1、2021年河南省信阳市淮滨县中考数学强化训练试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 计算A. B. C. D. 2. 若实数、满足，则的值是A. 或B. 或C. 或D. 或3. 已知方程组的解满足，则的值为A. B. C. D. 4. 从，这六个数中，随机抽取一个数记为，若数使关于的不等式组无解，且使关于的一元一次方程有整数解，那么这六个数中所有满足条件的的个数有A. B. C. D. 5. 已知两点、均在抛物线上，若，并且当取时对应的函数值大于取时对应的函数值，则，的大小关系是A. B. C. D. 6. 如图在直角坐标系中，矩形的顶点在轴的负半轴上，点在轴正半轴上，矩形的面积
2、为，把矩形沿翻折，使点与点重合，点落在第三象限的点处，作轴于，过点的反比例函数图象恰好过的中点，则的值是A. B. C. D. 7. 如图，点、为直线上的两点，过、两点分别作轴的平行线交双曲线于点、两点若，则的值为A. B. C. D. 8. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：；点到各边的距离相等；设，则其中正确的结论有A. 个B. 个C. 个D. 个9. 如图，矩形和矩形，点在边上，点在边上，且，连结和，分别是，的中点，则的长为A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，分别交、于点、，连接，以下结论：；点到的距离是；的面积为其中一定成立的有几个A
3、. 个B. 个C. 个D. 个二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11. 三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是_ 12. 若，则_13. _时，式子与互为相反数14. 如图，中，点为的中点，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，交于点，当为直角三角形时，的长为_15. 在中，点是内一动点，且满足，则的最小值为_；的最小值为_三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）16. 阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题-如图，从点出发，到笔
4、直的河岸去饮马，然后再去地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小解答问题：如图，的半径为，点、在上，是上一动点，求的最小值；如图，已知菱形的边长为，将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上现有一动点从点出发，以每秒个单位的速度，沿的方向，向点运动当到达点后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到轴上某一点时，立即以每秒个单位的速度，沿的方向，向点运动当到达点时，整个运动停止为使点能在最短的时间内到达点处，则点的位置应如何确定？在的条件下，设点的运动时间为，的面积为，在整个运动过程中，试求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围
5、四、解答题（本大题共7小题，共63.0分）17. 计算：18. 设关于的方程恰有两个实数根，求的取值范围19. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感求每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？20. 因式分解是多项式理论的中心内容之一，是代数中一种重要的恒等变形，它是学习数学和科学技术不可缺少的基础知识在初中阶段，它是分式中研究约分、通分、分式的化简和计算的基础；利用因式分解的知识，有时可使某些数值计算简便因式分解的方法很多，请根据提示完成下面的因式分解并利用这个因式分解解决提出的问题填空：_解决问题：计算：21. 综合与探究：在平面直角坐标系中，已
6、知抛物线与轴交于，两点点在点的右侧，与轴交于点，它的对称轴与轴交于点，直线经过，两点，连接求，两点的坐标及直线的函数表达式；探索直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；若点是直线上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点，使以点，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由；使以点，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由22. 如图，在中，点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速移动；点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速移动点、分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为秒当时，求线段的长度当为何值时，是等腰三角形？
7、当为何值时，的面积等于？当为何值时，23. 如图，四边形是正方形，点为对角线的中点问题解决：如图，连接，分别取，的中点，连接，则与的数量关系是_，位置关系是_；问题探究：如图，是将图中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，判断的形状，并证明你的结论；拓展延伸：如图，是将图中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，若正方形的边长为，求的面积答案和解析1.【答案】【解析】【分析】此题考查了算术平方根，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键原式利用零指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可得到结果【解答】解：原式，故选A2.【答案】【解析
8、】解：设，则，由得，由得，由得，再由得，即：，当时，原式；当时，原式；故选：先设，从而得出，再分两种情况讨论即可本题考查了分式的化简求值，解题的关键是设已知分式为定值，再求解就容易了3.【答案】【解析】解：由于方程组的解满足，所以解这个方程组，得把，代入，得，解这个方程，得故选：根据方程解及方程组解的定义，得到关于、的新的方程组，求出、的值，代入含的方程求解即可本题考查了方程组的解、方程的解的定义及二元一次方程组的解法根据题意得到新方程是解决本题的关键4.【答案】【解析】解：解不等式，得：，不等式组无解，解得：，解方程，得：，方程有整数解，或，解得：或或或；综上，这六个数中所有满足条件的的值为
9、、这个，故选：不等式组整理后，根据无解确定出的范围，进而得到的值，解方程求得，根据有整数解得出此时的值，继而从所列个数中确定符合条件的结果可得此题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键5.【答案】【解析】解：，抛物线的对称轴为：，当取时对应的函数值大于取时对应的函数值，又，抛物线开口向下，离抛物线对称轴越近的点的纵坐标就越大，、，点离不比点离远，故选：先求抛物线的对称轴得，再根据当取时对应的函数值大于取时对应的函数值，说明在对称轴右边，随的增大而减小，则可根据二次函数的图象与性质知，抛物线的开口方向，进而根据即点比点离对称轴近和二次函数的图象与性质，确定
10、结果本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答6.【答案】【解析】解：连接与交于点，过点作轴，垂足为，如图所示，矩形沿翻折，点与点重合，四边形是矩形，在和中，点是的中点，点是的中点，点与点重合点在反比例函数上，故选：连接与交于点，过点作轴，垂足为，可通过三角形全等证得与的交点就是的中点，由相似三角形的性质可得，根据反比例函数比例系数的几何意义可求出本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性7.【答案】【解析】解：延长交轴于，延长交轴于设、的
11、横坐标分别是，点、为直线上的两点，的坐标是，的坐标是则，、两点在交双曲线上，则，又，两边平方得：，即在直角中，同理，故选：延长交轴于，延长交轴于设、的横坐标分别是，点、为直线上的两点，的坐标是，的坐标是则，根据即可得到，的关系，然后利用勾股定理，即可用，表示出所求的式子从而求解本题考查了反比例函数与勾股定理的综合应用，正确利用得到，的关系是关键8.【答案】【解析】解：和的平分线相交于点，故本小题正确；和的平分线相交于点，故本小题正确；和的平分线相交于点，点是的内心，点到各边的距离相等，故本小题正确；连接，点是的内心，故本小题错误故选：根据和的平分线相交于点可得出，再由可知，故可得出，由此可得出
12、结论；先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；根据三角形内心的性质即可得出结论；连接，根据三角形的面积公式即可得出结论本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解答此题的关键9.【答案】【解析】解：连接，交于，延长交于，连接，如图所示：则四边形是矩形，四边形是矩形，在中，由勾股定理得：，在和中，点与点重合，点是的中点，是的中位线，故选：连接，交于，延长交于，连接，则四边形是矩形，求出，由证得，得出，则点与点重合，得出是的中位线，即可得出结果本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位
13、线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键10.【答案】【解析】【分析】此题考查了四边形综合题，关键是根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质分析此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用利用证明与全等，得出正确，根据含角的直角三角形的性质得出点到的距离是，得出正确，同时得出；的面积为，得出错误，得出，得出正确，即可解答【解答】解：四边形是菱形，在与中，正确；过点作，过点作，如图：，点到的距离是，故正确；，：，：，故错误；，故正确；一定成立的有个故选C11.【答案】直角三角形【解析】解：，三角形是直角三角形故答案为直角三角形先根据完全平方公式对已知
14、等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形就是直角三角形也考查了完全平方公式12.【答案】或或【解析】解：，当时，则，此时，当时，则，此时，当时，则，此时，综上所述：的值为或或故答案为：或或直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则分别计算得出答案此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确分类讨论是解题关键13.【答案】【解析】解：式子与互为相反数，解得故答案为：先根据相反数的定义列出关于的一元一次方程，求出的值即可本题考查的是解一元一次方程，熟知相反数的定义是解答此题的关键14.【答案】或【解析】解：中，点
15、为的中点，故分两种情况：当时，以为对称轴折叠得到，；当时，如图， ，故答案为：或分两种情况：当时，当时，利用锐角三角函数即可解决问题本题考查了翻折的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，解决本题的关键是利用分类讨论思想15.【答案】【解析】解：在上取，连接， ，又，当点，在同一条直线上时，的值最小，在中，的最小值为，如图，连接，在上取点，使，连接， ，又，当点，在同一直线上时，的值最小，在中，的最小值为，故答案为：；在上取，连接，可证，得，则，从而当点，在同一条直线上时，的值最小；连接，在上取点，使，连接，同理可证，则，有，当点，在同一直线上时，的值最小，利用勾股
16、定理求即可本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间，线段最短等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键16.【答案】解：延长交圆于，连接交于，连接， 则此时最小，是直径，由勾股定理得：答：的最小值是根据动点从点出发，以每秒个单位的速度，沿的方向，向点运动当到达点后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到轴上某一点时，立即以每秒个单位的速度，沿的方向，向点运动，即为使点能在最短的时间内到达点处，当时，根据垂线段最短得出此时符合题意， 菱形，是等边三角形，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，点的位置是时，用时最少当时，菱形，由勾股定理得：，；当时，当时，答：与之间的函数关系式是
17、当时，；当时，当时，【解析】延长交圆于，连接交于，连接，求出、，求出、根据勾股定理求出即可；根据运动速度不同以及运动距离，得出当时，点能在最短的时间内到达点处；根据三角形的面积公式求出从到时，与的关系式和从到以及到的解析式本题主要考查对含度角的直角三角形，勾股定理，三角形的面积，轴对称最短问题，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键17.【答案】解：；【解析】直接合并同类二次根式进而得出答案；直接去绝对值进而合并得出答案此题主要考查了二次根式的加减，正确去绝对值是解题关键18.【答案】解：由关于的方程可得，令，则，关于的方程恰有两个实数根，当时，由两个相等的实数根
18、，即，解得或；当时，必有一正一负根，由根与系数的关系可得两根之积小于零，解得，综上所述，的取值范围为或【解析】令将方程转化为，由根的判别式可得，再分两种情况：当时，由两个相等的实数根，当时，必有一正一负根，由根与系数的关系可得两根之积小于零，分别求解即可本题主要考查根的判别式，分类讨论是解题的关键19.【答案】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得：，解得：或舍去答：每轮传染中平均一个人传染了个人；根据题意得：个，答：第三轮将又有人被传染【解析】设平均一人传染了人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，列方程求解即可；根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人
19、数，列出算式求解即可此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键；本题的等量关系是两轮传染后共有人患了流感20.【答案】 【解析】解：；故答案为：，；，；填空根据完全平方公式和平方差公式计算可得；解决问题利用前面所得规律变形即可本题考查了因式分解的应用；熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键21.【答案】解：当时，解得：，点的坐标为，点的坐标为；抛物线的对称轴为直线；点的坐标为当时，点的坐标为设直线的表达式为，则，解得，直线的表达式为；直线上存在点，使为直角三角形点的坐标为，点的坐标为，又点的坐标为，为等边三角形分两种情况：当时，作轴于点在中，点的坐标
20、为作轴于点当时，在中，又，点的坐标为综上所述，直线上存在点，使为直角三角形，点的坐标为或；通过画图得知，当，为顶点的四边形为平行四边形时，只有图一种情况，设点，点，则，当点向右平移个单位向上平移个单位得到点，同样当点向右平移个单位向上平移个单位得到点，即，当点，为顶点的四边形为菱形时，则，即，联立并解得：舍去或，故点点的坐标为；当以点，为顶点的四边形为矩形，则，即，联立并解得：，故点的坐标为【解析】令，则解得：，则点的坐标为，点的坐标为；进而求出点的坐标，即可求解；分、两种情况，分别求解即可；通过画图得知，当，为顶点的四边形为平行四边形时，只有图一种情况，当点，为顶点的四边形为菱形时，则，当以
21、点，为顶点的四边形为矩形，则，即可求解本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象的平移、平行四边形和特殊四边形的性质等，综合性强，难度适中22.【答案】解：当时，由运动知，、，；由运动知，、，是等腰三角形，由运动知，、，当时，舍去，当时，的面积等于；由运动知，、，【解析】由于点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速移动，点从出发沿向点以厘米秒，而，由此可以用表示、的长度，然后利用勾股定理即可求出的长度；由等腰三角形的性质得出，建立方程求解即可得出结论；首先用分别表示，的长度，然后利用三角形的面积公式即可列出关于的方程，解方程即可解决问题；利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可此题是相似
22、形综合题，主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，相似三角形的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键23.【答案】解：，；的形状是等腰直角三角形理由如下：连接并延长交于点，如图，四边形是正方形，将绕点按顺时针方向旋转得到，是等腰直角三角形，又点是的中点，为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形又点为的中点，且，的形状是等腰直角三角形；延长交边于点，连接，四边形是正方形，是对角线，由旋转得，四边形是矩形，为等腰直角三角形点是的中点，为等腰直角三角形，点是的中点，【解析】【分析】由正方形的性质得出，由中位线定理得出，则可得出结论；连接并延长交于点，由旋转的性质得出是等腰直角三角形，证得，则，证得为等腰直角三角形同理也为等腰直角三角形，则可得出结论；延长交边于点，连接，证明，得出，得出，则为等腰直角三角形，由直角三角形的性质和勾股定理可求出和，求出，由三角形面积公式即可得出答案本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键【解答】解：点为对角线的中点，为的中点，为的中点，；故答案为：，见答案；见答案
