1、2021 年安徽省安庆市高考年安徽省安庆市高考二模二模数学试卷（理科）数学试卷（理科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题） 1已知集合 Ax|2x4，Bx|axa+3，若 ABA，则 a 取值范围是（ ） A（2，+） B（，1 C1，+） D（2，+） 2设复数 z1+i（i 是虚数单位），则|z2+|（ ） A1 B C D2 3从 4 位男生，2 位女生中选 3 人组队参加学习强国答题比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法种数共有（ ） A8 B12 C16 D20 4设函数 f（x）2x2x+x3，则使得不等式 f（2x1）+f（3）0 成立的实数 x 的取值范围是
2、（ ） A（，1） B（，2） C（1，+） D（2，+） 5已知实数 x，y 满足，则 zx2y 的最大值为（ ） A5 B1 C2 D3 6已知sin（）sintan1，则 tan（ ） A2 B2 C D 7设an是等比数列，前 n 项和为 Sn，若，则（ ） A B C D 8已知函数 ycos（x+）的图象如图所示，其中 为正整数，|2，则（ ） A1，2 B1，2 C2，4 D2，4 9设抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，过点 F 作倾斜角为 60的直线交抛物线于点 A，B（点 A 位于 x轴上方），O 是坐标原点，记AOF 和BOF 的面积分别为 S1，S2，则（ ） A9
3、 B4 C3 D2 10九章算术卷五商功中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”现记截面之间几何体体积为 V1， “刍甍”的体积为 V2，若，台体的体公式为 V（S+S），其中 S、S分别为台体的上、下底面的面积则“方亭”的上、下底面边长之比为（ ） A B C D 11已知| | |2，且 ， 的夹角为 60，若向量|1，则的取值范围是（ ） A4，4 B2 C0，2 D0，4 12对任意 x，e2，使得不等式（lnxk）x3lnx 成立的最大整数 k 为（ ） A2 B
4、1 C0 D1 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题） 13已知函数，则曲线 yf（x）在（0，0）处的切线方程为 14某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长 X（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约 40 小时若某高中学校 1000 学生中参加该活动时间在 30至 50 小时之间的同学约有 300 人据此，可推测全市 n 名学生中，累计时长超过 50 小时的人数大约为 15已知 F1，F2分别为双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点，过点 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 G连接 F1G，设直线 F1G，F2G 的斜率分别为 k
5、1，k2，若 k1k2，则双曲线 C 的离心率为 16钝角ABC 的面积是，AC2，BC3，角 A 的平分线交 BC 于点 D，则 AD 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生都必须作答第都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分分 17已知数列an满足 a1，n（n+1）anan1+（n+1）annan10，n2，nN （）求证：数列为等差数列； （）设数列（2n+1）
6、an2的前 n 项和 Sn.证明：Sn1 18如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，底面ABC 是正三角形，O1是其中心，侧面 BCC1B1是正方形，O2是其中心 （）判断直线 O1O2与直线 AA1的位置关系，并说明理由； （）若四面体 A1ABC 是正四面体，求平面 BCC1B1与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值 19某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由易到难的 A、B、C、D 四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题 A、B、C、D 顺序作答；每位同学初始得分均为 10 分，答对问题 A、B、C、D 分别加 1 分、2 分、3 分、6 分，
7、答错任一题减 2 分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足 14 分时，答题结束；假设小强同学对问题 A、B、C、D 回答正确的概率依次为、，且各题回答正确与否相互之间没有影响 （）求小强同学前三道题都答对的概率； （）用 X 表示小强同学答题结束时的得分，求 X 的分布列； （）求小强同学能通过比赛的概率 20设 F1，F2分别为椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点，P 是椭圆 C 的短轴的一个端点，已知PF1F2的面积为，cosF1PF2 （）求椭圆 C 的标准方程； （）是
8、否存在与 PF2平行的直线 l，满足直线 l 与椭圆 C 交于两点 M，N，且以线段 MN 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（x）x2+xln（ax+b），aR，a0 （）当 a1，b0 时，求证：f（x）； （）若 f（x）x2恒成立，求 ab 的最大值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生从第分请考生从第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分选选修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：（ 为参数
9、，常数 r0）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位曲线 C2的极坐标方程为 28sin+150 （）若曲线 C1与 C2有公共点，求 r 的取值范围； （）若 r1，过曲线 C1上任意一点 P 作曲线 C2的切线，切点为 Q，求|PQ|的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|3x+1|+|x2| （）解不等式：f（x）5； （）若关于 x 的不等式 f（x）x2+m 在0，3上恒成立，求实数 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）.
10、 1已知集合 Ax|2x4，Bx|axa+3，若 ABA，则 a 取值范围是（ ） A（2，+） B（，1 C1，+） D（2，+） 解：由 ABA 知 AB， 故，解得 a1 故选：C 2设复数 z1+i（i 是虚数单位），则|z2+|（ ） A1 B C D2 解：因为， 所以， 故选：B 3从 4 位男生，2 位女生中选 3 人组队参加学习强国答题比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法种数共有（ ） A8 B12 C16 D20 解：由题设知不同的选法可分两种情况： 第一种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法有12 种； 第二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有种， 根据分类
11、加法计数原理知，至少有 l 位女生人选的不同的选法有 16 种， 故选：C 4设函数 f（x）2x2x+x3，则使得不等式 f（2x1）+f（3）0 成立的实数 x 的取值范围是（ ） A（，1） B（，2） C（1，+） D（2，+） 解：由函数解析式知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数和单调递增函数， 原不等式可化为 f（2x1）f（3）， 2x13，解得 x1， x 的取值范围是（，1） 故选：A 5已知实数 x，y 满足，则 zx2y 的最大值为（ ） A5 B1 C2 D3 解：画出线性约束区域， 所以当直线经过 b（3.0）点时，目标函数 zx2y 有最大值，最大值为 3 故选
12、：D 6已知sin（）sintan1，则 tan（ ） A2 B2 C D 解：因为， 所以 因为， 所以 sin+coscos，即 sin2cos， 所以 tan2， 故选：A 7设an是等比数列，前 n 项和为 Sn，若，则（ ） A B C D 解：设等比数列an的公比为 q， 由可得：S44S2，整理得：a3+a43（a1+a2），即，解得：q23， ， 故选：B 8已知函数 ycos（x+）的图象如图所示，其中 为正整数，|2，则（ ） A1，2 B1，2 C2，4 D2，4 解：由图象知2，2， 为正整数，2，ycos（2x+）， 把点（2，1）代入 ycos（2x+）得，cos（
13、4+）1， 则 4+2k+，所以 2k+4，kZ， |2，4 故选：C 9设抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，过点 F 作倾斜角为 60的直线交抛物线于点 A，B（点 A 位于 x轴上方），O 是坐标原点，记AOF 和BOF 的面积分别为 S1，S2，则（ ） A9 B4 C3 D2 解：由题意可知，直线 AB 的方程为，代入 y22px， 整理得 设点 A、B 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 因为点 A 位于 x 轴上方，所以， 所以， 故选：C 10九章算术卷五商功中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体
14、，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”现记截面之间几何体体积为 V1， “刍甍”的体积为 V2，若，台体的体公式为 V（S+S），其中 S、S分别为台体的上、下底面的面积则“方亭”的上、下底面边长之比为（ ） A B C D 解：设“方亭”的上底面边长为 a，下底面边长为 b，高为 h， 则， ， ， 故选：A 11已知| | |2，且 ， 的夹角为 60，若向量|1，则的取值范围是（ ） A4，4 B2 C0，2 D0，4 解：解法 1：取，则点 C 在以 A 为圆心，半径为 1 的圆面上（包括边界）， 设向量的夹角为 ，由图 可知， 取值范围为； ， 由于为向量 在向量
15、上的投影， 且 故的取值范围是0，4 解法 2：不妨设， 因为，所以（x2）2+y21，设 x2+rcos，yrsin，0r1，R， 所以， 由于，故 故选：D 12对任意 x，e2，使得不等式（lnxk）x3lnx 成立的最大整数 k 为（ ） A2 B1 C0 D1 解：由题意知（lnxk）x3lnx，有 k， 令，则，令 （x）3lnx+x3， 易知其单调递增，因为 （2）3ln210，（）3ln3ln0， 所以存在，使得 （x0）3lnx0+x030， 因此在单调递减，在单调递增， ， 所以最大整数 k 为1， 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小
16、题 5 分，共分，共 20 分分 13已知函数，则曲线 yf（x）在（0，0）处的切线方程为 yx 解：， 则 f（0）1，曲线 yf（x）在（0，0）处的切线方程为 yx 故答案为：yx 14某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长 X（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约 40 小时若某高中学校 1000 学生中参加该活动时间在 30至 50 小时之间的同学约有 300 人据此，可推测全市 n 名学生中，累计时长超过 50 小时的人数大约为 0.35n 解：由题意，40，则 XN（40，2）， 由 P（30X50）0.3，可得 P（X50）0.
17、35， 故累计时长超过 50 小时的人数大约有 0.35n 人 故答案为：0.35n 15已知 F1，F2分别为双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点，过点 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 G连接 F1G，设直线 F1G，F2G 的斜率分别为 k1，k2，若 k1k2，则双曲线 C 的离心率为 解：已知焦点 F1，F2的坐标分别为（c，0），（c，0），其中 根据对称性，不妨设点 G 在渐近线上， 则直线 F2G 的方程为，与联立， 得，所以，由， 得，化简得 c22a2，故 故答案为： 16钝角ABC 的面积是，AC2，BC3，角 A 的平分线交 BC 于点 D，则 AD 解：由，
18、得， 若角 C 为锐角，则，此时 AB2AC2+BC22AC BCcosC10，即， 由于 ABBCAC，则ABC 为锐角三角形，不符合题意 故 C 为钝角，此时，AB2AC2+BC22AC BCcosC16， 故 AB4在ACD 中，由正弦定理得， 同理，在ABD 中， 而在ABC 中， 由于CADBAD，故， 由于 BC3， 故 CD1， 所以 AD2AC2+CD22AC CDcosC6， 所以 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生都
19、必须作答第都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分分 17已知数列an满足 a1，n（n+1）anan1+（n+1）annan10，n2，nN （）求证：数列为等差数列； （）设数列（2n+1）an2的前 n 项和 Sn.证明：Sn1 【解答】证明：（）， ， ， 数列是首项为 1，公差为 1 的等差数列； （） 由 （） 知：， ， 所以 18如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，底面ABC 是正三角形，O1是其中心，侧面 BCC1B1是正方形，O2是其中心 （）判断直线 O1O2与直线 AA1的位置关系，并说
20、明理由； （）若四面体 A1ABC 是正四面体，求平面 BCC1B1与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值 【解答】（）证明：如图 1，取 BC 的中点 D，B1C1的中点 D1，连接 AD，A1D1，DD1，根据棱柱的性质可得，所以， 所以四边形 ADD1A1是平行四边形， 所以 O1O2平面 ADD1A1 因为 O1O2与 DD1相交， 所以 O1O2与 AA1相交 （）解：因为四面体 A1ABC 是正四面体，O1是ABC 的中心，所以 A1O1平面 ABC，AO1BC 所以以 O1为坐标原点，方向分别为 x 轴，z 轴正方向，|AB|为单位长度， 建立空间直角坐标系 O1xyz 易 得，
21、B， C， A1， B1，C1，O2 所以， 所以，故是平面 BCC1B1的法向量 又是平面 ABC 的法向量， 设平面 BCC1B1与平面 ABC 所成的锐二面角为 ， 则 19某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由易到难的 A、B、C、D 四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题 A、B、C、D 顺序作答；每位同学初始得分均为 10 分，答对问题 A、B、C、D 分别加 1 分、2 分、3 分、6 分，答错任一题减 2 分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，通过比赛
22、；当作答完四题，累计分数仍不足 14 分时，答题结束；假设小强同学对问题 A、B、C、D 回答正确的概率依次为、，且各题回答正确与否相互之间没有影响 （）求小强同学前三道题都答对的概率； （）用 X 表示小强同学答题结束时的得分，求 X 的分布列； （）求小强同学能通过比赛的概率 解：（）小强同学前三道题都答对的概率 （）X 可能取 6，7，9，10，11，14，16，17，18，19 答题得分情况如下： 初始分 A B C D 累计 得分 能否通 过比赛 对错 得分 （1 分） 对错 得分 对错 得分 对错 得分 10 11 13 16 16 能 10 11 13 11 17 17 能 10
23、 11 13 11 9 9 否 10 11 9 12 18 18 能 10 11 9 12 10 10 否 10 11 9 7 7 否 10 8 10 13 19 19 能 10 8 10 13 11 11 否 10 8 10 8 14 14 能 10 8 10 8 6 6 否 10 8 6 6 否 随机变量 X 的分布列为： X 6 7 9 10 11 14 16 17 18 19 P （）小强同学能通过比赛的概率为： 20设 F1，F2分别为椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点，P 是椭圆 C 的短轴的一个端点，已知PF1F2的面积为，cosF1PF2 （）求椭圆 C 的标准方程； （）是
24、否存在与 PF2平行的直线 l，满足直线 l 与椭圆 C 交于两点 M，N，且以线段 MN 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 解：（）设|F1F2|2c，则PF1F2的面积等于，所以 由 cos2OPF2，即， 得 因为在直角OPF2中，|OP|b，|OF2|c， 所以，所以 由及 a2b2+c2，得 ，b1， 所以椭圆 C 的标准方程为 （）因为直线 PF2的斜率为，所以可设直线 l 的方程为，代入， 整理得 由，得 m2 设， 则， 若以线段 MN 为直径的圆经过坐标原点 O，则， 即， 得， 所以，得 因为，所以 所以存在满足条件的直线 l，方程为
25、或 21已知函数 f（x）x2+xln（ax+b），aR，a0 （）当 a1，b0 时，求证：f（x）； （）若 f（x）x2恒成立，求 ab 的最大值 解：（）证明：当 a1，b0 时，f（x）x2+xlnx， 所以，x0， 所以当 x时，f（x）0；当 0 x时，f（x）0， 所以当且仅当时，f（x）有最小值， 因为，f（）+ln2（ln41）0， 所以 f（x）； （）f（x）x2恒成立，即 xln（ax+b）0，且要求 ax+b0， 所以 exaxb， 若 a0，对任意的实数 b，当 x0 且时，由于 0ex1，ax+b1， 故不等式 exaxb 不成立 若 a0，设 g（x）exax
26、，则 g（x）exa 当 x（，lna），g（x）0，当 x（lna，+），g（x）0， 从而 g（x）exax 在（，lna）上单调递减，在（lna，+）单调递增， 故 g（x）exax 有最小值 g（lna）aalna， 因此 baalna，所以 aba2a2lna， 设 h（a）a2a2lna（a0），则 h（a）a（12lna）， 所以 h（a）a2a2lna 在上单调递增，在上单调递减， 从而 h（a）a2a2lna 的最大值为， 当，时，取等号，故 ab 的最大值为 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生从第分请考生从第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
27、第一题目计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分选选修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：（ 为参数，常数 r0）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位曲线 C2的极坐标方程为 28sin+150 （）若曲线 C1与 C2有公共点，求 r 的取值范围； （）若 r1，过曲线 C1上任意一点 P 作曲线 C2的切线，切点为 Q，求|PQ|的最小值 解：（）曲线 C1的普通方程为 x2+y2r2（r0）， 曲线 C2的普通方程为 x2+（y4）21 若 C1与 C2有公共点，则， 所以
28、3r5 （）设 P（cos，sin），由， 得|PQ|2cos2+（sin4）21168sin1688 当且仅当 sin1 时取最大值， 故|PQ|的最小值为 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|3x+1|+|x2| （）解不等式：f（x）5； （）若关于 x 的不等式 f（x）x2+m 在0，3上恒成立，求实数 m 的取值范围 解：（）由|3x+1|+|x2|5 得， 或或， 解得 x1 或 1x2 或 x2， 故不等式 f（x）5 的解集为（，1）（1，+） （）由题意知，当 x0，3时，|3x+1|+|x2|x2+m 恒成立 若 0 x2，则 3x+1+2xx2+m，可得 m（x2+2x+3）min3； 若 2x3，则 3x+1+x2x2+m，m（x2+4x1）min2 综上可知，实数 f（x）的取值范围是（，2
