1、2021 年福建省厦门市思明区年福建省厦门市思明区五五校联考中考模拟数学试卷校联考中考模拟数学试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.每小题有且只有一个选项正确）每小题有且只有一个选项正确） 1 （4 分）比2 小的数是（ ） A2 B0 C3 D1 2 （4 分）如图长方体的左视图是（ ） A B C D 3 （4 分）下列式子运算正确的是（ ） Aa8a2a6 Ba2+a3a5 C （a+1）2a2+1 D3a22a21 4 （4 分）在一次数学测试中，某学习小组 6 名同学的成绩（单位：分）分别是 65，75，85，8
2、5，90，95，关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A极差是 30 B中位数是 85 C众数是 85 D平均数是 85 5 （4 分）不等式组2 1 10的解集是（ ） Ax1 B12x1 Cx 12 Dx12 6 （4 分）如图，175，275，3110，则54 的度数是（ ） A70 B180 C40 D20 7 （4 分） 九章算术是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题， 原文如下：“今有人共买物， 人出八， 盈三； 人出七， 不足四 问人数， 物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出 8 元，多 3 元；每人出 7 元，
3、少 4 元，求有几个人及该物品的价格用二元一次方程组解答该问题，若已经列出一个方程 8x3y，则符合题意的另一个方程是（ ） A7x4y B7x+4y C7+4x D74x 8 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，O、E 分别是 AC、AD 的中点，连接 OE，若 AB10，AC12，则 tanAOE 的值为（ ） A35 B45 C34 D43 9 （4 分）如图，正五边形 ABCDE 内接于O，点 P 为上一点（点 P 与点 D，点 E 不重合） ，连接 PC，PD，DGPC，垂足为 G，则PDG 等于（ ） A72 B54 C36 D64 10 （4 分）如图，直线 yx+6 分别与
4、x 轴、y 轴相交于点 M，N，MPN90，点 C（0，3） ，则 PC 长度的最小值是（ ） A32 3 B322 C255 D3 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）计算： （3.14）0+(12)1= 12 （4 分）如图，数轴上有三个点 A，B，C，若点 A，B 表示的数互为相反数，且 AB4，则点 C 表示的数是 13 （4 分）若 a 是方程 x2+x20 的根，则代数式 202112a212a 的值是 14 （4 分）如图，在ABC 中，D 为 AB 上一点，ADDCBC，且A30，AD5，则
5、AB 15 （4 分）如图，以 AB 为直径的O 与 CE 相切于点 C，CE 交 AB 的延长线于点 E，半径 OA6，A30，弦 CDAB，垂足为点 F，连接 AC，OC，则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号） = ；扇形 OBC 的面积为 12；OCFOEC；若点 P 为线段 OA 上一动点，则 APOP有最大值 9 16 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 D（2，3） ，AD5，若反比例函数 y=（k0，x0）的图象经过 AB 的中点 E，则 k 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 小题，共小题，
6、共 86 分请在答题卡的相应位置作答）分请在答题卡的相应位置作答） 17 （8 分）解方程组： + = 102 3 = 5 18 （8 分）如图，直线 AB、CD 相交于点 E，E 是 AB 的中点，ADBC 求证：ADBC 19 （8 分）先化简，再求值(11+ 1) 2+2+121，其中 x= 12 20 （8 分）如图，有一块三边长分别为 3cm，4cm，5cm 的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为 5cm的等腰三角形 （1）在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹） （2）当剪下的等腰三角形面积最大时，求该等腰三角形的腰长 21 （8 分）某市为创建全
7、国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增 360 万平方米自 2018 年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的 1.5 倍，这样可提前 4 年完成任务 （1）实际每年绿化面积为多少万平方米？ （2）为加大创建力度，市政府决定从 2021 年起加快绿化速度，要求不超过 3 年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？ 22 （10 分）如图，AB 是O 的弦，C 为O 上一点，过点 C 作 AB 的垂线与 AB 的延长线交于点 D，连接BO 并延长，与O 交于点 E，连接 EC，ABE2E （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 tanE=1
8、3，BD1，求 AB 的长 23 （10 分）为响应党中央关于打好精准扶贫攻坚战的号召，东部帮助西部进行扶贫产业开发， “食良品”是某市农产品商贸集团有限公司旗下的“消费扶贫”的电商平台，依托地理、集团专业等渠道的优势，基地直采，降低采购成本，全心全意为全市广大客户提供优质的食材，也解决了西部各地农副产品销售难的问题目前，该平台为广大客户仅提供 300 元、500 元、800 元、1000 元四种不同面额的提货券随机抽查了其中 100 天的销售情况，整理统计后得到如下表一和表二： 表一 提货券每张面额（元） 300 500 800 1000 销售量（张）的百分比 30% m% 18% 12%
9、表二 日均销售量（张） 300 450 500 650 天数 25 30 35 10 （1）随机抽取一张提货券，面额不少于 800 元的概率是多少？ （2）哪种面额的提货券应多提供些？估计日均销售该面额的提货券多少张？ （3）估计月销售总额是多少元？（月以 30 天计算） 24 （12 分）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形” （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； （2） 如图 1， 四边形 ABCD 是 “等对边四边形” ，其中 ABCD， 边 BA 与 CD 的延长线交于点 M， 点 E、F 是对角线 AC、BD 的中点，若M60，求证：EF=12A
10、B； （3）如图 2，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、AB 上，且满足DBCECB=12A，线段 CE、BD 交于点， 求证：BDCAEC； 请在图中找到一个“等对边四边形” ，并给出证明 25 （14 分）已知抛物线 C1：yx2+4mx+4m24m3 的顶点 C 在定直线 l 上 （1）求 C 点的坐标（用含 m 的式子表示） ； （2）求证：不论 m 为何值，抛物线与定直线 l 的两交点间的距离 d 恒为定值； （3）当 C1的顶点 C 在 y 轴上，且与 x 轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点左侧）时，在 C1上是否存在两点M，N（xMxN） ，设 MN 交线段 AC 于
11、 P 点，使APN2ACO，且直线 MN 将ABC 的面积分成 1：2 的两部分？若存在，求出直线 MN 的解析式：若不存在，请说明理由 答案解析答案解析 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.每小题有且只有一个选项正确）每小题有且只有一个选项正确） 1 （4 分）比2 小的数是（ ） A2 B0 C3 D1 【分析】根据“正数0负数” ，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可 【解答】解：|3|3，|2|2，|1|1，而 321， 3210， 小于2 的是3 故选：C 2 （4 分）如图长方体的左视图是（ ） A B
12、 C D 【分析】根据左视图是从左边看到的图形解答即可 【解答】解：从左边看，是一个长为 5，宽为 3 的矩形 故选：B 3 （4 分）下列式子运算正确的是（ ） Aa8a2a6 Ba2+a3a5 C （a+1）2a2+1 D3a22a21 【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；完全平方公式（a+1）2a2+2a+1，对各选项计算后利用排除法求解 【解答】解：A、a8a2a6同底数幂的除法，底数不变指数相减；故 A 正确； B、a2+a3a5不是同类项不能合并，故 B 错误； C、 （a+1）2a2+1 完全平方公式漏了 2a，故 C 错误；
13、D、3a22a21 合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变，故 D 错误 故选：A 4 （4 分）在一次数学测试中，某学习小组 6 名同学的成绩（单位：分）分别是 65，75，85，85，90，95，关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A极差是 30 B中位数是 85 C众数是 85 D平均数是 85 【分析】根据极差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可 【解答】解：将数据按照从小到大排列为：65，75，85，85，90，95， A、极差为 956530，说法正确，不符合题意； B、中位数是（85+85）285，说法正确，不符合题意； C、众数是 85，说法正确，不符合题意；
14、 D、平均数=16（65+75+85+85+90+95）82.585，原来的说法错误，符合题意； 故选：D 5 （4 分）不等式组2 1 10的解集是（ ） Ax1 B12x1 Cx 12 Dx12 【分析】分别求出每一个不等式的解集，从而确定不等式组的解集 【解答】解：2 1 10， 解不等式得：x 12， 解不等式得：x1， 故不等式组的解集为12x1 故选：B 6 （4 分）如图，175，275，3110，则54 的度数是（ ） A70 B180 C40 D20 【分析】根据内错角相等，两直线平行，可得 ab，根据平行线的性质可得53110，再根据补角的性质解答即可 【解答】解：因为12
15、75， 所以 ab， 所以53110， 因为5+4180， 所以470， 所以541107040 故选：C 7 （4 分） 九章算术是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题， 原文如下：“今有人共买物， 人出八， 盈三； 人出七， 不足四 问人数， 物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出 8 元，多 3 元；每人出 7 元，少 4 元，求有几个人及该物品的价格用二元一次方程组解答该问题，若已经列出一个方程 8x3y，则符合题意的另一个方程是（ ） A7x4y B7x+4y C7+4x D74x 【分析】由已经列出方程，可得出 x
16、表示买这件物品的人数，y 表示这件物品的价格，结合“每人出 7元，少 4 元” ，即可列出另一方程，此题得解 【解答】解：每人出 8 元，多 3 元，且已经列出一个方程 8x3y， x 表示买这件物品的人数，y 表示这件物品的价格 又每人出 7 元，少 4 元， 7x+4y 故选：B 8 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，O、E 分别是 AC、AD 的中点，连接 OE，若 AB10，AC12，则 tanAOE 的值为（ ） A35 B45 C34 D43 【分析】连接 OD，由菱形的性质、勾股定理求出 OD，再由三角形中位线定理得到AOEACD，然后由锐角三角函数定义求解即可 【解答】解：
17、连接 OD，如图所示： 四边形 ABCD 为菱形， ADCDAB10， O 是 AC 的中点， ODAC，OAOC=12AC6， 由勾股定理得，OD= 2 2= 102 62= 8， O、E 分别是 AC、AD 的中点， OE 是ACD 的中位线， OECD， AOEACD， tanAOEtanACD=86=43， 故选：D 9 （4 分）如图，正五边形 ABCDE 内接于O，点 P 为上一点（点 P 与点 D，点 E 不重合） ，连接 PC，PD，DGPC，垂足为 G，则PDG 等于（ ） A72 B54 C36 D64 【分析】连接 OC，OD求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论
18、 【解答】解：连接 OC，OD 在正五边形 ABCDE 中，COD=3605=72， CPD=12COD36， DGPC， PGD90， PDG903654， 故选：B 10 （4 分）如图，直线 yx+6 分别与 x 轴、y 轴相交于点 M，N，MPN90，点 C（0，3） ，则 PC 长度的最小值是（ ） A32 3 B322 C255 D3 【分析】以 MN 为直径作E，连接 EC 并延长交E 于点 P，此时 PC 的长度最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 M，N 的坐标，进而可得出 MN 的长度及点 E 的长度，结合点 C 的坐标可求出CE 的长，再利用 CPEPCE=12M
19、NCE，即可求出 PC 长度的最小值 【解答】解：以 MN 为直径作E，连接 EC 并延长交E 于点 P，此时 PC 的长度最小. 当 x0 时，y0+66， 点 N 的坐标为（0，6） ； 当 y0 时，x+60， 解得：x6， 点 M 的坐标为（6，0） MN= 2+ 2= 62+ 62=62，点 E 的坐标为（3，3） 又点 C 的坐标为（0，3） ， CE3， CPEPCE=12MNCE=1262 332 3 故选：A 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）计算： （3.14）0+(12)1= 3 【分
20、析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式1+2 3 故答案为：3 12 （4 分）如图，数轴上有三个点 A，B，C，若点 A，B 表示的数互为相反数，且 AB4，则点 C 表示的数是 4 【分析】由 A，B 表示的数互为相反数，AB4 可知：B 表示的数是 2 即可解答 【解答】解：A，B 表示的数互为相反数，AB4， A 表示2，B 表示 2， C 表示 4， 故答案为：4 13 （4 分）若 a 是方程 x2+x20 的根，则代数式 202112a212a 的值是 2020 【分析】利用一元二次方程根的定义得到 a2+a2，再把 202112a212a
21、 变形为 202112（a2+a） ，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：a 是方程 x2+x20 的根， a2+a20， a2+a2， 202112a212a202112（a2+a）20211222020 故答案是：2020 14 （4 分）如图，在ABC 中，D 为 AB 上一点，ADDCBC，且A30，AD5，则 AB 10 【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论 【解答】解：ADDC， ACDA30， BDCA+ACD60， CDCB， BCD 是等边三角形， BDCD， BDAD5， ABAD+BD10， 故答案为：10 15 （4 分）如图，以 A
22、B 为直径的O 与 CE 相切于点 C，CE 交 AB 的延长线于点 E，半径 OA6，A30，弦 CDAB，垂足为点 F，连接 AC，OC，则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号） = ；扇形 OBC 的面积为 12；OCFOEC；若点 P 为线段 OA 上一动点，则 APOP有最大值 9 【分析】根据垂径定理可判断正确；利用扇形的面积公式计算可判断错误；根据COFEOC，OFCOCE，得OCFOEC，可知正确；利用 APOP（6OP） OP（OP3）2+9，则当 OP3 时 APOP 有最大值为 9，故正确 【解答】解：弦 CDAB， = ， 故正确； A30， BOC2A60， 半
23、径 OA6， 扇形 OBC 的面积=6062360= 6， 故错误； O 与 CE 相切于点 C， OCCE， OCE90， COFEOC，OFCOCE， OCFOEC， 故正确； APOP（6OP） OP（OP3）2+9， 当 OP3 时 APOP 有最大值为 9， 故正确， 故答案为： 16 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 D（2，3） ，AD5，若反比例函数 y=（k0，x0）的图象经过 AB 的中点 E，则 k 4 【分析】设 A（t，0） ，利用两点间的距离公式得到（t+2）2+3252，解方程得到 A（2，0
24、） ，设 C（0，m） ，根据矩形的性质通过点的平移得到 B（4，m3） ，则利用 ACBD 得到 22+m2（4+2）2+（m33）2， 解方程得 B 点坐标， 利用中点公式得到点 E 的坐标， 然后把 E 点坐标代入 y=中可得到 k 的值 【解答】解：设 A（t，0） D（2，3） ，AD5， （t+2）2+3252，解得 t2， A（2，0） ， 设 C（0，m） ， D 点向右平移 2 个单位，向上平移（m3）个单位得到 C 点， A 点向右平移 2 个单位，向上平移（m3）个单位得到 B 点， B（4，m3） ， ACBD， 22+m2（4+2）2+（m33）2，解得 m=173，
25、 B（4，83） ， E（2+42，83+02）即（3，43） ， 把 E（3，43）代入 y=得 k343=4 故答案为：4 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 86 分请在答题卡的相应位置作答）分请在答题卡的相应位置作答） 17 （8 分）解方程组： + = 102 3 = 5 【分析】用3+，可消去未知数 y，求出未知数 x，再把 x 的值代入其中一个方程求出 y 即可 【解答】解： + = 102 3 = 5， 3+，得 5x35， 解得 x7， 把 x7 代入，得 y3， 故原方程组的解为 = 7 = 3 18 （8 分）如图，直线 AB、CD 相交于点
26、E，E 是 AB 的中点，ADBC 求证：ADBC 【分析】先利用平行线的性质可得：AB，DC，根据 AAS 可得ADEBCE，从而得结论 【解答】证明：如图， ADBC， AB，DC， E 是 AB 的中点， AEBE， 在ADE 和BCE 中， = = = ， ADEBCE（AAS） ， ADBC 19 （8 分）先化简，再求值(11+ 1) 2+2+121，其中 x= 12 【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求值 【解答】解：原式（11+11） (+1)(1)(+1)2 =1+111+1 =+1， 当 x= 12时， 原式=1212+1= 1 20
27、（8 分）如图，有一块三边长分别为 3cm，4cm，5cm 的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为 5cm的等腰三角形 （1）在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹） （2）当剪下的等腰三角形面积最大时，求该等腰三角形的腰长 【分析】 （1）作 AB 的垂直平分线交 BC 于 P，交 AB 于 Q，则在 PQ 任意取一点（Q 点除外）与 A 点、B点可组成满足条件的等腰三角形； （2）当顶点为 P 点时，等腰三角形的面积最大，设 PCxcm，则 PBPA（4x）cm，利用勾股定理的逆定理可判断ABC 为直角三角形， C90， 在 RtACP 中利用勾股定理得到
28、 x2+32 （4x）2，解方程得到 PC=78cm，然后根据三角形面积公式，利用 SPABSABCSACP进行计算 【解答】解： （1）如图，PAB 为所作； （2）PAB 为满足条件的面积最大的等腰三角形， 设 PCxcm，则 PB（4x）cm， PAPB（4x）cm， AC3cm，BC4cm，AB5cm， AC2+BC2AB2， ABC 为直角三角形，C90， 在 RtACP 中，x2+32（4x）2，解得 x=78， SPABSABCSACP=123412378=7516（cm2） 即该等腰三角形的面积为7516cm2 21 （8 分）某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，
29、计划经过若干年使城区绿化总面积新增 360 万平方米自 2018 年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的 1.5 倍，这样可提前 4 年完成任务 （1）实际每年绿化面积为多少万平方米？ （2）为加大创建力度，市政府决定从 2021 年起加快绿化速度，要求不超过 3 年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？ 【分析】 （1）设原计划每年绿化面积为 x 万平方米，则实际每年绿化面积为 1.5x 万平方米，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划提前 4 年完成任务，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设平均每年绿化面积增加 a 万平方米，根据工
30、作总量工作效率工作时间，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论 【解答】解： （1）设原计划每年绿化面积为 x 万平方米，则实际每年绿化面积为 1.5x 万平方米， 根据题意得：3603601.5=4， 解得：x30， 经检验，x30 是原分式方程的解， 1.5x45 答：实际每年绿化面积 45 万平方米 （2）设平均每年绿化面积增加 a 万平方米， 根据题意得：453+3（45+a）360， 解得：a30 答：平均每年绿化面积至少增加 30 万平方米 22 （10 分）如图，AB 是O 的弦，C 为O 上一点，过点 C 作 AB 的垂线与 AB 的延长线交于点 D
31、，连接BO 并延长，与O 交于点 E，连接 EC，ABE2E （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 tanE=13，BD1，求 AB 的长 【分析】 （1）连接 OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到ABEBOC，根据平行线的性质得到 OCCD，于是得到 CD 是O 的切线； （2）连接 AC，BC，根据圆周角定理得到BCE90，推出BCDOCE，得到BCDE，根据三角函数的定义得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OC， OEOC， EOCE， BOCE+OCE， BOC2E， ABE2E ABEBOC， ABOC， ABCD， OCCD， CD 是O 的切线； （2）解：连
32、接 AC，BC， BE 是O 的直径， BCE90， OCE+OCB90， OCB+BCD90， BCDOCE， BCDE， AE，tanE=13，BD1， =13， AD9， AB8 23 （10 分）为响应党中央关于打好精准扶贫攻坚战的号召，东部帮助西部进行扶贫产业开发， “食良品”是某市农产品商贸集团有限公司旗下的“消费扶贫”的电商平台，依托地理、集团专业等渠道的优势，基地直采，降低采购成本，全心全意为全市广大客户提供优质的食材，也解决了西部各地农副产品销售难的问题目前，该平台为广大客户仅提供 300 元、500 元、800 元、1000 元四种不同面额的提货券随机抽查了其中 100 天
33、的销售情况，整理统计后得到如下表一和表二： 表一 提货券每张面额（元） 300 500 800 1000 销售量（张）的百分比 30% m% 18% 12% 表二 日均销售量（张） 300 450 500 650 天数 25 30 35 10 （1）随机抽取一张提货券，面额不少于 800 元的概率是多少？ （2）哪种面额的提货券应多提供些？估计日均销售该面额的提货券多少张？ （3）估计月销售总额是多少元？（月以 30 天计算） 【分析】 （1）直接套用概率加法公式计算； （2）计算 m 的值，比较四种提货券的百分比；先计算日均销售提货券的总数，再计算其中该面额提货券的数量； （3）计算平均每张
34、提货券的价格，再乘以用日均销售提货券的总数，最后乘以 30 天即可 【解答】解： （1）面额不少于 800 元的概率为：18%+12%30% （2）m10030181240， 故 500 的提货券应多提供些 平均每天销售提货券的数量为：30025+45030+50035+6501025+30+35+10=450（张） 其中该面额的提货券约为：45040%180（张） （3）平均每张提货券的销售金额为：30030%+50040%+80018%+100012%554（元） 故月销售总额为：304505547479000（元） 24 （12 分）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形” （
35、1）请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； （2） 如图 1， 四边形 ABCD 是 “等对边四边形” ，其中 ABCD， 边 BA 与 CD 的延长线交于点 M， 点 E、F 是对角线 AC、BD 的中点，若M60，求证：EF=12AB； （3）如图 2，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、AB 上，且满足DBCECB=12A，线段 CE、BD 交于点， 求证：BDCAEC； 请在图中找到一个“等对边四边形” ，并给出证明 【分析】 （1）理解等对边四边形的图形的定义，有平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等，可得出答案 （2）取 BC 的中点 N，连接 EN，FN，由中
36、位线定理可得 EN=12CD，FN=12AB，可证明EFN 为等边三角形，则结论得证； （3）证明EOBA，利用四边形内角和可证明BDCAEC； 作 CGBD 于 G 点， 作 BFCE 交 CE 延长线于 F 点 根据 AAS 可证明BCFCBG， 则 BFCG，证明BEFCDG，可得 BECD，则四边形 EBCD 是“等对边四边形” 【解答】解： （1）如：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等 （2）证明：如图 1，取 BC 的中点 N，连接 EN，FN， EN=12CD，FN=12AB， ENFN， M60， MBC+MCB120， FNAB，ENMC， FNCMBC，ENBMCB， EN
37、F18012060， EFN 为等边三角形， EFFN=12AB （3）证明：BOEBCE+DBC，DBCECB=12A， BOE2DBCA， A+AEC+ADB+EOD360，BOE+EOD180， AEC+ADB180， ADB+BDC180， BDCAEC； 解：此时存在等对边四边形，是四边形 EBCD 如图 2，作 CGBD 于 G 点，作 BFCE 交 CE 延长线于 F 点 DBCECB=12A，BCCB，BFCBGC90， BCFCBG（AAS） ， BFCG， BEFABD+DBC+ECB，BDCABD+A， BEFBDC， BEFCDG（AAS） ， BECD， 四边形 EB
38、CD 是等对边四边形 25 （14 分）已知抛物线 C1：yx2+4mx+4m24m3 的顶点 C 在定直线 l 上 （1）求 C 点的坐标（用含 m 的式子表示） ； （2）求证：不论 m 为何值，抛物线与定直线 l 的两交点间的距离 d 恒为定值； （3）当 C1的顶点 C 在 y 轴上，且与 x 轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点左侧）时，在 C1上是否存在两点M，N（xMxN） ，设 MN 交线段 AC 于 P 点，使APN2ACO，且直线 MN 将ABC 的面积分成 1：2 的两部分？若存在，求出直线 MN 的解析式：若不存在，请说明理由 【分析】 （1）函数的对称轴为 x= 2
39、= 42= 2m，当 x2m 时，yx2+4mx+4m24m34m3，即可求解； （2）联立并解得 = 2 = 4 3或 = 2 2 = 4 + 1，即可求解； （3）由APN2ACOACB 得到 MNBC，利用 SAPH：SABC=13或23，求出 AH2 或 22，进而求解 【解答】解： （1）对于 yx2+4mx+4m24m3， 函数的对称轴为 x= 2= 42= 2m， 当 x2m 时，yx2+4mx+4m24m34m3， 故点 C 的坐标为（2m，4m3） ； （2）由点 C 的坐标知，点 C 在直线 y2x3上， 联立并解得 = 2 = 4 3或 = 2 2 = 4 + 1， 则两
40、个交点之间的距离 d= (2 2 + 2)2+ (4 + 1 + 4 + 3)2=25， 即抛物线与定直线 l 的两交点间的距离 d 恒为定值 25； （3）由（1）知，顶点 C 坐标为（2m，4m3） ，当顶点 C 在 y 轴上时，则 m0， 则抛物线的表达式为 yx23，函数图象如下： 对于 yx23，令 yx230，解得 x= 3，令 x0，则 y3， 故点 A、B、C 的坐标分别为（3，0） 、 （3，0） 、 （0，3） ，则 AB23， 由函数的对称性知，ACB2ACO， 而APN2ACOACB， MNBC， 由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为 y= 3x3， 设直线 MN 的表达式为 y= 3x+t，设直线 MN 交 x 轴于点 H， 直线 MN 将ABC 的面积分成 1：2 的两部分， SAPH：SABC=13或23， MNBC， 故APHACB， 则 SAPH：SABC（AH：AB）2=13或23， 即（AH：23）2=13或23， 解得 AH2 或 22， 故点 H 的坐标为（23，0）或（22 3，0） ， 将点 H 的坐标代入 y= 3x+t 并解得 t323或 326， 故直线 MN 的表达式为 y= 3x+323或 y= 3x+326
