1、苏州市20212022学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学一、选择题： 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共计 40 分 每小题给出的四个选项中， 只有一项是 符合要求的1. 设 为虚数单位， 若复数 是纯虚数， 则实数 的值为A B 0C 1D 22. 设集合 ， 则集合 的元素个数为A 6B 7C 8D 93. 已知圆锥的高为 ， 其侧面展开图为一个半圆， 则该圆雉的母线长为A B C D 4. 在 中， ， 点 在边 上， 则 “ ” 是 “ 为 中点” 的A 充分不必要条件B必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5. 记 为等差数列 的前 项和， 若 ， 则 A
2、 B C D 6. 北京时间 2021 年 10 月 16 日 0 时 23 分， 神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射， 受到国际舆论的高度关注为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感 和责任感， 某校决定举行以 “传航天精神、铸飞天梦想” 为主题的知识竞赛活动现有 两 队均由两名高一学生和两名高二学生组成 比赛共进行三轮， 每轮比赛两队都随机挑选两名成 员参加答题， 若每位成员被选中的机会均等， 则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来 自同一年级的概率是A B C D 7. 已知 ， 则下列不等式一定成立的是A B C D 8. 若斜率为 的直线 与抛物线 和圆
3、 分别交于 和 两点， 切 ， 则当 面积最大时 的值为A 1B C 2D 二、选择题： 本题共4小题， 每小题5分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合 题目要求， 全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得 0 分9. 折纸发源于中国19世纪， 折纸传入欧洲， 与自然科学结合在一起称为建筑学院的教具， 并 发展成为现代几何学的一个分支我国传统的一种手工折纸风车 (如图1) 是从正方形纸片的一 个直角顶点开始， 沿对角线部分剪开成两个角， 将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线 上， 同样操作其余三个直角制作而成的， 其平面图如图2， 则A B C D 1
4、0. 下列命题正确的是A 若 为复数， 则 B 若 为向量， 则 C 若 为复数， 且 ， 则 D 若 为向量， 且 ， 则 11. 已知函数 ， 则A ， 函数 在 上均有极值B ， 使得函数 在 上无极值C ， 函数 在 上有且仅有一个零点D ， 使得函数 在 上有两个零点12. 甲同学投掷骰子 5 次， 并请乙同学将向上的点数记录下来， 计算出平均数和方差 由于记录遗失， 乙同学只记得这五个点数的平均数为 2 ， 方差在区间 内， 则这五个点数A 众数可能为 1B中位数可能为 3C 一定不会出现 6D 出现 2 的次数不超过两次三、填空题： 本题共4小题， 每小题5分， 共 20 分13
5、. 记数列 的前 项积为 ，写出一个同时满足的数列 的通项公式 ： _ 是递增的等比数列14. 设点 是曲线 上的任意一点，则 到直线 的最小距离是 _15. 已知 分别为双曲线 的左，右焦点，若点 关于双曲线 的渐近线的对称点 在 上，则双曲线 的离心率为_16. 已知直棱柱 中， 分别为棱 的中点，过点 作平面 将此三棱柱分为两部分，其体积分别记为 ， 则 _；平面 截此三棱柱的外接球的截面面积为_四、解答题：本题共 6 小题， 共计 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (10 分)在 ； 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题（2）的横线上， 并解答下列题目在 中，
6、已知角 的对边分别为 ， 且 (1) 求 ；(2) 若 为边 上一点， 且 ， _， 求 的面积（注：如果选择多个条件分别解答， 则按第一个解答计分)18. (12 分)若数列 满足 是不等于 0 的常数) 对任意 恒成立， 则称 是 周期为 ， 周期公差为 的类周期等差数列 已知在数列 中， (1) 求证： 是周期为 2 的类周期等差数列， 并求 的值；(2) 若数列 满足 ， 求 的前 项和 19. (12 分)2021 年 8 月国务院印发 全民健身计划 20212025， 计划中提出了各方面的主要任务， 包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、
7、 激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等 在各种健身 的方式中， 瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动 某瑜伽馆在 9 月份随机采访了 100 名市民， 对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查愿意不愿意合计男性252550女性401050合计6535100(1) 能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别 有关?附： (2) 为了推广全民健身， 某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办瑜你一起的公益活动， 在全市 范围内开设一期公益瑜伽课， 先从上述参与调查的 100 人中选择愿意的人按分层抽样抽出 13 人， 再从 13 人中随机抽取
8、 2 人免费参加 市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴， 补贴方案 为：男性每人 1000 元， 女性每人 500 元求补贴金额的分布列及数学期望 (四舍五入精确到元)20. (12 分)如图， 在四面体 中， 已知 是边长为 2 的等边三角形， 是以点 为直角顶 点的等腰直角三角形， 为线段 的中点， 为线段 的中点， 为线段 上的点(1) 若 平面 ， 求线段 的长；(2) 若二面角 的大小为 ， 求 与平面 所成角的大小21. (12 分)在平面直角坐标系 中， 已知点 ， 直线 与直线 的斜率之积为 ，记动 点 的轨迹为曲线 (1) 求曲线 的方程；(2) 若点 为曲线 上的任意一点 (不
9、含短轴端点)， 点 ， 直线 与直线 交 于点 ， 直线 与 轴交于点 ， 记直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ， 求证： 为定值22. (12 分)已知函数 （1）判断 的单调性， 并说明理由；（2）若数列 满足 ， 求证： 对任意 苏州市20212022学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学参考答案一、选择题： 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共计 40 分 每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的题号12345678答案ABABCBCD二、选择题： 本题共4小题， 每小题5分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合 题目要求， 全部选对的得 5 分，
10、 部分选对的得 2 分， 有选错的得 0 分题号9101112答案BCDADBCACD三、填空题： 本题共4小题， 每小题5分， 共 20 分13 14 15 16 四、解答题：本题共 6 小题， 共计 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解： (1)由条件 得 ， 所以 ， 由正弦定理得 ， 又 中， ， 所以 ， 即 ， 又 ， 所以 ， 则 ， 所以 (2)由(1)得 ， 由条件 可知 为等边 三角形，若选： ，不妨设 ，在 中申余弦定理得 ， 解得 ，所以 ， 的面积为 ；若选 由止弦定理得 ， 解得 ，由余弦远理 ， 解得 (负值舍去)，所以 的而积为 ；若选， ，
11、由等边二角形 的面积为 ， 可得其边长为 2 ， 即 ， 由余弦定理得 ， 解得 (负值舍去)，所以 的面积为 18(1)证明： 由 时， ， 所以 ，且 ，两式相减得 ， 所以 是周期为 2 的 “类周期等差数列”，且周期公差为 4 ，所以 (2) 因为 ，所以 的前 项和 ，由(1)得 是周期为 2 ， 周期公差为 4 的 “类周期等差数列”，所以当 为奇数时， 为偶数， ，所以 ；当 为偶数时， 为奇数， ，所以 ；综上，19解：(1)设 ：“愿意把瑜伽作为健身方式” 与性别无关则能在犯错误的概率不超过 的前提下认为 “愿意把瑜伽作：为主要健身方式” 与性别有关答： 能在犯错误的概率不超
12、过 的前提下认为 “愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别 标关(2)从上述参与调查的 100 人中选择 “愿意” 的人按分层抽样抽出 13 人，则有男性： 人， 女性： 人，设补贴金额为变量 ， 则 的可能值为 100015002000元答： 补贴金额的数学期望是 1385 元20解： (1) 由 平面 平面 ， 平面 平面 ，得 ， 又 为线段 的中点， 所以 是 中点因为 是边长为 2 的等边 三角形， 为线段 的中点， ， 是以点 为直角顶点的等腰直角 三角形， 得 连结 ， 得 且Rt 中， (2)CG ， 作 而 ， 垂足为 ，由二面角 的大小为 ， 得 为二面角 的平面角， ，易求
13、， 在 上取 点， 使 ， 连接 ， 以 为坐标原点， 分别以 ， 为 轴， 建立空间直角坐标系则 ，设面 的法向量为 ， 由 令 ， 则 ，所以一个法向量，则21（1）解： 设 ， 则直线 与直线 的斜率之积为 ， 且 ，所化简得 ，所以曲线 的方程为 (2) 设 ， 则 ， 令 ， 则 ， 所以 ，所以Q点坐标满足所以所以所以所以为定值22解：(1) 的定义域为 ，所以 在 上单调递增， 所以 时， ， 所以 ， 所以 在 上单调递增，所以 在 上单调递增(2) 设 ，则 ，所以 在 上单调递增， 所以 时 ，所以 时， ，故 ， 所以 ，所以 ， 由(1)知 在 上单调递增， 所以 ， 即 ，以此类推， 则有 ，所以 ，所以只需证明 时， ，设 ，则 ，所以 在 上单调递减， 所以 ， 故 时， 成立，所以 ，所以 ， 故 ，所以 综上所述， 对任意
