1、人教人教A版必修第一册版必修第一册 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.4.4 4.2 .2 对数对数函数的图像和性质函数的图像和性质 课程目标课程目标 1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力； 2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质； 3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯. 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：对数函数的图像与性质； 2.逻辑推理：图像平移问题； 3.数学运算：求函数的定义域与值域； 4.数据分析：利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式； 5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体
2、到一般的数形结合思想总结对数函数性质. 自主预习，回答问题自主预习，回答问题 阅读课本阅读课本132-133页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1. 对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？些性质？ 2. 反函数的概念是什么？反函数的概念是什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 1对数函数的图象及性质a 的范围0a1a1图象a 的范围0a1a1性质定义域值域R定点，即 x时，y单调性 在(0，)上是在(0，)上是(0，) (1,0) 1 0 减函数减函数 增函数增函数 知识清
3、单知识清单 2反函数指数函数和对数函数 ylogax(a0 且 a1)互为反函数yax 点睛点睛 底数底数 a 与与 1 的大小关系决定了对数函数图象的的大小关系决定了对数函数图象的“升升降降”：当：当 a1 时，对数函数的图象时，对数函数的图象“上升上升”；当；当 0a1 时，时，对数函数的图象对数函数的图象“下降下降” 小试身手小试身手 1.若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是 ( ) A.0.5 B.2 C.e D. 2.下列函数中,在区间(0,+)内 不是增函数的是( ) A.y=5x B.y=lg x+2 C.y=x2+1 D.y= 3.函数的f(x)=loga(x-2
4、)-2x的图象必经过定点 . log12x 4.(1)函数f(x)= 的反函数是 . (2)函数g(x)=log8x的反函数是 . 23 解析:1.函数y=logax在(0,+)上单调递减, 0a1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示. 2.牢记特殊点:对数函数 y=logax(a0,且 a1)的图象经过(1,0),(a,1),1 ,-1 . 1、 跟踪训练一作出函数作出函数y=|lg(x-1)|的图象的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间. 解:先画出函数y=lg x的图象(如
5、图). 再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图). 图 图 最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图). 图 由图易知其定义域为(1,+),值域为0,+),单调递减区间为(1,2,单调递增区间为(2,+). 题型二题型二 比较对数值的大小比较对数值的大小 例 2比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a0，且 a1)解：(1)考察对数函数 ylog2x，
6、因为它的底数 21，所以它在(0，)上是增函数，于是 log23.4log28.5.(2)考察对数函数 ylog0.3x，因为它的底数 00.31，所以它在(0，)上是减函数，于是 log0.31.8log0.32.7.(3)当 a1 时，ylogax 在(0，)上是增函数，于是loga5.1loga5.9；当 0a1 时，ylogax 在(0，)上是减函数，于是loga5.1loga5.9.解题方法解题方法（比较对数值大小时常用的比较对数值大小时常用的4种方法种方法） (1) 同底的利用对数函数的单调性同底的利用对数函数的单调性 (2) 同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化同真的利用对数
7、函数的图象或用换底公式转化 (3) 底数和真数都不同，找中间量底数和真数都不同，找中间量 (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论的影响，对底数进行分类讨论 跟踪训练二 1比较下列各题中两个值的大小：(1)lg 6，lg 8；(2)log0.56，log0.54；(3)log132 与 log152;(4)log23 与 log54.解：(1)因为函数 ylg x 在(0，)上是增函数，且 68，所以 lg 6lg 8.(2)因为函数 ylog0.5x 在(0，)上是减函数，且 64，所以 log0.56log0.
8、54.(3)(3)由于由于 log1321log213，log1521log215. 又又对数函数对数函数 ylog2x 在在(0，)上是增函数，且上是增函数，且1315， 0log2 13log2 15，1log2131log215. log132log152. (4)(4)取中间值取中间值 1， log23log221log55log54，log23log54. 题型三题型三 求解对数不等式求解对数不等式 例 3(1)已知 loga121，求 a 的取值范围；(2)已知 log0.7(2x)log0.7(x1)，求 x 的取值范围解：(1)由 loga121 得 loga12logaa.当
9、 a1 时，有 a12，此时无解当 0a1 时，有12a，从而12a1.a 的取值范围是12，1.(2)函数函数 ylog 0.7x 在在(0，)上为减函数，上为减函数， 由由 log0.72xlog0.7(x1) 得得 2x0，x10，2xx1，解得解得 x1. x 的取值范围是的取值范围是(1，) 解题方法解题方法（常见对数不等式的常见对数不等式的2种解法种解法） (1)形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论 (2)形如logaxb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助ylogax的单调性求解 跟踪训练
10、跟踪训练三三 1 1已知已知loga(3a1)恒为正，求恒为正，求a的取值范围的取值范围 解：由题意知 loga(3a1)0loga1.当 a1 时，ylogax 是增函数，3a11，3a10，解得 a23，a1；当 0a1 时，ylogax 是减函数，3a11，3a10，解得13a23.13a23.综上所述，a 的取值范围是13，23 (1，).题型四题型四 有关对数型函数的值域与最值问题有关对数型函数的值域与最值问题 例 4求下列函数的值域(1)ylog2(x24)；(2)ylog12(32xx2)解：(1)ylog2(x24)的定义域是 R.因为 x244，所以 log2(x24)log
11、242，所以 ylog2(x24)的值域为2，)(2)(2) 设设 u32xx2(x1)244. 因为因为 u0，所以，所以 0u4. 又又 ylog12u 在在(0，)上为减函数，上为减函数， 所以所以 log12ulog1242， 所以所以 ylog12 (32xx2)的值域为的值域为2，) 解题方法解题方法（对数型函数的值域与最值对数型函数的值域与最值） (1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响， 结合函数的单调性求解， 当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值跟踪训练跟踪训练四四 1 已知 f(x)2log3x， x1,9， 求函数 yf(x)2f(x2)的最大值及此时 x 的值解：yf(x)2f(x2)(2log3x)2log3x22(log3x)26log3x6(log3x3)23.f(x)的定义域为1,9，yf(x)2f(x2)中，x 必须满足1x9，1x29，1x3，0log3x1，6y13.当 x3 时，y 取得最大值，为 13.
