1、人教人教A版必修第一册版必修第一册 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.3.1 4.3.1 对数的概念对数的概念 课程目标课程目标 1、理解对数的概念以及对数的基本性质； 2、掌握对数式与指数式的相互转化. 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：对数的概念； 2.逻辑推理：推导对数性质； 3.数学运算：用对数的基本性质与对数恒等式求值； 4.数学建模：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质. 自主预习，回答问题自主预习，回答问题 阅读课本阅读课本122-123页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1. 1. 对数的定义是什么？底数和真数又分别是什么？对数的定义是什
2、么？底数和真数又分别是什么？ 2. 2. 什么是常用对数和自然对数？什么是常用对数和自然对数？ 3.3.如何进行对数式和指数式的互化？如何进行对数式和指数式的互化？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 1对数的概念如 果 ax N(a0 ， 且 a1) ， 那 么 数 x叫做，记作，其中 a 叫做，N 叫做以以 a 为底为底 N的对数的对数 对数的底数对数的底数 真数真数 xlogaN 点睛点睛 logaN 是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写一个数，不可分开书写 知识清单知识清单 2常用对数与自然对
3、数通常将以 10 为底的对数叫做， 以 e 为底的对数称为， log10N 可简记为， logeN 简记为.3对数与指数的关系若 a0，且 a1，则 axNlogaN.对数恒等式：alogNa；logaax(a0，且 a1)4对数的性质(1)1 的对数为；(2)底的对数为；(3)零和负数常用对数常用对数 自然对数自然对数 lg N x N x 零零 1 没有对数没有对数 lg N 1 1判断判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”) (1)(1)logaN 是是 loga与与 N 的乘积的乘积 ( ) (2)(2)(2)38可化为可化为log(2)(8)3. ( ) (3)(
4、3)对数运算的实质是求幂指数对数运算的实质是求幂指数 ( ) 2 2若若 a2M(a0 且且 a1)，则有，则有( ) Alog2Ma BlogaM2 Cloga2M D log2aM 答案：B小试身手小试身手 3 3log21log22( ) A3 B2 C1 D.0 4已知 log32x150，则 x_.答案：C答案：3 题型一题型一 对数式与指数式的互化对数式与指数式的互化 例1 将下列指数式与对数式互化: 题型分析题型分析 举一反三举一反三 (1)log1327=-3; (2)43=64; (3)e-1=1e; (4)10-3=0.001. 分析:利用当a0,且a1时,logaN=ba
5、b=N进行互化. 解:(1) 13 -3=27. (2)log464=3. (3)ln1e=-1. (4)lg 0.001=-3. 解题方法解题方法（对数式与指数式的互化） 1.logaN=b与ab=N(a0,且a1)是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系.如下图: 2.根据这个关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变. 跟踪训练一 1.将下列指数式与对数式互化: (1)2-2=14; (2)102=100; (3)ea=16; (4)log6414=-13; (5
6、)logxy=z(x0,且 x1,y0). 解:(1)log214=-2.(2)log10100=2,即lg 100=2.(3)loge16=a,即 ln 16=a.(4)64-13 14.(5)xz=y(x0,且x1,y0). 题型二题型二 利用对数式与指数式的关系求值利用对数式与指数式的关系求值 例2 求下列各式中x的值: (1)4x=5 3x; (2)log7(x+2)=2; (3)ln e2=x;(4)logx27=32;(5)lg 0.01=x.分析:利用指数式与对数式之间的关系求解. 解:(1)4x=5 3x,4 3 =5,43 =5,x=log435.(2)log7(x+2)=2
7、,x+2=72=49,x=47. (3)ln e2=x,ex=e2,x=2. (4)logx27=32, 32=27,x=2723=32=9.(5)lg 0.01=x,10 x=0.01=10-2,x=-2. 解题方法解题方法（利用对数式与指数式的关系求值） 指数式ax=N与对数式x=logaN(a0,且a1)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个. 跟踪训练二 1. 求下列各式中的x值: (1)log2x=12;(2)log216=x;(3)logx27=3.解:(1)log2x=12,x=212,x= 2.(2)log216=
8、x,2x=16,2x=24,x=4. (3)logx27=3,x3=27,即x3=33,x=3. 题型三题型三 利用对数的基本性质与对数恒等式求值利用对数的基本性质与对数恒等式求值 例3 求下列各式中x的值: (1)ln(log2x)=0; (2)log2(lg x)=1; (3)3log3 =9.分析:利用logaa=1,loga1=0(a0,且a1)及对数恒等式求值. 解:(1)ln(log2x)=0,log2x=1,x=21=2. (2)log2(lg x)=1,lg x=2,x=102=100. (3)由3log3 =9得 =9,解得x=81. 解题方法解题方法（利用对数的基本性质与对
9、数恒等式求值） 1.在对数的运算中,常用对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)loga1=0(a0,a1);(3)logaa=1(a0,a1)进行对数的化简与求值. 2.对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒等式 =N(a0,且a1,N0)的结构形式:(1)指数中含有对数式;(2)它们是同底的;(3)其值为对数的真数. log 跟踪训练三 1. 求下列各式中x的值: (1)ln(lg x)=1;(2)log2(log5x)=0;(3)32+log35=x. 解:(1)ln(lg x)=1,lg x=e,x=10e. (2)log2(log5x)=0,log5x=1,x=5. (3)x=323log35=95=45.
