1、重难点重难点 0909 相似的综合应用相似的综合应用 第第 4 41 1 天天 应用一线三垂直应用一线三垂直 1.(2021江西南昌市模拟改编)我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳,如图是小然站在地面欣赏悬挂在墙壁上的油画( )的示意图,设油画与堜壁的夹角 = ,此时小然的眼睛与油画底部处于同一水平线上,视线恰好落在油画的中心位置处,且与垂直.已知油画的长度为100cm. (1)视线的度数为 (用含的式子表示) (2)当小然到墙壁的距离 = 250cm时,求油画顶部点到墙壁的距离. (3)当油画底部处位置不变,油画与墙壁的夹角逐浙减小时,小然为了保
2、证欣赏油画的视觉效果最佳,他应该更靠近墙壁,还是不动或者远离墙壁?（直接回答即可） 解:(1)2; 【解法提示】 如解图,连接,则垂直平分,利用等腰三角形的性质和同角的余角相等即可得结论. (2)要求距离,先作出距离再说.如解图,过点作 于点, 由题意得 = 50cm, = 100cm,则 = 50cm, = = 90, 由同角的余角相等可得 = = , ,=,50=100250, 解得 = 20cm. 油画顶部到墙壁的距离是20cm; (3)当油画底部处位置不变,油画与墙壁的夹角逐渐减小时,小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳,他应该远离墙壁.远离? 是得多远,有没有考虑我这个近视眼. 第第
3、4 42 2 天天 形影相随等比值形影相随等比值 2.如图,某公园有三个垂直于水平地面且高度不同的圆柱,圆柱和后面有一堵与地面垂直的宣传墙,圆柱、与宣传墙的距离均为120cm.圆柱后有一斜坡,圆柱底部到坡脚水平线的距离为100cm.某一时刻,小颖观察到高度90cm的圆柱的影子全落在地面上,其影长为72cm;圆柱的部分影子落在墙上,圆柱的部分影子落在斜坡上,与在同一条直线上,已知落在地面上的影子皆与直线垂直,并视太阳光为平行光. (1)已知小颖身高为160cm,且此刻她的影子完全落在地面上,则她的影子长为多少cm? (2)若同一时刻量得圆柱落在宣传墙上的影长为140cm,则圆柱的高度为多少 cm
4、? (3)若同一时刻量得圆柱落在坡面上的影子长为100cm,测得斜坡坡度 = 1:0.75,则圆柱的高度为多少cm? 解:(1)有些问题看起来是个庞然大物,实际上是虚胖,你瞧设小颖的影子长为cm. 由题意可得9072=160.解得 = 128. 故小颖的的影子长为128cm; (2)如解图(1),连接,过点作/交于点,则四边形是平行四边形, = =140cm, 由题意知圆柱落在地面上的影长为120cm,即 = 120cm.9072=120 解得 = 150. = + = 290cm. 故圆柱的高度为290cm. (3)如解图(2) 为圆柱,为太阳光, 为斜坡,为圆柱在斜坡上的影子,过点作 于点
5、,过点作 于点,则四边形为矩形, 由题意可得 = 100, = 100, 斜坡坡度 = 1:0.75,=10.75=43. 设 = 4, = 3,在Rt 中,(4)2+ (3)2= 1002, 解得 = 20(负值已舍), = 60, = 80, = + = 160, 同一时刻,90cm圆柱的影子落在地面上,其长为72cm, 9072=160. 解得 = 200, = + = + = 280, 故圆柱的高度为280cm. 此题为小鹿精心改编的,目的是通过此题将此类 影子问题一网打尽,让你事半功倍! 第第 4 43 3 天天 限定动点与相似限定动点与相似 3.如图,已知 中, = 5, = 5,
6、= 10,点在射线上,过点作的垂线,交射线于点,交射线于点.连接、,设 = . (1)当点在边上时, 求 的面积(用含的代数式表示)； 当= 4时,求的值; (2)当点在边的延长线上时,若 与 相似,求的值. 解:(1)遇到难题不要慌,巧作辅助线拿下它. 如解图, 过点作 于点, = = 5 = 10, = 2 = 2 2= 1. = = 90, = , .=. 1=5=2 = 5, = 2 = = 5 5. 四边形是平行四边形, = = 5,/, , =55 5 解得 = 5 , = + = 5 + 5 = 25 , =12 =12 2 (25 ) = 25 2; 看到比值问题是不是有种穷喜
7、的感觉呢?来吧,还是套路. 由知 , =2=55 5= = 25 2, = 5 , = = 5 , = . = 是不是通过相似转化了呢? = + = 2 + 25 2 = 25. =12 =12(5 ) 25 = 5 5, =12 =12(5 ) (25 2) = (5 )2 = 4, 5 5 = 4(5 )2, = 5(舍去)或 =354, =225 2=2 35425 2 354= 3. 当然,此题求出的值后,也可不用相似转化,直接求山的值再算比值,你尝试一下. (2) 四边形是平行四边形, /, , , = = 90, 当 与 相似时,敲黑板了!要分两种情况讨论： 如解图(2),当 时,
8、 = , = , = , . =12 =52, /, = , 过点作 于点,则 = = 90, ,=5=152 =52, = + = 5 +52=152. /, =52=52152.解得 =352; 如解图,当 时, = . + = 90, + = 90 过点作 于点,则 = = 90. /, = . 又 = , . = = 1. = + = 6, = , = = 90, .=1=15 解得 =55. /, , =55=16. 解得 =655. 综上所述, 的值为 352 或 655. 第第 4 44 4 天天 十字易构三垂现十字易构三垂现 4.某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两
9、邻边的数量关系进行了探究. 发现问题发现问题 (1)如图,正方形中, ,分别交,于点、,分别交,于点,判断与的数量关系并证明; (2)如图,矩形中, ,分别交,于点、,分别交、于点, 求证:=; 拓展延伸拓展延伸 (3)如图,四边形中, = = 90, = 3, = 5, = 7.5, , 点,分别在边,上,求的值. 解：(1)解: = ; 本来是快乐的,直到遇见“并证明”. 证明: 如解图,过点作/交于点,过点作/交于点,交于点. 四边形是正方形, = , = = 90, 四边形、四边形都是平行四边形, = , = . 又 , , + = 90, + = 90, = ,易证 , = , =
10、; (2)又是比值问题,小庇不想说了，你自己看着办吧! 证明: 如解图,过点作/交于点,过点作/交于点,交于点. 四边形是矩形, /,/. 四边形、四边形都是平行四边形, = , = . 又 , , + = 90. 四边形是矩形, = = 90, + = 90, = . ,=,= (3)解:如解图,过点作平行于的直线,交过点平行于的直线于点,交的延长线于点,则四边形是平行四边形. = 90,四边形是矩形, = = 90, = , = . ,由（2）中的结论可得=, 这也是一种思路,有的题后一问会借用前一问的结论. 设 = ,则 = = 3 + , = = = 90, + = 90, + = 9
11、0, = , , =7.55=32 =32, =23(3 + ), 在Rt 中, 2= 2+ 2, 7.52= ( + 3)2+ (32)2, 整理得132+ 24 189 = 0, 解得 = 3或 = 6313(舍去), = 6, = = + =172 =1217. 第第 4 45 5 天天 匀速运动与相似匀速运动与相似 5.如图(1),矩形在平面直角坐标系中,点(0,3),点(4,0),动点从原点出发,沿对角线以每秒 1 个单位长度的速度向匀速运动,同时另一动点从点出发,沿线段以每秒45个单位长度的速度向点匀速运动,过作 轴于点,连接,当动点到达终点时,动点也随之停止运动,设点、运动的时间
12、为秒( 0). (1)求点和点的坐标;(用含的式子表示) (2)在动点,运动的过程中,是否存在的值,使以、,为顶点的三角形与 相似?若存在,求出所有的值;若不存在,说明理由; (3)如图(2),已知点为的中点,若以点,为顶点的四边形的面积为3925,求的值. 解:这题是不是一看到就懵了?别急呀,这是一道很有挑战性的题,我们一起逐步分析它! (1)根据题意得 = , =45, 则 = 4 45, 点的坐标是(4 45,0). 矩形的三个顶点分别是(4,0),(4,3),(0,3) = 4, = 3, , = 2+ 2= 5, , /, , =,4=3=5, =45, =35, 点的坐标为(45,
13、35); (2)存在, 点,点的相对位置不确定,是不是要分类讨论呢? 如解图,当点在点的左边时. =45, =45 = = 4 85 小鹿温馨提示:相似也别忘了分类讨论哦! 当 时,=, 即353=48545,解得 = 52 5; 当 时,=, 即3545=4853,解得 =3532; 如解图(2),当点在点右侧时. =45, =45, = + =85 4, 当 时,=, 即353=85445,解得 = 5; 当 时,=, 即3545=8543,解得 =12532; 综上所述,当 = 52 5或 =3532或 = 5或 =12532时,以、,为顶点的三角形与 相似. (3)如解图,当0 2.5
14、s时,过点作 于点.=12 =12(4 45) 35 = 6252+65 =12=1212 3 4 = 3 四边形 CDPQ= =625265 + 3 =3925. 解得1= 2,2= 3(舍去). 如解图,当2.5s 5s时,过点作 于点,过点作 于点,=12 =12(4 45) 32= 3 35 由 可得 = 4 45. =12 =12 3 (4 45) = 6 65. 四边形 PCQD= =12 3 4 (3 35) (6 65) =95 3 =3925 解得 =3815. 综上所述,的值为 2 或3815. 综合强化练综合强化练 9 9 万唯原创万唯原创 1.四边形是菱形, = 60,
15、 = 4. (1)如图,是上一点,连接并延长,交的延长线于点,交于点,若 = 6. 求的长; 求的长; (2)如图,是的中点,连接,过点作 交的延长线于点,点在上,连接,分别过点、作直线的垂线,垂足分别为,若 = 2,求的长. (3)如图,点为上一点,为上一点,且 = ,分别过点,作,的平行线,两条直线交于点,将四边形绕点顺时针旋转,如图,直线交直线于点,求的值及的度数. 解:(1):四边形是菱形, /, = = 4. .(A 字型) =, = + = 10, 4=610.解得 =125. (2)如解图,过点作 于点, = 60, = sin60= 23, = cos60= 2 = = 8.
16、= 2+ 2= 219. 四边形是菱形, /. , .(8字型) =410=25,=23. =27 =4197, =25 =4195. = =81935; (2)如解图,分别过点、作直线的垂线,垂足分别为点,则四边形是矩形, 同理(1)可得 = sin60= 23, = cos60= 2. = + = 4, = = 23. = = = 90, + = 90, + = 90, = . .(同侧一线三垂直) =23=423. 解得 = 3.=233. 2= 2+ 2= 28. = 2 2= 26. = = = 90, + = 90, + = 90, = . .(异侧线三垂直) =233=2. 解得 = 3. = = 26 3. （3）如解图,连接、交于点,连接、交于点,设与的交点为. 四边形是菱形, = ,四边形是菱形, = 2, , =12 = 30. = 2, , =12 = 30. = = cos30=32,= = cos30=32 = 3,= 3.=. = + = + 30, = + = + 30, = . 手拉手相似两大思路:等角和等比值,用心再体会下 .(手拉手) =13=33, = . 在 和 中, = , = , = = 30. 这道题做完,良心建议把里边的相似模型归纳巩固一下
