1、2021-2022 学年辽宁省沈阳市沈北新区九年级学年辽宁省沈阳市沈北新区九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 2 分，共分，共 20 分）分） 1 （2 分）二次函数 y（x+2）21 的顶点是（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1） 2 （2 分）点（3，5）在反比例函数 y（k0）的图象上，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A （5，3） B （，3） C （5，3） D （，3） 3 （2 分）在 RtABC 中，C90，AC4，BC3，则（ ） AsinA BcosA CcosB DtanB 4 （2 分）菱形 ABCD
2、 的周长是 8cm，ABC60，那么这个菱形的对角线 BD 的长是（ ） Acm B2cm C1cm D2cm 5 （2 分）如图，ABCDEF，若，BD9，则 DF 的长为（ ） A2 B4 C6 D8 6 （2 分）将分别标有“中” “国” “加” “油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（ ） A B C D 7 （2 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，AFBC，垂足为点 F，ADE30，DF4，则 BF 的长为（ ） A4 B8
3、 C2 D4 8 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，OAB 与OCD 位似，点 O 是它们的位似中心，已知 A（6，4） ，C（3，2） ，则OAB 与OCD 的面积之比为（ ） A1：1 B2：1 C3：1 D4：1 9 （2 分）下列各组中两个图形不一定相似的是（ ） A有一个角是 120的两个等腰三角形 B两个等腰直角三角形 C有一个角是 35的两个等腰三角形 D两个等边三角形 10 （2 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中错误是（ ） Aab+c0 Babc0 C4a2b+c0 D2ab0 二二.填空题（每题填空题（每题 3 分，共分，共 18 分）分
4、） 11（3 分） 如图， 已知菱形 ABCD 的边长为 2， BAD60， 若 DEAB， 垂足为点 E， 则 DE 的长为 12 （3 分）如图，ABC 中，cosB，sinC，AC5，则ABC 的面积是 13 （3 分）如图，直线 ymx 与双曲线 y交于点 A，B过点 A 作 APx 轴，垂足为点 P，连接 BP若B 的坐标为（3，2） ，则 SBPO 14 （3 分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系为 yx2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米 15 （3 分）如图，ABC 是一块锐
5、角三角形的材料，边 BC120mm，高 AD80mm，要把它加工成正方形零件， 使正方形的一边在 BC 上， 其余两个顶点分别在 AB、 AC 上， 这个正方形零件的边长是 mm 16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 P 是对角线 AC 上一点，若点 P、A、B 组成一个等腰三角形时，PAB 的面积为 三、解答题三、解答题 17 （8 分）解方程 （1）2x2+3x3 （2）计算：4sin30+2cos45tan602 18 （6 分）在一个不透明的口袋中装有 4 个依次写有数字 1，2，3，4 的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀 （1）从中随机摸出一
6、个小球，上面的数字不小于 2 的概率为 （2）从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的概率 19 （6 分）如图某船由西向东航行，在点 A 处测得小岛 O 在北偏东 60方向，船航行了 10 海里后到达点B这时测得小岛 O 在北偏东 45方向，船继续航行到点 C 时，测得小岛 O 恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离 （结果保留根号） 20 （8 分）2019 年某县投入 100 万元用于农村“扶贫工程” ，计划以后每年以相同的增长率投入，2021 年该县计划投入“扶贫工程”144 万元 （1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率
7、； （2）若 2022 年保持从 2019 年到 2021 年的年平均增长率不变，求 2022 年该县将投入“扶贫工程”多少万元？ 21 （8 分）如图，边长为 4 的正方形 ABCD，点 E 在 AD 边上，点 F 在 CD 边上，且 AE2，DF1 （1）求 BE 的长； （2）请判断BEF 的形状，并说明理由 22 （10 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴的正半轴上，点 B 在点 A 的右侧，反比例函数 y1在第一象限内的图象与直线 y2x 交于点 D，且反比例函数 y1交 BC 于点 E，AD3 （1）求 D 点的坐标及反比例函数的关系式； （2）若矩形的面积是 2
8、4，求出CDE 的面积 （3）直接写出当 x4 时，y1的取值范围 23 （12 分）如图，点 E 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上一点，点 F 在 BE 延长线上，且 EFBE，EF 与CD 交于点 G （1）求证：DFAC； （2）连接 DE、CF，若 2ABBF，若 G 恰好是 CD 的中点，求证：四边形 CFDE 是矩形； （3）在（2）的条件下，若四边形 CFDE 是正方形，且 BC80，求 AB 的长 24 （12 分）如图，已知点 P 在矩形 ABCD 外，APB90，PAPB，点 E，F 分别在 AD，BC 上运动，且EPF45，连接 EF （1）求证：APEBFP （
9、2）当PEF90，AE2 时， 求 AB 的长； 直接写出 EF 的长； （3）直接写出线段 AE、BF、EF 之间的数量关系 25 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+2 交 x 轴于点 A（3，0）和点 B（1，0） ，交 y 轴于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2） 点 D 的坐标为 （1， 0） ， 点 P 为第二象限内抛物线上的一个动点， 求四边形 ADCP 面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点 M，使MAB 是以 AB 为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存在，并说明理由； （4）在对称轴上是否存在点 N，使BCN 为直角三角形，若存在，直
10、接写出 N 点坐标，若不存在，说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 2 分，共分，共 20 分）分） 1 （2 分）二次函数 y（x+2）21 的顶点是（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1） 【解答】解：二次函数 y（x+2）21， 该函数图象的顶点坐标为（2，1） ， 故选：C 2 （2 分）点（3，5）在反比例函数 y（k0）的图象上，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A （5，3） B （，3） C （5，3） D （，3） 【解答】解：点（3，5）在反比例函数 y（k0）的图象上， k3515， A、5（3）
11、15，此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； B、315，此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意； C、5（3）1515，此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意； D、315，此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意 故选：A 3 （2 分）在 RtABC 中，C90，AC4，BC3，则（ ） AsinA BcosA CcosB DtanB 【解答】解： 由勾股定理得：AB5， 所以 sinA，cosA，cosB，tanB， 即只有选项 B 正确，选项 A、选项 C、选项 D 都错误； 故选：B 4 （2 分）菱形 ABCD 的周长是 8cm，ABC60，那么这个菱形的对
12、角线 BD 的长是（ ） Acm B2cm C1cm D2cm 【解答】解：菱形 ABCD 的周长为 8cm， ABBC2（cm） ，OAOC，OBOD，ACBD， ABC60， ABC 是等边三角形， ACAB2cm， OA1（cm） ， 在 RtAOB 中，由勾股定理得：OB（cm） ， BD2OB2（cm） ， 故选：B 5 （2 分）如图，ABCDEF，若，BD9，则 DF 的长为（ ） A2 B4 C6 D8 【解答】解：ABCDEF， ， ，BD9， ， 解得：DF6， 故选：C 6 （2 分）将分别标有“中” “国” “加” “油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉
13、字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（ ） A B C D 【解答】解：画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的结果有 2 种， 两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率为， 故选：B 7 （2 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，AFBC，垂足为点 F，ADE30，DF4，则 BF 的长为（ ） A4 B8 C2 D4 【解答】解：在 RTABF 中，AFB90，ADDB，DF4， AB2DF8， ADDB，AEEC， DEBC， ADEABF3
14、0， AFAB4， BF4 故选：D 8 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，OAB 与OCD 位似，点 O 是它们的位似中心，已知 A（6，4） ，C（3，2） ，则OAB 与OCD 的面积之比为（ ） A1：1 B2：1 C3：1 D4：1 【解答】解：OAB 与OCD 位似，点 O 是它们的位似中心，A（6，4） ，C（3，2） ， OAB 与OCD 的位似比为：6：32：1， 则OAB 与OCD 的面积之比为：22：14：1 故选：D 9 （2 分）下列各组中两个图形不一定相似的是（ ） A有一个角是 120的两个等腰三角形 B两个等腰直角三角形 C有一个角是 35的两个等腰三角形 D
15、两个等边三角形 【解答】解：A、有一个角是 120的两个等腰的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意； B、两个等腰直角的三组角分别对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，不符合题意； C、各有一个角是 35的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是 35，而另一个等腰三角形的顶角是 35，则两个三角形一定不相似，符合题意； D、两个等边三角形的各内角都为 60，所以两等边三角形相似，不符合题意； 故选：C 10 （2 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中错误是（ ） Aab+c0 Babc0 C4a2b+c0 D2ab0 【解答】解：由图象可知，当
16、x1 时，yab+c1，故 A 项正确，不符合题意； 抛物线开口向下，1，与 y 轴的交点为（0，1） ， a0，b2a0，c10， 2ab0，abc0，故 B、D 项正确，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点在原点和点（1，0）之间， 另一个交点在（2，0）与（3，0）之间， 当 x2 时，y4a2b+c0，故 C 项错误，符合题意， 故选：C 二二.填空题（每题填空题（每题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD60，若 DEAB，垂足为点 E，则 DE 的长为 【解答】解：DEAB， AED90， 在 R
17、tADE 中，BAD60，AD2， sin60， 则 DEADsin602 故答案为： 12 （3 分）如图，ABC 中，cosB，sinC，AC5，则ABC 的面积是 【解答】解：过点 A 作 ADBC， ABC 中，cosB，sinC，AC5， cosB， B45， sinC， AD3， CD4， BD3， 则ABC 的面积是：ADBC3（3+4） 故答案为： 13 （3 分）如图，直线 ymx 与双曲线 y交于点 A，B过点 A 作 APx 轴，垂足为点 P，连接 BP若B 的坐标为（3，2） ，则 SBPO 3 【解答】解：B 的坐标为（3，2） ， A（3，2） ， 过点 A 作 A
18、Px 轴，垂足为点 P， OP3， SBPO3， 故答案为 3 14 （3 分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系为 yx2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 10 米 【解答】解：当 y0 时，yx2+x+0， 解得，x2（舍去） ，x10 故答案为：10 15 （3 分）如图，ABC 是一块锐角三角形的材料，边 BC120mm，高 AD80mm，要把它加工成正方形零件， 使正方形的一边在 BC 上， 其余两个顶点分别在 AB、 AC 上， 这个正方形零件的边长是 48 mm 【解答】解：正方形
19、 PQMN 的 QM 边在 BC 上， PNBC， APNABC， 设 EDx， PNMNEDx， ， 解得：x48， 这个正方形零件的边长是 48mm 故答案为：48 16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 P 是对角线 AC 上一点，若点 P、A、B 组成一个等腰三角形时，PAB 的面积为 或或 3 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ABC90， 由勾股定理得：AC5， 有三种情况： 当 ABBP3 时，如图 1，过 B 作 BMAC 于 M， SABC， ， 解得：BM， ABBP3，BMAC， AMPM， APAM+PM， PAB 的面积 S； 当 ABA
20、P3 时，如图 2， BM， PAB 的面积 S ； 作 AB 的垂直平分线 NQ，交 AB 于 N，交 AC 于 P，如图 3，则 APBP，BNAN， 四边形 ABCD 是矩形，NQAB， PNBC， ANBN， APCP， PNBC2， PAB 的面积 S 2 3； 即PAB 的面积为或或 3， 故答案为：或或 3 三、解答题三、解答题 17 （8 分）解方程 （1）2x2+3x3 （2）计算：4sin30+2cos45tan602 【解答】解： （1）2x2+3x3， 2x2+3x30， a2，b3，c3， 3242（3）330， x x1，x2； （2）原式4+22 2+2 18 （
21、6 分）在一个不透明的口袋中装有 4 个依次写有数字 1，2，3，4 的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀 （1）从中随机摸出一个小球，上面的数字不小于 2 的概率为 （2）从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的概率 【解答】解： （1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字所有等可能情况有：1，2，3，4，共 4 种， 其中数字不小于 2 的情况有：2，3，4，共 3 种， 则 P（小球上写的数字不小于 2）； 故答案为：； （2）根据题意列表得： 1 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1
22、） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） 所有等可能的数有 12 种，两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的情况有 8 种， 则 P（两次摸出小球上的数字和恰好是奇数） 19 （6 分）如图某船由西向东航行，在点 A 处测得小岛 O 在北偏东 60方向，船航行了 10 海里后到达点B这时测得小岛 O 在北偏东 45方向，船继续航行到点 C 时，测得小岛 O 恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离 （结果保留根号） 【解答】解：设 OCx 海里， 依题意得OAB30，OBCBOC45，作 OCAB， BCOCx 海里，ACx 海里，
23、ACBC10， （1）x10， 解得 x5（+1） ， 答：船与小岛的距离是 5（+1）海里 20 （8 分）2019 年某县投入 100 万元用于农村“扶贫工程” ，计划以后每年以相同的增长率投入，2021 年该县计划投入“扶贫工程”144 万元 （1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率； （2）若 2022 年保持从 2019 年到 2021 年的年平均增长率不变，求 2022 年该县将投入“扶贫工程”多少万元？ 【解答】解： （1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为 x， 依题意得：100（1+x）2144， 解得：x10.220%，x22.2（不合题意，舍去） 答：该县投入“扶贫
24、工程”的年平均增长率为 20% （2）144（1+20%）1441.2172.8（万元） 答：预计 2022 年该县将投入“扶贫工程”172.8 万元 21 （8 分）如图，边长为 4 的正方形 ABCD，点 E 在 AD 边上，点 F 在 CD 边上，且 AE2，DF1 （1）求 BE 的长； （2）请判断BEF 的形状，并说明理由 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， ABADCDBC4，ADC90， BE2； （2）BEF 是直角三角形，理由如下： AE2，DF1， DE2，FC3， EF，BF5， EF2+BE225BF2， BEF90，即BEF 是直角三角形 22 （10
25、 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴的正半轴上，点 B 在点 A 的右侧，反比例函数 y1在第一象限内的图象与直线 y2x 交于点 D，且反比例函数 y1交 BC 于点 E，AD3 （1）求 D 点的坐标及反比例函数的关系式； （2）若矩形的面积是 24，求出CDE 的面积 （3）直接写出当 x4 时，y1的取值范围 0y13 【解答】解： （1）根据题意得：点 D 的纵坐标为 3， 把 y3 代入 y2x 得：x3， 解得：x4， 即点 D 的坐标为： （4，3） ， 把点 D（4，3）代入 y1得：3， 解得：k12， 即反比例函数的关系式为：y2， （2）设线段 AB，
26、线段 CD 的长度为 m， 根据题意得：3m24， 解得：m8， 即点 B，点 C 的横坐标为：4+812， 把 x12 代入 y2得：y1， 点 E 的坐标为： （12，1） ， CE312， SCDECECD8； （3）观察图象，当 x4 时，y1的取值范围是 0y13， 故答案为 0y13 23 （12 分）如图，点 E 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上一点，点 F 在 BE 延长线上，且 EFBE，EF 与CD 交于点 G （1）求证：DFAC； （2）连接 DE、CF，若 2ABBF，若 G 恰好是 CD 的中点，求证：四边形 CFDE 是矩形； （3）在（2）的条件下，若四
27、边形 CFDE 是正方形，且 BC80，求 AB 的长 【解答】 （1）证明：连接 BD，交 AC 于点 O，如图所示： 四边形 ABCD 是平行四边形， BODO， BEEF， OE 是BDF 的中位线， OEDF， 即 DFAC； （2）证明：如图所示： 由（1）得：DFAC， DFGCEG，GDFGCE， G 是 CD 的中点， DGCG， 在DFG 和CEG 中， ， DFGCEG（AAS） ， FGEG， 四边形 CFDE 是平行四边形， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， 2ABBF， 2CDBF， 又EFBE， CDEF， 平行四边形 CFDE 是矩形； （3）解：设
28、AB2a，则 BF4a，BEEFCD2a， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC80，ABCD， 四边形 CFDE 是正方形， DEC90，CDEF，DGEGCDa， AED90，DEG 是等腰直角三角形， DEDGa， ABCD，CDEF， ABBF， ABE 是等腰直角三角形， AEAB2a， 在 RtADE 中，由勾股定理得：AD2DE2+AE2， 即 802（a）2+（2）2， 解得：a8， AB2a16 24 （12 分）如图，已知点 P 在矩形 ABCD 外，APB90，PAPB，点 E，F 分别在 AD，BC 上运动，且EPF45，连接 EF （1）求证：APEBFP （2
29、）当PEF90，AE2 时， 求 AB 的长； 直接写出 EF 的长； （3）直接写出线段 AE、BF、EF 之间的数量关系 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， BADABC90， APB90，PAPB， PABPBA45， PAEFBP135， APE+AEP45， EPF45，APB90， APE+BPF45， AEPBPF， APEBFP； （2）解：PEF90，EPF45， PEF 是等腰直角三角形， ， APEBFP， ， BP2， ABP 是等腰直角三角形， ABPB4； 作 FHAD 于 H， BFAP4， EH2， 在 RtEFH 中，由勾股定理得， EF； （3
30、）解：AE2+BF2EF2，理由如下： 如图，延长 AB 到 G，使 BGAE，连接 PG，FG， PBA45， PBG135， PAE135， PBGPAE， PAPB，BGAE， PBGPAE（SAS） ， PGPE，BPGAPE， APE+BPF90EPF45， BPG+BPFEPF45， GPFEPF， 又PFPF，PGPE， PGFPEF（SAS） ， GFEF， ABC90， GBF90， 由勾股定理得： BG2+BF2GF2， 即 AE2+BF2EF2 25 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+2 交 x 轴于点 A（3，0）和点 B（1，0） ，交 y 轴于点 C （1）
31、求该抛物线的解析式； （2） 点 D 的坐标为 （1， 0） ， 点 P 为第二象限内抛物线上的一个动点， 求四边形 ADCP 面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点 M，使MAB 是以 AB 为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存在，并说明理由； （4）在对称轴上是否存在点 N，使BCN 为直角三角形，若存在，直接写出 N 点坐标，若不存在，说明理由 【解答】解： （1）把点 A（3，0）点 B（1，0）代入 yax2+bx+2 得：， 解得：； 故抛物线的表达式为：yx2x+2； （2）连接 OP，如图： 设点 P（x，x2x+2） ， yx2x+2； C（0，
32、2） ， S四边形ADCP SAPO+SOPCSODC OAyP+OC|xP|OCOD 3（x2x+2）+2（x）21 x23x+2 （x+）2+， 10， 当 x时，S 有最大值，S 的最大值为； （3）在抛物线对称轴上存在点 M，使MAB 是以 AB 为斜边的直角三角形理由如下： 抛物线 yx2x+2 对称轴为直线 x1， 设 M 点坐标为（1，m） ， 则 MB222+（m0）24+m2，MA222+m24+m2，且 AB216， 当ABM 为以 AB 为斜边的直角三角形时，可得 MB2+MA2AB2， 4+m2+4+m216，解得 m2 或 m2， 即 M 点坐标为（1，2）或（1，2） ， 综上所述，存在满足条件的 M 点，其坐标为（1，2）或（1，2） ； （4）在抛物线对称轴上存在点 N，使BCN 是直角三角形， 设 N（1，t） ，则 BN24+t2，CN21+（t2）2，BC25， 当 BN 为斜边时， CN2+BC2BN2，即 1+（t2）2+54+t2， 解得 t， N（1，） ； 当 CN 为斜边时， BN2+BC2CN2，即 4+t2+51+（t2）2， 解得 t1， N（1，1） ； 当 BC 为斜边时， BN2+CN2BC2，即 4+t2+1+（t2）25， t22t+20，方程无解， 综上所述，N 的坐标为（1，）或（1，1）
