1、2021 年安徽省安庆市高考年安徽省安庆市高考二模二模数学试卷（文科）数学试卷（文科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1若集合 Mx|0 x3，Nx|x2+x20，则 MN（ ） A（0，1 B（0，3 C（0，2 D（2，1 2若复数 z 满足 z（1+i）22i（i 为虚数单位），则|z|（ ） A1 B C D2 3机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器它可以辅助甚至替代人类完成某些工作，提高工作效率， 服务人类生活， 扩大或延伸人的活动及能力范畴 某公司为了研究 M、 N 两个机器人的销售情况，统计了 2020 年 2 月至 7 月 M、N 两店每月的营业额
2、（单位：万元），得到如图折线图，则下列说法中错误的是（ ） AN 店营业额的平均值是 29 BM 店营业额的平均值在34，35内 CN 店营业额总体呈上升趋势 DM 店营业额的极差比 N 店营业额的极差大 4已知函数 f（x）（1t）2x+（tR）是 R 上的奇函数，则 f（2）f（2）（ ） A B C D 5在ABC 中，a，b，c 分别是A，B，C 的对边若 a，b，c 成等比数列，且 a2+bcc2+ac，则A 的大小是（ ） A B C D 6设首项为 1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 S69S3.则 log2（a1a2a3a20）（ ） A200 B190 C180 D
3、170 7顶点在坐标原点，焦点是双曲线1 的左焦点的抛物线标准方程是（ ） Ax212y By212x Cy24x Dy212x 8已知 sin（），则 cos（2）（ ） A B C D 9如果点 P（x，y）在平面区域上，则的取值范围是（ ） A2， B2， C2， D 10执行如图所示的程序框图，若输入的 t 为区间，10内任意一个数，则输出的 M 取值范围为（ ） A（，2），+） B2， C0，2，+） D（，2）0， 11设直三棱柱 ABCA1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，ABACAA1，BAC120，则此直三棱柱的高是（ ） A4 B4 C2 D2 12若曲线
4、f（x）alnx+（a+1）x2+1（aR）在点（1，f（1）处的切线与直线 7x+y20 平行，且对任意的 x1， x2 （0， +） ， x1x2， 不等式|f （x1） f （x2） |m|x1x2|恒成立， 则实数 m 的最大值为 （ ） A B2 C4 D5 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13命题“xR，x21x”的否定是 14设 m，nR，向量 （m，1）， （1，n）若 且| |2，则 mn 的值是 15已知过点（0，1）且斜率为 k 的直线 l，与圆 C：（x2）2+（y1）22 交于 M，N 两点，若弦 MN的长是 2，则 k 的值是 16已知函数 f（x
5、）2sin（x+）（0，0），x为 f（x）的一个零点，x为 yf（x）图象的一条对称轴，且 f（x）在（，）内不单调，则 的最小值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题题为必考题,每个试题考生都每个试题考生都必须作答第必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分分 17第 24 届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月在中国北京举行为迎接此次冬奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动， 并在培
6、训结束后统一进行了一次考核 为了了解本次培训活动的效果，从 A、B 两所大学随机各抽取 10 名学生的考核成绩，并作出如图所示的茎叶图 （）计算 A、B 两所大学学生的考核成绩的平均值； （）由茎叶图判断 A、B 两所大学学生考核成绩的稳定性；（不用计算） （）将学生的考核成绩分为两个等级，如表所示，现从样本考核等级为优秀的学生中任取 2 人，求 2人来自同一所大学的概率 考核成绩 60，85 86，100 考核等级 合格 优秀 18已知数列的前 n 项和 Tnn2+3n（nN*） （）求数列an的通项公式； （）令 bn（nN*），求数列bn的前 n 项和 Sn 19如图是矩形 ABCD 和
7、以边 AB 为直径的半圆组成的平面图形，AB2AD2a将此图形沿 AB 折叠，使平面 ABCD 垂直于半圆所在的平面若点 E 是折后图形中半圆 O 上异于 A，B 的点 （）证明：EAEC； （）若异面直线 AE 和 DC 所成的角为，求三棱锥 DACE 的体积. 20已知函数 f（x）ex+acosx，其中 x0，e 为自然对数的底数，aR （）当 a1 时，讨论 f（x）的单调性； （）若函数 f（x）的导函数 f（x）在（0，）内有且仅有一个零点，求 a 的值 21已知椭圆 C：1（b0）的左、右焦点分别为 F1（c，0）和 F2（c，0），P 为椭圆 C 上任意一点，三角形 PF1F2
8、面积的最大值是 3 （）求椭圆 C 的方程； （）若过点（2，0）的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，且 Q（，0），证明：为定值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生从第分请考生从第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题目计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题目计分选选修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：（ 为参数，常数 r0）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位曲线 C2的极坐标方程为 28sin+150 （）若曲线 C1与 C2有公共点，求 r
9、 的取值范围； （）若 r1，过曲线 C1上任意一点 P 作曲线 C2的切线，切点为 Q，求|PQ|的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|3x+1|+|x2| （）解不等式：f（x）5； （）若关于 x 的不等式 f（x）x2+m 在0，3上恒成立，求实数 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1若集合 Mx|0 x3，Nx|x2+x20，则 MN（ ） A（0，1 B（0，3 C（0，2 D（2，1 解：因为 Mx|0 x1，Nx|x2+x20 x|2x1， 所以 MN
10、x|0 x1（0，1 故选：A 2若复数 z 满足 z（1+i）22i（i 为虚数单位），则|z|（ ） A1 B C D2 解：【方法一】复数 z 满足 z（1+i）22i（i 为虚数单位）， z2i， |z|2i|2 【方法二】复数 z 满足 z（1+i）22i（i 为虚数单位）， 则|z（1+i）|（22i）|， 即|z|1+i|22i|， |z|2， |z|2 故选：D 3机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器它可以辅助甚至替代人类完成某些工作，提高工作效率， 服务人类生活， 扩大或延伸人的活动及能力范畴 某公司为了研究 M、 N 两个机器人的销售情况，统计了 2020 年 2
11、月至 7 月 M、N 两店每月的营业额（单位：万元），得到如图折线图，则下列说法中错误的是（ ） AN 店营业额的平均值是 29 BM 店营业额的平均值在34，35内 CN 店营业额总体呈上升趋势 DM 店营业额的极差比 N 店营业额的极差大 解：对于 A，N 店营业额的平均值是（2+8+16+35+50+63）29，所以 A 正确； 对于 B，M 店营业额的平均值是（14+20+26+45+64+36）3434，36，所以 B 正确； 对于 C，由图象知 N 店营业额总体呈上升趋势，所以 C 正确； 对于 D，M 店的极差为 641450，N 店的极差为 63261，且 5061，所以 D
12、错误 故选：D 4已知函数 f（x）（1t）2x+（tR）是 R 上的奇函数，则 f（2）f（2）（ ） A B C D 解：根据题意，函数 f（x）（1t）2x+（tR）是 R 上的奇函数， 则 f（0）（1t）20+1t+10，解可得 t2， 所以则， 故 故选：C 5在ABC 中，a，b，c 分别是A，B，C 的对边若 a，b，c 成等比数列，且 a2+bcc2+ac，则A 的大小是（ ） A B C D 【解答】解析：由已知得， 因此， 可化为 于是， 故选：A 6设首项为 1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 S69S3.则 log2（a1a2a3a20）（ ） A200 B
13、190 C180 D170 解：由题意 q1，由 9S3S6得： ， 故选：B 7顶点在坐标原点，焦点是双曲线1 的左焦点的抛物线标准方程是（ ） Ax212y By212x Cy24x Dy212x 解：因为 c24+59，c3，F（3，0），3，p6，y212x 故选：B 8已知 sin（），则 cos（2）（ ） A B C D 解：由， 可得， 所以 cos（2）12sin2（）12 故选：D 9如果点 P（x，y）在平面区域上，则的取值范围是（ ） A2， B2， C2， D 解：如图，先作出点 P（x，y）所在的平面区域 表示动点 P 与定点 Q（2，1）连线的斜率 联立，解得 于
14、是， 因此 故选：A 10执行如图所示的程序框图，若输入的 t 为区间，10内任意一个数，则输出的 M 取值范围为（ ） A（，2），+） B2， C0，2，+） D（，2）0， 解：由题意知， 当时，当且仅当时取等号 当 1t10 时，是增函数， 因此，M（t）的值域是 故选：D 11设直三棱柱 ABCA1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，ABACAA1，BAC120，则此直三棱柱的高是（ ） A4 B4 C2 D2 解：设 ABACAA12m因为BAC120，所以ACB30， 于是是ABC 外接圆的半径），r2m 又球心到平面 ABC 的距离等于侧棱长 AA1的一半， 所以球
15、的半径为所以球的表面积为， 解得 于是直三棱柱的高是 故选：D 12若曲线 f（x）alnx+（a+1）x2+1（aR）在点（1，f（1）处的切线与直线 7x+y20 平行，且对任意的 x1，x2（0，+），x1x2，不等式|f（x1）f（x2）|m|x1x2|恒成立，则实数 m的最大值为（ ） A B2 C4 D5 解： 因为 f（1）7， 所以f（x）3lnx2x2+1 因此，f（x）在（0，+）内单减 不妨设 x1x20，则 f（x1）f（x2） 于是|f（x1）f（x2）|m|x1x2|就是 f（x2）f（x1）m（x1x2）， 即 f（x2）+mx2f（x1）+mx1恒成立 令 g（
16、x）f（x）+mx，x0，则 g（x）在（0，+）内单减， 即 g（x）0.，x0 而，当且仅当时，取到最小值， 所以 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13命题“xR，x21x”的否定是 解：根据全称命题的否定是特称命题，得； 命题“xR，x21x”的否定是： “xR，x21x” 故答案为：“xR，x21x 14设 m，nR，向量 （m，1）， （1，n）若 且| |2，则 mn 的值是 3 解：因为，所以m+n0 又因为，所以 m2+14，m23 于是 m nm23 故答案为：3 15已知过点（0，1）且斜率为
17、k 的直线 l，与圆 C：（x2）2+（y1）22 交于 M，N 两点，若弦 MN的长是 2，则 k 的值是 解：直线 l 的方程为 ykx+1，即 kxy+10， 圆 C：（x2）2+（y1）22 的圆心坐标为（2，1），半径为，且弦 MN 的长是 2， ， 解得 k 故答案为： 16已知函数 f（x）2sin（x+）（0，0），x为 f（x）的一个零点，x为 yf（x）图象的一条对称轴，且 f（x）在（，）内不单调，则 的最小值为 解：由题意知，则 由， 得，又 kZ， 所以 k0， 则 故 所以 由题设知 0，当 k10 时，则 由， 知 f（x）在内单增，显然在内单增，不合题意 当 k
18、11 时，则 由， 知 f（x）在内单增，在内单减， 符合在内不单调的条件 故 的最小值为 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题题为必考题,每个试题考生都每个试题考生都必须作答第必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分分 17第 24 届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月在中国北京举行为迎接此次冬奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动， 并在培训结束后统一进行了一次考核 为了
19、了解本次培训活动的效果，从 A、B 两所大学随机各抽取 10 名学生的考核成绩，并作出如图所示的茎叶图 （）计算 A、B 两所大学学生的考核成绩的平均值； （）由茎叶图判断 A、B 两所大学学生考核成绩的稳定性；（不用计算） （）将学生的考核成绩分为两个等级，如表所示，现从样本考核等级为优秀的学生中任取 2 人，求 2人来自同一所大学的概率 考核成绩 60，85 86，100 考核等级 合格 优秀 解：（）， ； （）由茎叶图可知，A 所大学学生的成绩比 B 所大学学生的成绩稳定； （） 记事件 M 为“从样本考核等级为优秀的学生中任取 2 人，2 人来自同一所大学” 样本中，A 校考核等级为
20、优秀的学生共有 3 人，分别记为 a，b，c， B 校考核等级为优秀的学生共有 3 人，分别记为 A，B，C， 从这 6 人中任取 2 人，所有的基本事件个数为 ab，ac，aA，aB，aC，bc，bA，bB，bC，cA，cB，cC，AB，AC，BC 共 15 种， 而事件 M 包含的基本事件是 ab，ac，bc，AB，AC，BC 共 6 种， 因此 18已知数列的前 n 项和 Tnn2+3n（nN*） （）求数列an的通项公式； （）令 bn（nN*），求数列bn的前 n 项和 Sn 解：（）n1 时，4，a116 当 n2 时，Tnn2+3n， 作差得， 又当 n1 时满足此式，nN* （
21、） Snb1+b2+bn， ， 2Sn2 24+3 25+n 2n+2+（n+1） 2n+3 Sn2 23+24+25+2n+2（n+1） 2n+3 2n+3n 2n+32n+3n 2n+3. 19如图是矩形 ABCD 和以边 AB 为直径的半圆组成的平面图形，AB2AD2a将此图形沿 AB 折叠，使平面 ABCD 垂直于半圆所在的平面若点 E 是折后图形中半圆 O 上异于 A，B 的点 （）证明：EAEC； （）若异面直线 AE 和 DC 所成的角为，求三棱锥 DACE 的体积. 解：（）平面 ABCD 垂直于圆 O 所在的平面，两平面的交线为 AB，BC平面 ABCD，BCAB， BC 垂
22、直于圆 O 所在的平面 又 EA 在圆 O 所在的平面内，BCEA AEB 是直角，BEEA而 BEBCB，BE平面 EBC，BC平面 EBC， EA平面 EBC 又EC平面 EBC，EAEC （） 因为在矩形 ABCD 中，ABCD，直线 AE 和 DC 所成的角为， 所以直线 AE 和 AB 所成的角为，即 过 E 作 EFAB 于 F，则 EF平面 ABCD 又 AB2a，所以， 因此 于是 即三棱锥 DACE 的体积是 20已知函数 f（x）ex+acosx，其中 x0，e 为自然对数的底数，aR （）当 a1 时，讨论 f（x）的单调性； （）若函数 f（x）的导函数 f（x）在（0
23、，）内有且仅有一个零点，求 a 的值 解：（）当 a1 时，f（x）excosx，则 f（x）ex+sinx， 因为 x0，所以 ex1，1sinx1，因此 f（x）0， 故函数 f（x）在（0，+）内单调递增 （）由 f（x）exasinx0，得 asinxex， 因为 x（0，），所以 sinx0，因此， 令，则， 由 g（x）0，得， 当时，g（x）0；当时，g（x）0， 故 g（x）在（0，）单调递减，在（，）单调递增， 所以， 故 21已知椭圆 C：1（b0）的左、右焦点分别为 F1（c，0）和 F2（c，0），P 为椭圆 C 上任意一点，三角形 PF1F2面积的最大值是 3 （）求
24、椭圆 C 的方程； （）若过点（2，0）的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，且 Q（，0），证明：为定值 解：（）由题意知 c26b2.（1 分） 当P点 位 于 椭 圆C短 轴 端 点 时 ， 三 角 形PF1F2的 面 积S取 最 大 值 ， 此 时 所以 b2c29，即 b2（6b2）9，解得 b23 故椭圆 C 的方程为 （）（方法 1）当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l：xmy+2 交椭圆于 A（x1，y1），B（x2，y2） 由消去 x 得， （m2+2）y2+4my20则，所以 当直线l的斜率为0时，则 故为定值，且为 （方法 2）当直线 l 的斜率存在时，设直线
25、l：yk（x2）交椭圆于 A（x1，y1），B（x2，y2） 由消去 y 得，（2k2+1）x28k2x+8k260 则 而 所以 当直线 l 的斜率不存在时，可求得 A（2，1），B（2，1）， 故为定值，且为 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生从第分请考生从第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题目计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题目计分选选修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：（ 为参数，常数 r0）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位曲线 C2
26、的极坐标方程为 28sin+150 （）若曲线 C1与 C2有公共点，求 r 的取值范围； （）若 r1，过曲线 C1上任意一点 P 作曲线 C2的切线，切点为 Q，求|PQ|的最小值 解：（）曲线 C1的普通方程为 x2+y2r2（r0）， 曲线 C2的普通方程为 x2+（y4）21 若 C1与 C2有公共点，则， 所以 3r5 （）设 P（cos，sin），由， 得|PQ|2cos2+（sin4）21168sin1688 当且仅当 sin1 时取最大值， 故|PQ|的最小值为 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|3x+1|+|x2| （）解不等式：f（x）5； （）若关于 x 的不等式 f（x）x2+m 在0，3上恒成立，求实数 m 的取值范围 解：（）由|3x+1|+|x2|5 得， 或或， 解得 x1 或 1x2 或 x2， 故不等式 f（x）5 的解集为（，1）（1，+） （）由题意知，当 x0，3时，|3x+1|+|x2|x2+m 恒成立 若 0 x2，则 3x+1+2xx2+m，可得 m（x2+2x+3）min3； 若 2x3，则 3x+1+x2x2+m，m（x2+4x1）min2 综上可知，实数 f（x）的取值范围是（，2
