1、北京市东城区20202021学年度第二学期高三综合练习（二） 数学 2021.5本试卷共4页，150分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，那么（A） （B） （C） （D） （2）已知的展开式中的系数为，那么 （A） （B） （C） （D）（3）设，那么 （A） （B） （C） （D） （4）已知，那么的最大值为（A） （B） （C） （D）（5）在平行四边形ABCD中，已知，为的中点，那
2、么（A） （B） （C） （D）（6）已知函数满足，当时，那么 （A） （B） （C） （D）（7）某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（A）（B）（C）（D） （8）已知双曲线，那么“双曲线的渐近线为”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）在中，已知，那么（A） （B） （C） （D）（10）有三个因素会影响某种产品的产量，分别是温度（单位：）、时间（单位：min）、催化剂用量（单位：g），三个因素对产量的影响彼此独立其中温度有三个水平：80、85、90，时间有三个水平：90、120、150，催化剂用量有三个水平：5、6
3、、7按全面实验要求，需进行27种组合的实验，在数学上可以证明：通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案下表给出了这9次实验的结果： 试验号温度（）时间（min）催化剂用量（g）产量（kg）18090 5 31280120 6 54380150 7 3848590 6 53585120 7 49685150 5 4279090 7 57890120 5 62990150 6 64根据上表，三因素三水平的最优组合方案为（A）85、120 min、7 g （B）90、120 min、6 g（C）85、150 min、6 g （D）90、150 min、7 g第二部分 （非选择题 共11
4、0分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）复数的实部为_（12）已知直线l不在平面，内给出下列三个论断：； ； 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_（13）已知抛物线过点，那么抛物线的准线方程为_，设为平面直角坐标系内一点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，那么线段的长度为_（14）角的终边与单位圆的交点位于第一象限，其横坐标为，那么_，点沿单位圆逆时针运动到点，所经过的弧长为，则点的横坐标为_（15）对于定义域为的函数，设关于的方程，对任意的实数总有有限个根，记根的个数为，给出下列命题：存在函数满足：，且有最小值；设，若，则；若，则为单调函数
5、；设，则其中所有正确命题的序号为_三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）如图，四棱锥中，平面，（）求证：平面；PABCD（）求二面角的余弦值（17）（本小题13分）已知等比数列满足，（）求的通项公式；（）从条件，条件这两个条件中选择一个作为已知，求数列的前项和条件：设；条件：设注：如果选择条件、条件分别解答，按第一个解答计分（18）（本小题14分）某市2019年一季度全市居民人均消费支出情况如下表所示全市居民分为城镇居民和农村居民，人均消费支出分为食品烟酒、衣着、居住、生活用品及服务、交通和通信、教育文化和娱乐、医疗保健、其他用品及服务共
6、8类（）从全市居民的8类人均消费支出中随机选取1类，求这类人均消费支出超过1000元的概率；（）从城镇居民的8类人均消费支出中随机选取3类，记X表示其中不超过2000元的类数，求X的分布列及数学期望；（）请直接写出这8类人均消费支出中，农村居民人均消费支出增速大于城镇居民人均消费支出增速的类别（19）（本小题15分）已知函数，其中（）若曲线在处的切线过点，求的值；（）若对恒成立，求的取值范围（20）（本小题15分）已知椭圆的右焦点，左，右顶点分别为，. （）求椭圆的方程；（）设过的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线，与直线交于点， 为线段的中点证明：直线的斜率为定值（21）（本小题15分
7、）设数列定义集合，其中为给定的正整数（）若，求；（）若中的项，求证：为常数列；（）记集合的最大元素为，求证：北京市东城区2020-2021学年度第二学期高三综合练习（二） 数学参考答案及评分标准 2021.5一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D （2）B （3）C （4）C （5）A（6）A （7）D （8）C （9）B （10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12）若，则.（答案不唯一） （13） （14） （15）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分）解：（）因为平面，所以因为， 所以又因为平面， 所以平面5分（）因为平面，所以
8、由（）知，如图，建立空间直角坐标系因为，PABCDxyz所以， ，设平面的法向量，由得 令，则，所以平面的法向量 平面的法向量 设二面角大小为，为锐角 所以二面角的余弦值为 13分（17）（本小题13分）解: （）设等比数列的公比为， 所以 解得 所以5分（）选择条件：因为 所以又因为，所以是首项，公差的等差数列 所以13分选择条件：设，所以又因为，所以是首项，公差的等差数列 因为，所以 13分（18）（本小题14分）解：（）记事件A为“从全市居民的8类人均消费支出中随机选取1类，这类人均消费支出超过1000元” 从全市居民的8类人均消费支出中随机选取1类，共有8种等可能的取法，其中有3类人均
9、消费支出超过1000元所以 4分（）X所有可能的取值为1，2，3 ， 则X的分布列为X123P11分 （III）衣着、居住、交通和通信、医疗保健14分（19）（本小题15分）解：（）， 因为，所以曲线在处的切线方程为， 因为切线过点，所以，因为，所以5分（）设， 令，得，（1）时， 与的情况如下：设，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为因为，所以 所以时，恒成立（2）时，因为， 所以当时，不等式并非对恒成立 综上所述，实数的取值范围是15分（20）（本小题15分）解: （）依题意有解得 所以椭圆的方程为 4分（）由题可知，直线的斜率存在，设直线的方程为. 联立 消得 ， ，解得设，则，直线，令，得，所以 设，则 直线的斜率 其中 . . 所以，即直线的斜率为定值15分（21）（共15分）解：（）3分（）由于，不妨设，令，则中的元素为：，因为，所以有，因为，所以，化简可得：，从而可得，从而数列为常数列10分（）对任意的有所以成立15分10
