1、20222022 届高中三年级第届高中三年级第四四次次学情调查学情调查数学学科试题数学学科试题 一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1）已知集合 = *1,2,3,4,5,6,7+， = *1,3,5,7+， = *1,2,3,4+，则(C) = （A）*1,3+ （B）*2,4+ （C）*5,7+ （D）*1,2,3,4,5,7+ （2）设 ，则“ 12”是“22+ 1 0”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）函数 =;4|2:1的图象大致为
2、（A） （B） （C） （D） （4）某市通过统计50个大型社区产生的日均垃圾量， 绘制了如下图所示的频率分布直方图， 数据的分组依次为：,4,6)，,6,8)，,8,10)，,10,12)，,12,14)， ,14,16)， ,16,18-.为了鼓励率先实施垃圾分类回收， 将日均垃圾量不少于14吨的社区划定为试点社区，则这样的试点社区个数是 （A）4 （B）10 （C）19 （D）40 （5）设 = log23， = log46， = 0.5;0.1，则 （A） （B） （C） （D） （6）已知三棱锥 中， 平面，是边长为3的等边三角形，若此三棱锥外接球的体积为323，那么三棱锥 的体积为
3、 （A）934 （B）334 （C）932 （D）332 （7）若将函数()图象上所有点向右平移6个单位长度后得到函数()的图象，已知函数() = sin( + ). 0, 0,| 0, 0)与抛物线:2= 8有一个公共的焦点，若双曲线与抛物线的一个交点为，且| = 5，则双曲线的离心率为 （A）5 （B）3 （C）233 （D）2 （9）已知函数() = 22 8 + 10， 2，e2;+ 1， 2，若() | |恒成立，则实数的取值范围为 （A）018,5 2ln21 （B）(,4 2ln2- （C）014,4 2ln21 （D）014,5 2ln21 二填空题：本大题共二填空题：本大题共
4、 6 小题，每小题分，共小题，每小题分，共 30 分分 （10）已知复数 =3:i1:i，则| = _. （11）二项式. 2/4的展开式中3的系数为_. （12）过点(3,1)作一条直线截圆2+ 2 2 + 4 4 = 0所得弦长为25，则直线的方程是_. （13）已知正数，满足12+1=1，则42+ + 2的最小值为_. （14）天津是一个古老与现代、保守与开放相融合的城市，历经 600 多年，特别是近代造就了中西合璧、古今兼容的独特城市风貌，成为国内外游客首选的旅游胜地. 2021年元月以来，来天津游览的游客络绎不绝，现通过对来津游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩的概率都是23， 不
5、游玩的概率都是13， 若不游玩记1分， 继续游玩记2分，游客之间选择意愿相互独立，从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量，则的数学期望() =_. （15）如图，在菱形中， = 3， = 60，分别为线段，上的点， = 2 ， = 2 ，点在线段上，且满足 = +56 ( )，则 =_； 若点为线段上一动点， 则 的取值范围为_. 三 解答题： 本大题共小题， 共三 解答题： 本大题共小题， 共 75 分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 （16） （本小题满分本小题满分 14 分分） 在中， 内角， ， 的对边分别为， ， ， 已知2co
6、s (cos + cos) + = 0. （I）求角的大小； （II）若 = 2， = 2. 求： （）边长； （）sin(2 )的值. （17） （本小题本小题满分满分 1 15 5 分分） 如图， 在四棱锥 中， 平面， ， ， 点是棱上一点，且 = = 2， = = 4. （I）若 = 1 2，求证： 平面； （II）求二面角 的正弦值； （III）若直线与平面所成角的正弦值为63，求的长. （18） （本小题本小题满分满分 1 15 5 分分） 设*+是等差数列，*+是等比数列，公比大于0，其前项和为( ).已知1= 1，3= 2+ 2，4= 3+ 5，5= 4+ 26. （I）求*+
7、和*+的通项公式； （II）设数列*(1)+的前项和为.记=3:2122;1+3:222，求； （III）求11niiniac . （19） （本小题本小题满分满分 1 15 5 分分） 已知椭圆 22+22= 1( 0)过点(2,22)，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的下顶点，且| = 2|. （I）求椭圆的方程； （II） 过点的直线1与椭圆交于另一点， 过点的直线2与椭圆交于另一点，直线1与2的斜率的乘积为14，点和点关于轴对称，求直线1的斜率. （20） （本小题满分本小题满分 1 16 6 分分） 已知() = sin，() = ln + e.（为正整数， ） （I）若 = ()在 =
8、1处的切线垂直于直线 =12，求实数的值； （II）当 = 1时，设函数() = 2 1 2()， (0,)，证明：()有且仅有1个零点； （III）当 = 2时，证明：()2+ () ( + )e 1. 参考答案参考答案 一、单选题 15. CADBA 69. DCDA 二、填空题 10. 5 11. 32 12. = 3或3 + 4 5 = 0 13. 52 14. 5 15. 12，03716,341 三、解答题 16. （）34C ； （） （）10c ； （）27sin 210BC . 17. （I）证明：在四棱锥PABCD中， PA平面ABCD，ABAD，BCAD， 以A为原点，A
9、B为x轴，AD为y轴，AP为z轴， 建立空间直角坐标系， 点M是棱PD上一点，PM：MD1：2， ABBC2，ADPA4 P（0，0，4） ，A（0，0，0） ，B（2，0，0） ， C（2，2，0） ，M（0，43，83） ， PB（2，0，4） ，AC（2，2，0） ，AM（0，43，83） ， 设平面ACM的法向量( , , )nx y zr， 则22048033n ACxyn AMyzuuu vruuuu vr，取x2，得n（2，2，1） ， PB n440，PB 平面ACM，PB平面ACM （II）D（0，4，0） ，PC（2，2，4） ，PD（0，4，4） ， 设平面CDP的法向量
10、m（a，b，c） ， 则2240440m PCabcm PDbcuuu vruuu vr，取b1，得m（1，1，1） ， 平面ACD的法向量p（0，0，1） ， 设二面角ACDP的平面角为， 则|cos|p mp mrrrr13， 二面角ACDP的正弦值为211 ()363 （III）设111( ,),M x y zPMPDuuuuuuru r， （01） ， 则111( ,4)(0,4 , 4 )x y z， 1110,4 ,44 ,(0,4 ,44 )xyzM， (0,4 ,44 )AMuuuu r，平面CDP的法向量(1,1,1)m u r， 直线AM与平面PCD所成角的正弦值为63，
11、|cos,AM muuuu r u r | |AM mAMmrr22416(44 )363， 解得12， 2211442 222MDPD 18. （）设数列 na的公差为d，数列 nb的公比为q（0q ） ， 由11b ，322bb，可得220qq，解得2q =或1q （舍去） ， 所以12nnb， 由435baa，5462baa， 则428a ，解得44a ， 所以4642212aa，解得66a ， 所以642aad，解得1d ， 且413 1aa ，解得11a ， 所以111naann . 综上所述，nan，12nnb. （）由（）中nan，所以11nan ， 1,0,nnTn为奇数为偶数
12、 222121212222222=2333 1302222223 22nnnnnnnnnnTTcbb， 故224nnnc . （）设11nininiaSc ， 1112444nnnnSL， 120124444nnnnSL， 可得1111441113144414nnnnSnnL， 即1 433nnSn， 所以14399nnnS， 故1114399niiinnanc . 19. （I）因为| 2|OAOB，即2ab， 又椭圆过点2 2 2（ ，），所以224814bb，解得6,3ab， 椭圆方程为221369xy. （II）设直线1l的方程为(6)yk x，则221,369(6),xyyk x 得
13、2222(1 4)48144360kxk xk， 解得16,x 22224614kxk， 所以22224612(,)1 41 4kkMkk. 因为直线12,l l的斜率乘积为14， 所以直线2l的方程为134yxk ， 同理可得222243 12(,)1 41 4kkNkk. 因为M，N关于y轴对称，所以2222462401 41 4kkkk， 即24410kk ，解得122k. 所以直线1l的斜率为122 20. （）1( )xg xmex，依题意得 3(1)12,gmeme （）要证( )h x仅有 1 个零点，即证( )0h x 仅有 1 个实根 即证2( )1 2sin0h xxx ，
14、(0, )x仅有 1 个实根 ( )22cos2(cos )h xxxxx 当,2x时，( )0, ( )h xh x在区间.2,/上单调递增， 又23024h ，2( )10h ， 所以( )h x在区间.2,/上有一个零点. 当0,2x时，设( )( )22cosxh xxx. ( )22sin0 xx，所以( )x在区间0,2上单调递增. 又(0)20 ，02， 所以存在00,2x，使得00 x. 所以，当00,xx时，( )0 x，即( )0, ( )h xh x单调递减； 当0,2xx时，( )0 x，即( )0, ( )h xh x单调递增； 又(0)10h ，23024h . 所
15、以( )h x在区间0,2上无零点. 综上所述，函数( )h x在(0, )x内只有一个零点. （）当2n时，( )2sin cossin2fxxxx， 要证( )( )()12xfxg xxm e， 只需证：sin2ln10,(1)2xxxxe 令( )sin22H xxx， ( )2cos222(cos21)0H xxx， 所以( )H x在(0,)单调递减 所以( )(0)0H xH 所以sin22xx 要证（1） ，只需证ln10 xxxxe 法一：令( )ln1xF xxxxe 11( )1(1)1xxxF xxexexx 令( )1xq xxe ( )(1)0 xq xxe ， ( )q x在(0,)单调递减， (0)10q ，(1)10qe ， 0(0,)x，使00q x，即001xx e， 当00,xx，( )0F x，( )F x单调递增 当0,xx，( )0F x，( )F x单调递减 00000( )ln10 xF xF xxxx e ，所以原命题得证 ， 法二：令( )1xxex ( )1xxe ( )x在(,0)单调递减，在(0,)单调递增 ( )(0)0 x 1xex， lnxxR lnln1xxexx ， ln1xxexx， 即证ln10 xxxxe 原命题得证
