1、重难点重难点 0707 相似的性质与判定相似的性质与判定 1 1 第第 3131 天天 化解比例需设值化解比例需设值 1.（万唯原创）已知 x,y,z 满足249234xyz. (1)求22xyz的值; (2)若 x,y,z 是ABCV三边的长,且ABCV的周长为 12,试判断ABCV的形状并证明. 解:(1)设249234xyzk,则22,xky34,49kzk 2222688188;xyzkkk （1）判断三角形的形状，没有角度怎么办？三个边长来帮你，ABCV是直角三角形 证明：由（1）及题意得2 23 44912xyzkkk,解得3,4,5,3,kxyz222345 ,ABCQV是直角三
2、角形. 第第 3232 天天 巧妙的黄金分割巧妙的黄金分割 2.(2021福建厦门市双十中学月考改编)我们知道:如图,点B把线段AC分成两部分,如果BCABABAC,那么称点 B 为线段 AC 的黄金分割点它们的比值为512.如图,用边长为 20cm 的正方形纸片进行如下操作:对折正方形 ABCD 得折痕 EF,连接 CE,将 CB 折叠到 CE 上,点 B 对应点 H,得折痕 CG.试说明:G 是 AB 的黄金分割点. 证明：如解图，延长DA CG，交于点M. 四 边 形A B C D为 正 方 形 ， 边 长 为20cm， 90BD，DMBC，20ABCD ADABBCCDcm，.EMCB
3、CGBGCDCM， 由折叠的性质可得，1210,ECMBCGDEAEADcm，EMCECM .2210 5(cm)EMECDECD,(10 510)cmDM,BGCDCMBD Q,51,.2BGDCCDMGBCBCDMVV51,2BGABBCABQ,G是AB的黄金分割点. 也许你还不知道,生活中很多地方都应用了黄金分割,有兴诹的同学自己了解. 黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值约为0.618.这个比例被公认为是最能引起美感的比例,因此被称为黄金分割.在古希腊时期,有-天毕达哥拉斯走在街上,在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听,于是驻足
4、倾听.他发现铁匠打铁节奏很有规律,这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来. 第第 3333 天天 线段比例找相似线段比例找相似 3.(2020 浙江杭州市自主招生)如图,在ABCV中,D为 BC 的中点,E为 AB 上一点,且1 .4B EAB F为 AC上一点,且25CFAC,连接 EF 交 AD 于点P. (1) 求 EP:PF 的值； (2) 求 AP:PD 的值. 解:(1)线段比例能直接求出?那岂不是太“仁慈了,很多情况都是利用相似转化. 如解图,分别过点E、F作BC的平行线交AD于点G,H. 则,AHFADCAEGABDVVVV,33,54FHAFEGAECDACBDAB3
5、3,54FHCD EGBD DQ为BC的中点, BDCD 45FHEG, / /,/ /EGBC FHBCQ, /EGFH, ,EGPFHPVV54EPEGFPFH 即5:4EP PF ; (2)由(1)知,AHFADCAEGABDVVVV,EGPFHPVV335,544AHAFAGAEGPEPADACADABHPFP 设,4 ,5 ,AHy HPx PGx GDz, 则393,9594yyxyxzyxz 解得36 ,15yx zx, 4402520APyxxPDxzx :2:1AP PD. 苏步青,中国科学院院士,中国著名的数学家、教育家，中国微分几何学派创始人,被 誉为“东方国度上灿烂的数
6、学明星”、“东方第-几何学家”、“数学之王”.苏步青主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究,并在仿射微分几何学和射影微分几何学研究方面取得了出色成果,在一般空间微分几何学、高维空间共轭理论、几何外型设计、计算机辅助几何设计等方面取得了突出成就. 第第 3434 天天 相似比为线段比相似比为线段比 4.如图,在正方形 ABCD 中,点 M 是 BC 延长线上一点,点 N 是 CD 延长线上-一点,且 BM=DN.射线 BD 与 MN 相交于点 E.连接 BN 交 AD 于点 F,连接 MF 交 BD 于点 G.若2 2DE ,且 AF:FD=1:2,求线段 DG 的长. 解:线段长怎么求呢?
7、题干有比例,是不是要借助相似三角形呢?试-试. 如解图,过点M作MKBC;交射线BD于点K,Q四边形ABCD是正方形, ,/ /,90 , 2,45 , , , ,/ /, , , 22ABADBCCD ABCDBCDBDBCDBCMKBCDBCBKMBMMKBMDNMKDNDCBC MKBCCDMKDNEEMKNDEMKEDNEKME ASAEDEKBDDEBKBMooQQQVV 224 22,BDDEBCBM 4,4BMBCCM, / /,ABCDABFDNFQVV 1,22ABAFDNABDNDF 224,BMABBCBC 4BCAD 8,8,4 23DFBMBD 813/ /,383D
8、GDFADBCBGDGBGBMQ 4 2BGDGBDQ, 2DG. 第第 3535 天天 面积比与相似比面积比与相似比 5.万唯原创万唯原创 如图,在 中,点,分别是边,的中点. (1) 如图,连接,交于点,求证: 2; (2) 如图,点是的中点,连接交于点,求 的值. (1)证明:如解图(1),连接, 点,分别是边,的中点, 为 的中位线, /,且 12, , 2, 2 (2)两个三角形的面积比值通常有两种情形:两个三角形要么同高,要么相似,如果都不是,那 就尝试找中间三角形,可能两种情形兼而有之. 解:如解图(2),取的中点,连接,则 , 点是的中点 /, 同(1)可证 2 12 (12)
9、2 14 23 23 14 16 点是的中点,点是的中点 12 14, 124 124 综合强化练综合强化练 7 7 1.已知2+ 2+ 2+ 2+ ( 0),求2 3 4的值. 解:2+ 2+ 2+ 2+ , 由等比性质可得2(+)3(+) , 约分就像约会,是不能随便约的! 当 + + + 0时, 2(+)3(+) 23, 2 3 4 (23)2 3 23 4 509 当 + + + 0时, + + , 2+ 2 2, 2 3 4 (2)2 3 (2) 4 6 综上所述,2 3 4的值为509或6. 2.如图,已知,为 的边上的两点,且满足 ,一条平行于的直线 分别交,和的延长线于点、和,
10、求的值 解:如解图,过,分别作的平行线交于点、,设交于点,则/, , , /, 12, 12, 14, 13, /, / , . , 咦,还可以这样转化比值,开眼界了! 3. 3.如图,在 中, 2, 60,点是 内一点,且 120, 3, 5,求的长. 解法一： 解:这道题很难下手呀,不过题千中有 2, 是不是可以考构造相似三角形呢? 如解图(1),在上方作 ,使得 , , , , 120. 2, 2, 2 23, 2, + + 60, 2, 取的中点,连接,则 , 是等边三角形, 60. 30, + 90 sin 3, 120 30 90, 在Rt 中,由勾股定理得 2 2 4, 12 2
11、. 解法二:如解图(2),在右侧作 ,使 12,连接,. 2, 12, 2. 又 , 2. 12 52, 在 中, + + 60, 3, 12 32, 取的中点,连接,同理可得 90; 30. sin 32, 120 30 90, 在Rt 中, 2 2 (52)2 (32)2 2 4.(2020湖南衡阳市自主招生改编)如图,在等腰直角 中, 4,/,点在 点的右侧, 1,点、关于直线对称,交于点,交延长线于点,求的 长. 解:乍一看图,这不是一线三垂直吗!如解图,连接,延长交于点, 点、关于直线对称， , , , , , . + 12 +12 12 45 , 90, 90 45. /, 90, 在Rt 中, 4, 1, 根据勾股定理得, 2+ 2 17, 90, 90; + 90, + 90, , 90, , , 即417 4, 解得 161717, 点,关于直线对称, 161717,在Rt 中, 45, 2 163417.
