a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； B、a6a3a3，原计算正确，故此选项符合题意； C、 （a2b）3a6b3，原计算错误，故此选项不符合题意； D、 （a+2）2a2+4a+4，原计算错误，故此选项不符合题意 故选：B 4 （4 分） “致中和，天地位焉，万物育焉 ”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，
15、使对称之美惊艳了千年的时光在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不合题意 故选：C 5 （4 分）如图，五边形 ABCDE 中，P 为 BC 上一点，PAEAPE，DAEADE，且 EABA，PEBC，EDCD，若PDAx，PADy，则C 的度数为（ ） A1802x B1802y C180 xy D90+x+y 【解答】解：PAEAPE，DAEADE， EAEP，EPED， EAEPED， 点 A、P、D
16、 在以 E 为圆心、EA 为半径的圆上， PED2PAD2y， PEBC，EDCD， EPCEDC90， C+EPC+EDC+PED360， C1802y 故选：B 6 （4 分） “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交水稻在全世界推广种植，2021 年 5 月 22 日他离开了世界，但他的两个梦想已然实现平凉市李大爷为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取了 9 株水稻苗，测得苗高分别是：25，23，26，25，23，24，22，24，23（单位 cm） ，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A23，23 B24，24 C24，23 D24，25 【解答】解：将这组数据从小到大重新
17、排列为 22，23，23，23，24，24，25，25，26， 这组数据的众数为 23cm，中位数为 24cm， 故选：C 7 （4 分）若 x23x 的值为 4，则 3x29x3 的值为（ ） A1 B9 C12 D15 【解答】解：由题意可知，x23x4， 3x29x33（x23x）33439 故选：B 8 （4 分）如图，在ABC 中，ACB90，ABC60，AB4，顶点 A，B 分别在 x 轴正半轴和 y轴正半轴上滑动，连接 OC当 OC 的长度最大时，点 C 的坐标为（ ） A （2，2） B （4，2） C （2，） D （4，） 【解答】解：取 AB 的中点 M，连接 MO，MC
18、，如图 1 所示， 则 OM+MCOC， 故当 OM+MCOC 时，OC 取得最大值，如图 2 所示， ACBAOB90，点 M 为 AB 的中点，AB4， CMBMAMOM2， ABC60， BMC 是等边三角形， BMCAMO60， AMO 是等边三角形， OAAM2，OAM60， 又AMMC，AMOMAC+MCA， MAC30， OACOAM+MAC60+3090， OCMO+MC2+24， AC2， 点 C 的坐标为（2，2） ， 即当 OC 的长度最大时，点 C 的坐标为（2，2） ， 故选：A 9 （4 分）已知直角三角形的面积为定值，其两条直角边的长度 a（cm）与 b（cm）之
19、间的函数关系如图所示下列结论正确的是（ ） A当直角边的长度 a 不大于 9 时，直角边 b 的长度要小于 4 B三角形的面积是 36 Ca 与 b 之间的函数关系式是 a D当 b20 时，a2 【解答】解：直角三角形的面积为定值，a、b 为两直角边， a、b 之间成反比例函数关系， 设 abk， 由图形可知，图象过点 A（12，3） ， k36， 即 ab36， a， 故 C 正确， 当 a9 时，b4， 故 A 错误， S18， 故 B 错误， 当 b20 时，a， 故 D 错误， 故选：C 10 （4 分）如图，割线 PAB、PCD 分别交O 于点 A、B 和点 C、D，且 ABCD8
20、，已知O 半径等于 5，OAPC，则圆心 O 与点 P 之间的距离等于（ ） A3 B3 C9 D3 【解答】解： 过 O 作 OMAB 于 M，ONCD 于 N，连接 OC、OP， 则AMOCNO90，AMBMAB84，CNDN4， OAOC5， 由勾股定理得：OMON3， 在 RtPMO 和 RtPNO 中 RtPMORtPNO（HL） ， MPONPO， AOPC， AOPNPO， AOPMPO， PAOA5， PM5+49， 在 RtPMO 中，由勾股定理得：OP3， 故选：D 11 （4 分）如图，将边长为 3 的正方形 ABCD 纸片沿 EF 折叠，点 C 落在 AB 边上的点 G
21、 处，点 D 与点 H重合，CG 与 EF 交于点 P，取 GH 的中点 Q，连接 PQ，则GPQ 的周长最小值是（ ） A B C D 【解答】解：连接 BP，取 CD 的中点 M，连接 PM， 由折叠可知，PMPQ，GHDC，PCPG， 在 RtBCG 中，P 是 CG 的中点， BPPGGC， Q 是 GH 的中点， QGGH， GPQ 的周长PQ+QG+PGPM+GH+PBPM+PB+CD， CD3， GPQ 的周长PM+PB+， 当 M、P、B 三点共线时，PM+BPBM 最小， 在 RtBCM 中，BM， GPQ 的周长的最小值为+， 故选：B 12 （4 分）如图，在由边长为 1
22、 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C，D 都在格点上，点 E 在 AB 的延长线上，以 A 为圆心，AE 为半径画弧，交 AD 的延长线于点 F，且弧 EF 经过点 C，则扇形 AEF 的面积为（ ） A B C D 【解答】解：连接 AC 由题意 AC， EAF45，AEAFAC， S扇形AEF， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13 （4 分）若x表示不大于 x 的最大整数，例如4.24，则 3 【解答】解：91016， 34， 则3， 故答案为：3 14 （4 分）为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生
23、在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表： 一周内做饭次数 2 3 4 5 6 人数 7 6 12 10 5 那么一周内该班学生的平均做饭次数为 4 【解答】解： 4（次） ， 故答案为：4 15 （4 分）计算的结果为 2 【解答】解：原式2， 故答案为：2 16 （4 分）已知 a，b，c，d 表示 4 个不同的正整数，满足 a+b2+c3+d490，其中 d1，则 a+2b+3c+4d 的最大值是 81 【解答】解：a，b，c，d 表示 4 个不同的正整数，且 a+b2+c3+d490，其中 d1， d490，则 d2 或 3， c390，则 c1，2，3 或 4， b290，则 b1，2
24、，3，4，5，6，7，8，9， a90，则 a1，2，3，89， 4d12，3c12，2b18，a89， 要使得 a+2b+3c+4d 取得最大值，则 a 取最大值时，a90（b2+c3+d4）取最大值， b，c，d 要取最小值，则 d 取 2，c 取 1，b 取 3， a 的最大值为 90（32+13+24）64， a+2b+3c+4d 的最大值是 64+23+31+4281， 故答案为：81 17 （4 分）如图，图、图、图均为 44 的正方形网格，线段 AB 的端点均在格点上，按要求在图、图、图中各画一条线段 CD，将线段 AB 分为 2：3 两部分 要求： （1）所画线段 CD 的位置
25、不同 （2）点 C、D 均在格点上 【解答】解：如图，线段 CD 即为所求 18 （4 分）若函数 y4x+1 的图象上存在两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，若 x1x2，则 y1 y2 【解答】解：函数 y4x+1 中 k40， y 随 x 增大而减小， x1x2， y1y2， 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （8 分）计算 （1）； （2） 【解答】解： （1）原式35+8 6； （2）2+11 32 20 （8 分）如图，已知矩形 ABCD，过点 C 作 CEBD 交 AB 的延长线于点 E求证：ACEC 【解答】证明：四
26、边形 ABCD 是矩形， BDAC， 又CEBD 四边形 DBEC 是平行四边形， BDEC， ACCE 21 （8 分）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是 1.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 30；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是 0.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 45两人相距 5 米且位于旗杆同侧（点 B、D、F 在同一直线上） （1）求小敏到旗杆的距离 DF （结果保留根号） （2）求旗杆 EF 的高度 （结果保留整数，参考数据：1.4，1.7） 【解答】解： （1）过点 A 作 AMEF 于点 M，过点 C 作 C
27、NEF 于点 N， 设 CNx 米， 在 RtECN 中， ECN45， ENCNx， EMx+0.71.7x1， BD5， AMBF5+x， 在 RtAEM 中， EAM30 ， x1（x+5） ， 解得：x4+3， 即 DF（4+3） （米） ； （2）由（1）得： EFx+0.74+0.7 4+31.7+0.7 9.810（米） 答：旗杆的高度约为 10 米 22 （8 分）某工程队负责对一面积为 33000 平方米的非法砂石码头进行拆除、回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 11 天完成任务，求实际平均每天施工多少平方
28、米 【解答】解：设原计划平均每天施工 x 平方米，则实际平均每天施工（1+20%）x 平方米， 根据题意得：11， 解得：x500， 经检验，x500 是原方程的解， 1.2x600， 答：实际平均每天施工 600 平方米 23 （10 分）中央电视台举办的“中国诗词大会”节目受到中学生的广泛关注，某中学为了解该校初三学生对观看“中国诗词大会”节目的喜爱程度，对该校初三部分学生进行了随机抽样调查，并绘制出如图所示的两幅统计图，在条形图中，从左向右依次为：A 级（非常喜欢） ，B 级（较喜欢） ，C 级（一般） ，D级（不喜欢） ，请结合两幅统计图，回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是
29、 50 ，表示“D 级（不喜欢） ”的扇形的圆心角为 21.6 ； （2）若该校初三有 1200 名学生，请你估计该年级观看“中国诗词大会”节目 B 级（较喜欢）的学生人数； （3）若从本次调查中的 A 级（非常喜欢）的 5 名学生中，选出 2 名去参加长沙中学生诗词大会比赛，已知 A 级学生中男生有 3 名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选出的 2 名学生中至少有 1 名女生的概率 【解答】解： （1）本次抽样调查的样本容量是 1734%50，表示“D 级（不喜欢） ”的扇形的圆心角为36021.6， 故答案为：50、21.6 （2）1200600， 答：估计该年级观看“中国诗词大会
30、”节目 B 级（较喜欢）的学生人数为 600 人； （3）列表如下： 男 男 男 女 女 男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女） 女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女） 所有等可能的情况有 20 种，其中所选出的 2 名学生中至少有 1 名女生的有 14 种， 所选出的 2 名学生中至少有 1 名女生的概率为 24 （10 分）重庆八中的学子课外活动丰富多彩，开展了很多社团活动最近数学社的同学在探究函数 y的图象与性
31、质，请你根据之前学习函数的经验和方法，画出函数图象，并回答下列问题 （1）选择恰当的值补充表格，在平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数图象 x 5 4 3 2 0 2 3 4 5 y 0 3 4 4.6 5 4.6 4 3 0 （2） 根据函数图象， 判断下列关于该函数性质的说法是否正确， 正确的在答题卡上相应的括号内打 “” ，错误的在答题卡上相应的括号内打“” 该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为 y 轴 （ ） 当 x0 时，函数取得最大值 5；当 x5 或 5 时，函数取得最小值 0 （ ） 当5x0 时，y 随 x 的增大而减小；当 0 x5 时，y
32、 随 x 的增大而增大 （ ） （3）请结合（1）中函数图象，直接写出关于 x 的不等式x+3 的解集 【解答】解： （1）列表： x 5 4 3 2 0 2 3 4 5 y 0 3 4 4.6 5 4.6 4 3 0 描点、连线，画出函数图象如图： （2）观察图象可知， 该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为 y 轴 当 x0 时，函数取得最大值 5；当 x5 或 5 时，函数取得最小值 0 当5x0 时，y 随 x 的增大而增大；当 0 x5 时，y 随 x 的增大而减小 故答案为，； （3）由图象可知关于 x 的不等式x+3 的解集为3x4.5 25 （12 分）在平面直角坐标系 xOy
33、中，已知点 A（6，0） ，点 B（0，6） ，动点 C 在以原点 O 为圆心，半径为 3 的O 上，连接 OC，过点 O 作 ODOC，OD 与O 相交于点 D（其中点 C，O，D 按逆时针方向排列） ，连接 AB （1）当 OCAB 时，BOC 的度数为 45或 135 ； （2）连接 AC，BC，当点 C 在O 上运动到什么位置时，ABC 的面积最大？并求出ABC 面积的最大值 （3）连接 AD，当 OCAD，点 C 位于第二象限时， 求出点 C 的坐标； 直线 BC 是否为O 的切线？并说明理由 【解答】解： （1）点 A（6，0） ，点 B（0，6） ， OAOB6， OAB 为等腰
34、直角三角形， OBA45， OCAB， 当 C 点在 y 轴左侧时，BOCOBA45； 当 C 点在 y 轴右侧时，BOC90+OBA135； 综上所述，BOC 的度数为 45或 135， 故答案为：45或 135； （2）OAB 为等腰直角三角形， ABOA6， 当点 C 到 AB 的距离最大时，ABC 的面积最大， 过 O 点作 OEAB 于 E，OE 的反向延长线交O 于 C，如图： 此时 C 点到 AB 的距离的最大值为 CE 的长， OEAB3， CEOC+OE3+3， ABC 的面积CEAB（3+3）69+18； 即当点C在O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时， ABC的面
35、积最大， 最大值为9+18； （3）过 C 点作 CFx 轴于 F，如图： OCAD， COFDAO， 又ADOCFO90， OCFRtAOD， ，即， 解得：CF， 在 RtOCF 中，OF， C 点坐标为（，） ； 直线 BC 是O 的切线理由如下： 由得： （，） ， 在 RtOCF 中，OC3，CF， CFOC， COF30， OAD30， BOC60，AOD60， 在BOC 和AOD 中， ， BOCAOD（SAS） ， BCOADO90， OCBC， 直线 BC 为O 的切线 26 （14 分）综合与探究 如图，抛物线 yx2+2x6 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B
36、 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，连接 AC，BC （1）求 A、B，C 三点的坐标并直接写出直线 AC，BC 的函数表达式 （2）点 P 是直线 AC 下方抛物线上的一个动点，过点 P 作 BC 的平行线 l，交线段 AC 于点 D 试探究：在直线 l 上是否存在点 E，使得以点 D，C，B，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 E的坐标，若不存在，请说明理由； 设抛物线的对称轴与直线 l 交于点 M，与直线 AC 交于点 N当 SDMNSAOC时，请直接写出 DM 的长 【解答】解： （1）当 y0 时，x2+2x60， 解得 x16，x22， A（6，0） ，B（2，0） ， 当
37、x0 时，y6， C（0，6） ， A（6，0） ，C（0，6） ， 直线 AC 的函数表达式为 yx6， B（2，0） ，C（0，6） ， 直线 BC 的函数表达式为 y3x6； （2）存在：设点 D 的坐标为（m，m6） ，其中6m0， B（2，0） ，C（0，6） ， BD2（m2）2+（m+6）2，BC222+6240，DC2m2+（m6+6）22m2， DEBC， 当 DEBC 时，以点 D，C，B，E 为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当 BDBC 时，四边形 BDEC 为菱形， BD2BC2， （m2）2+（m+6）240， 解得：m14，m20（舍去） ， 点
38、D 的坐标为（4，2） ， 点 D 向左移动 2 各单位长度，向下移动 6 个单位长度得到点 E， 点 E 的坐标为（6，8） ； 如图，当 CDCB 时，四边形 CBED 为菱形， CD2CB2， 2m240， 解得：m12，m22（舍去） ， 点 D 的坐标为（2，26） ， 点 D 向右移动 2 个单位长度，向上移动 6 个单位长度得到点 E， 点 E 的坐标为（22，2） ； 综上， 存在点 E， 使得以点 D， C， B， E 为顶点的四边形为菱形， 点 E 的坐标为 （6， 8） 或 （22，2） ； 设点 D 的坐标为（m，m6） ，其中6m0， A（6，0） ，B（2，0） ， 抛物线的对称轴为直线 x2， 直线 BC 的函数表达式为 y3x6，直线 lBC， 设直线 l 的解析式为 y3x+b， 点 D 的坐标（m，m6） ， b4m6， M（2，4m12） ， 抛物线的对称轴与直线 AC 交于点 N N（2，4） ， MN4m12+44m8， SDMNSAOC， （4m8） （2m）66， 整理得：m2+4m50， 解得：m15，m21（舍去） ， 点 D 的坐标为（5，1） ， 点 M 的坐标为（2，8） ， DM3， 答：DM 的长为 3
