1、2020-2021 学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的 1 （5 分）设有下面四个命题： p1：xR，x2+10； p2：xR，x+|x|0； p3：xZ，|x|N； p4：xR，x22x+30 其中真命题为（ ） Ap1 Bp2 Cp3 Dp4 2 （5 分）已知角 终边上一点 P 的坐标为（1，2） ，则 cos 的值为（ ） A B C D
2、3 （5 分）对于集合 A，B，我们把集合x|xA 且 xB叫作集合 A 与 B 的差集，记作 AB若 Ax|lnx2ln，Bx|x1，则 AB 为（ ） Ax|x1 Bx|0 x1 Cx|1x3 Dx|1x3 4 （5 分）下列四个函数中，以 为最小正周期且在区间（，）上单调递增的函数是（） Aysin2x Bycosx Cytanx Dycos 5 （5 分） “双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价甲平台第一次降价 a%，第二次降价 b%；乙平台两次都降价%（其中 0ab20） ，则两个平台的降价力度（ ） A甲大 B乙大 C一样大 D大小
3、不能确定 6 （5 分）已知函数 f（x）的图象如图所示，则函数 yxf（x）的图象可能是（ ） AB CD 7 （5 分）若 为第二象限角，则化简为（ ） A2tan B C2tan D 8 （5 分）已知函数 f（x），若函数 yf（f（x） ）k 有 3 个不同的零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A （1，4） B （1，4 C1，4） D1，4 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的
4、得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知幂函数 f（x）的图象经过点（3，） ，则（ ） Af（x）的定义域为0，+） Bf（x）的值域为0，+） Cf（x）是偶函数 Df（x）的单调增区间为0，+） 10 （5 分）为了得到函数 ycos（2x+）的图象，只要把函数 ycosx 图象上所有的点（ ） A向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的 2 倍 B向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍 C横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度 D横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度 11 （5 分）已知实数 a，b，c 满足 0a1bc，则（ ）
5、Abaca Blogbalogca C Dsinbsinc 12 （5 分）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 xR，用x表示不超过 x 的最大整数，则yx称为高斯函数，例如2.13，2.12已知函数 f（x）sin|x|+|sinx|，函数 g（x）f（x），则（ ） A函数 g（x）的值域是0，1，2 B函数 g（x）是周期函数 C函数 g（x）的图象关于 x对称 D方程g（x）x 只有一个实数根 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20
6、分分. 13 （5 分）函数 f（x）+lg（2x）的定义域为 14 （5 分）关于 x 的方程 sinx+x30 的唯一解在区间（k，k+） （kZ）内，则 k 的值为 15 （5 分）已知 a，b 为正实数，且 ab+a+3b9，则 a+3b 的最小值为 16 （5 分）当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按定的比率衰减（称为衰减率） ，大约每经过 5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 若生物体内原有的碳 14 含量为 A，按照上述变化规律，生物体内碳 14 含量 y 与死亡年数 x 的函数关系式是 ， 考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内
7、碳 14 的含量是原来的 62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约 年 （参考数据：lg20.3） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在条件；4sin2A4cosA+1；sinAcosAtanA中任选一个，补充在下面的问题中，并求解 已知角 A 为锐角，_ （1）求角 A 的大小； （2）求 sin（+A）cos（A）的值 18 （12 分）已知集合 Ax|x22x30，Bx|xa|1 （1）当 a3 时，求 AB； （2）设 p：xA，q：xB，若
8、p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 19 （12 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的图象经过点（，） ，其最大值与最小值的差为 4，且相邻两个零点之间的距离为 （1）求 f（x）的解析式； （2）求 f（x）在0，上的单调增区间 20 （12 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）2x+k2x（kR） （1）若 f（x）是奇函数，求函数 yf（x）+f（2x）的零点； （2）是否存在实数 k，使 f（x）在（，1）上调递减且在（2，+）上单调递增？若存在，求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由 21 （12 分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油
9、量 Q（单位：L） 、百公里耗油量 W（单位：L）与速度 v（单位：km/h） （40v120）的数据关系如表： v 40 60 90 100 120 Q 5.2 6 8.325 10 15.6 W 13 9.25 为描述 Q 与 v 的关系，现有以下三种模型供选择 Q（v）0.5v+a，Q（v）av+b，Q（v）av3+bv2+cv （1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2） 已知某高速公路共有三个车道， 分别是外侧车道、 中间车道和内侧车道， 车速范围分别是60， 90） ，90，110） ，110，120（单位：km/h） ，问：该型号
10、汽车应在哪个车道以什么速度行驶时 W 最小？ 22 （12 分）已知函数 f（x）和 g（x）的定义域分别为 D1和 D2，若足对任意 x0D1，恰好存在 n 个不同的实数 x1，x2，xnD2，使得 g（xi）f（x0） （其中 i1，2，n，nN*） ，则称 g（x）为 f（x）的“n 重覆盖函数 ” （1）判断 g（x）|x1|（x0，4）是否为 f（x）x+2（x0，1）的“n 重覆盖函数” ，如果是，求出 n 的值；如果不是，说明理由 （2）若 g（x）为 f（x）的“2 重覆盖函数” ，求实数 a的取值范围； （3）若 g（x）sin（x） （x0，2）为 f（x）的“2k+1 重
11、覆盖函数” （其中 kN） ，请直接写出正实数 的取值范围（用 k 表示） （无需解答过程） 2020-2021 学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的 1 （5 分）设有下面四个命题： p1：xR，x2+10； p2：xR，x+|x|0； p3：xZ，|x|N； p4：xR，x22x+30 其中真命题为（ ） A
12、p1 Bp2 Cp3 Dp4 【分析】直接利用不等式的性质，一元二次方程的解法判断命题真假 【解答】解：设有下面四个命题： 对于 p1：xR，x2+10 不成立，故该命题为假命题； p2：xR，当 x0 时，x+|x|0，故该命题为假命题； p3：xZ，|x|N，该命题为真命题； p4：xR，由于 x22x+30 中41280，故不存在实根，故该命题为假命题； 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，一元二次方程的解法，命题真假的判断，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 2 （5 分）已知角 终边上一点 P 的坐标为（1，2） ，则 cos 的值为（ ） A B
13、 C D 【分析】本题知道了角 终边过点（1，2） ，故可以先求出此点到原点的距离，再利用定义求其余弦值即可 【解答】解：由题意，点（1，2）到原点的距离是， 故 cos 故选：B 【点评】本题考查任意角三角函数的定义知道了终边一点的坐标的定义，求解本题的关键是正确理解定义及熟练掌握两点间距离公式，本题是基本概念型的题 3 （5 分）对于集合 A，B，我们把集合x|xA 且 xB叫作集合 A 与 B 的差集，记作 AB若 Ax|lnx2ln，Bx|x1，则 AB 为（ ） Ax|x1 Bx|0 x1 Cx|1x3 Dx|1x3 【分析】化简集合 A、B，根据差集的定义写出 AB 即可 【解答】
14、解：集合 Ax|lnx2lnx|0 x3， Bx|x1， ABx|0 x1 故选：B 【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，属于基础题 4 （5 分）下列四个函数中，以 为最小正周期且在区间（，）上单调递增的函数是（ ） Aysin2x Bycosx Cytanx Dycos 【分析】利用三角函数的周期性和单调性对选项中的函数逐一分析判断，即可得到答案 【解答】解：函数 ysin2x 的周期为，又 x（，） ，则 2x（，2） ， 所以 ysin2x 在区间（，）上不是单调递增，故选项 A 错误； 函数 ycosx 的周期为 2，故选项 B 错误； 函数 ytanx 的周期为 ，且在区间（，
15、）上单调递增，故选项 C 正确； 函数的周期为，故选项 D 错误 故选：C 【点评】本题考查了三角函数的性质的应用，涉及了三角函数周期性以及单调性的判断，解题的关键是掌握三角函数的周期计算公式 5 （5 分） “双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价甲平台第一次降价 a%，第二次降价 b%；乙平台两次都降价%（其中 0ab20） ，则两个平台的降价力度（ ） A甲大 B乙大 C一样大 D大小不能确定 【分析】由题意可知，甲平台的降价力度为：1（1a%） （1b%） ，乙平台的降价力度为：1（1%）2，再利用作差法结合乘法公式和基本不等式比较力度的
16、大小即可 【解答】解：由题意可知， 甲平台的降价力度为：1（1a%） （1b%） ，乙平台的降价力度为：1（1%）2， 作差得：1（1a%） （1b%）1（1%）2（%）2a%b%20， 所以乙平台的降价力度大， 故选：B 【点评】本题主要考查了函数设为实际应用，考查了乘法公式和基本不等式的应用，是基础题 6 （5 分）已知函数 f（x）的图象如图所示，则函数 yxf（x）的图象可能是（ ） A B C D 【分析】根据函数图象的对称性判断函数的图象特点，以及特殊点或者函数值的符号即可得到结论 【解答】解：由图象可知，函数 f（x）是偶函数，则 yxf（x）为奇函数，则图象关于原点对称，排除C
17、，D， 在原点的右侧，函数值为先负后正，故排除 B， 故选：A 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，根据函数奇偶性和取值范围进行判断是解决本题的关键 7 （5 分）若 为第二象限角，则化简为（ ） A2tan B C2tan D 【分析】因为 为第二象限角，可得 sin0，再利用 1cos2sin2 化简即可 【解答】解： 为第二象限角，sin0， 原式 故选：D 【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，是基础题 8 （5 分）已知函数 f（x），若函数 yf（f（x） ）k 有 3 个不同的零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A （1，4） B （1，4 C1，4） D1，4
18、 【分析】作出函数 yf（f（x） ）的图象，即可确定实数 k 的取值范围 【解答】解：函数 f（x）， 当 x时，f（f（x） ）（x23）23， 当时，f（f（x） ）（x23）+1， 当 x0 时，f（f（x） ）（x+1）23， 作出函数 f（f （x） ）的图象可知， 当 1k4 时，函数 yf（f （x） ）k 有 3 个不同的零点 k（1，4 故选：B 【点评】本题考查函数迭代运算、函数的零点以及数形结合思想一般的函数的零点问题要有意识的借助于函数的图象解决问题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出
19、的四个选项中，有多项符合题目要在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知幂函数 f（x）的图象经过点（3，） ，则（ ） Af（x）的定义域为0，+） Bf（x）的值域为0，+） Cf（x）是偶函数 Df（x）的单调增区间为0，+） 【分析】设出函数的解析式，代入点的值，求出函数的解析式，从而判断结论即可 【解答】解：设幂函数 f（x）xa， f（x）过点（3，） ， 3a，a， f（x）， 故函数的定义域是0，+） ，A 正确，C 错误， 值域是0，+） ，B
20、 正确，D 正确， 故选：ABD 【点评】本题考查幂函数的解析式，定义域，值域，单调性，奇偶性问题，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意幂函数的性质和应用 10 （5 分）为了得到函数 ycos（2x+）的图象，只要把函数 ycosx 图象上所有的点（ ） A向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的 2 倍 B向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍 C横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度 D横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度 【分析】由题意利用函数 yAcos（x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】解：把函数 ycosx 图象上所有的点向左平移个单位长度，可得 ycos（x
21、+）的图象； 再将横坐标变为原来的倍，可得 ycos（2x+）的图象 或把函数 ycosx 图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到 ycos2x 的图象； 再向左平移个单位长度，可得 ycos（2x+）的图象 故选：BC 【点评】本题主要考查函数 yAcos（x+）的图象变换规律，属于基础题 11 （5 分）已知实数 a，b，c 满足 0a1bc，则（ ） Abaca Blogbalogca C Dsinbsinc 【分析】利用题中给出的 a，b，c 的取值范围，利用函数的单调性和特殊值法比较即可得到答案 【解答】解：因为实数 a，b，c 满足 0a1bc， 则函数 yxa为单调递增函数，所以
22、 baca，故选项 A 正确； 不妨取， 则logba， logca， 所以logbalogca，故选项 B 错误； 不妨取，则，所以，故选项 C 正确； 因为 b 和 c 所对应的角是哪一个象限角不确定，故 sinb 和 sinc 无法比较大小，故选项 D 错误 故选：AC 【点评】本题考查了数值大小的比较问题，涉及了指数函数、对数函数、幂函数单调性的应用，解题的关键是构造合适的函数和取合适的特殊值 12 （5 分）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 xR，用x表示不超过 x 的最大整数，则
23、yx称为高斯函数，例如2.13，2.12已知函数 f（x）sin|x|+|sinx|，函数 g（x）f（x），则（ ） A函数 g（x）的值域是0，1，2 B函数 g（x）是周期函数 C函数 g（x）的图象关于 x对称 D方程g（x）x 只有一个实数根 【分析】 先根据函数奇偶性的定义进行判定， 然后考虑 x0 的部分， 讨论 x 的范围求出 g （x） 的解析式，从而可得结论 【解答】解：f（x）sin|x|+|sin（x）|sin|x|+|sinx|f（x） ， 所以 f（x）是偶函数，而 sin|x|不是周期函数，|sinx|为周期函数， 对于 x0，当 2kx+2k 时，f（x）2si
24、nx， 当 +2kx2+2k 时，f（x）0， 所以 g（x），k0，1，2， 故 A 正确，由 f（x）是偶函数，则 g（x）为偶函数， x0 时，f（x）成周期性，但起点为 x0，所以 g（x）在（，+）上不是周期函数，故 B 不正确； 函数 g（x）的图象关于 x0 对称，不关于 x对称，故 C 不正确； ，当 x0 时，g（0）0，当 x时，g（）1，与 g（x）只有（0，0）交点即方程g（x）x 只有一个实数根，故 D 正确 故选：AD 【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及函数的值域和方程的解，同时考查了学生分析问题的能力 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每
25、小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）函数 f（x）+lg（2x）的定义域为 1，2） 【分析】根据使函数的解析式有意义的原则，我们可以根据偶次被开方数不小于 0，对数的真数大于 0，构造关于 x 的不等式组，解不等式组即可得到函数的定义域 【解答】解：要使函数的解析式有意义， 自变量 x 须满足： 解得：1x2 故函数的定义域为1，2） 故答案为1，2） 【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，对数函数的定义域，其中根据使函数的解析式有意义的原则，构造关于 x 的不等式组，是解答本题的关键 14 （5 分）关于 x 的方程 sinx+x30 的唯一解在区间
26、（k，k+） （kZ）内，则 k 的值为 2 【分析】利用零点判断定理推出函数的零点的范围，即可得到 k 的值 【解答】解：设 f（x）sinx+x3， f（）sin+3sin0，f（）sin+3sinsinsin0， （，所以 sinsin） 由零点定理知，f（x）在区间（，）内一定有零点，所以 k2 故答案为：2 【点评】本题考查函数的零点判断定理的应用，是基中档题 15 （5 分）已知 a，b 为正实数，且 ab+a+3b9，则 a+3b 的最小值为 6 【分析】由已知得，a+3b9ab9，解不等式即可求解 【解答】解：因为 a，b 为正实数，且 ab+a+3b9， 所以 a+3b9ab
27、9，当且仅当 a3b 时取等号， 解得，a+3b6 或 a+3b18（舍） ， 则 a+3b 的最小值为 6 故答案为：6 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题 16 （5 分）当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按定的比率衰减（称为衰减率） ，大约每经过 5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 若生物体内原有的碳 14 含量为 A，按照上述变化规律，生物体内碳 14 含量 y 与死亡年数 x 的函数关系式是 yA ， 考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳 14 的含量是原来的 62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约
28、3820 年 （参考数据：lg20.3） 【分析】由题意知，yA，令 y62.5%A，结合指数、对数的运算法则，即可求得 x 的值 【解答】解：由题意知，yA， 当 y62.5%A 时，有 62.5%AA，即， log28log2533， x3820， 可以推测该生物的死亡时间距今约 3820 年 故答案为：yA；3820 【点评】本题考查函数的实际应用，指数、对数的运算，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演
29、算步骤. 17 （10 分）在条件；4sin2A4cosA+1；sinAcosAtanA中任选一个，补充在下面的问题中，并求解 已知角 A 为锐角，_ （1）求角 A 的大小； （2）求 sin（+A）cos（A）的值 【分析】若选择条件， （1）利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可求 tanA1，结合 A 为锐角，可求 A 的值 （2）利用诱导公式化简所求即可得解 若选择， （1） 利用同角三角函数基本关系式可求得 4cos2A+4cosx30， 解方程可得 cosA 的值， 结合 A 为锐角，可得 A 的值 （2）利用诱导公式化简所求即可得解 若选择， （1）利用同角三角函数基本关系式
30、化简已知等式可求 sinA 的值，结合 A 为锐角，可得 A 的值 （2）利用诱导公式化简所求即可得解 【解答】解：若选择条件， （1）由于，可得 14sinA7cosA3sinA+4cosA，可得 sinAcosA，即 tanA1， 因为 A 为锐角， 可得 A； （2）sin（+A）cos（A）（sinA）cos（1010+A）sin2A 若选择， （1）由于 4sin2A4cosA+1，4（1cos2A）4cosA+1，可得 4cos2A+4cosx30，解得 cosA，或（舍去） ， 因为 A 为锐角，可得 A （2）sin（+A）cos（A）（sinA）cos（1010+A）sin2
31、A 若选择， （1）因为 sinAcosAtanAsin2A，可得 sinA，或， 因为 A 为锐角，sinA0，可得 sinA，可得 A； （2）sin（+A）cos（A）（sinA）cos（1010+A）sin2A 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和方程思想，属于基础题 18 （12 分）已知集合 Ax|x22x30，Bx|xa|1 （1）当 a3 时，求 AB； （2）设 p：xA，q：xB，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 【分析】先化简两个集合， （1）当 a3 时，求出 B 集合，依据并集的定义求并集，
32、 （2）若 p 是 q 的必要不充分条件，则 BA，得到关于参数的不等式，解不等式即可得到实数 a 的取值范围 【解答】解：由题意得，Ax|1x3，Bx|a1xa+1 （1）a3 时，Bx|2x4， ABx|1x4（1，4） （2）因为 p：xA，q：xB，若 p 是 q 的必要不充分条件， 则 BA，所以， 解之得 0a2， 所以实数 a 的取值范围是0，2 【点评】本题考查了集合中的参数取值问题，求解问题的关键是理解子集的定义以及并集的定义，属于基础题 19 （12 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的图象经过点（，） ，其最大值与最小值的差为 4，且相邻两个零点之间
33、的距离为 （1）求 f（x）的解析式； （2）求 f（x）在0，上的单调增区间 【分析】 （1）根据已知可得 A2，T，由周期公式即可求得 ，又图象经过点（，） ，结合|，可求得 ，从而可得 f（x）的解析式； （2）根据正弦函数的单调性，即可求得 f（x）在0，上的单调增区间 【解答】解： （1）由题意可得 A2，T，所以 2， 所以 f（x）2sin（2x+） ， 又图象经过点（，） ， 所以 f（）2sin（2+），即 sin（+）， 因为|，所以 ， 所以 f（x）2sin（2x+） （2）令 2k2x+2k+，kZ， 解得 kxk+，kZ， 再根据 x0，可得函数的单调增区间为0，
34、【点评】本题主要考查函数解析式的确定，正弦函数的单调性，属于中档题 20 （12 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）2x+k2x（kR） （1）若 f（x）是奇函数，求函数 yf（x）+f（2x）的零点； （2）是否存在实数 k，使 f（x）在（，1）上调递减且在（2，+）上单调递增？若存在，求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由奇函数的定义可求得 k，令 yf（x）+f（2x）0 即可求得零点； （2）对 k 分类讨论，由复合函数的单调性及对勾函数的性质即可求解 【解答】解： （1）因为 f（x）是奇函数，所以 f（x）f（x） ， 即 2x+k2x2xk2x，可得
35、 k1， 所以 f（x）2x2x， 令 yf（x）+f（2x）2x2x+22x22x0， 即（2x2x） （1+2x+2x）0， 所以 2x2x0，解得 x0， 即函数 yf（x）+f（2x）的零点为 x0 （2）当 k0 时，函数 f（x）2x+k2x在 R 上单调递增，不符合题意； 当 k0 时，令 t2x，当 x（，1）时，t（0，） ，当 x（2，+）时，t（4，+） ， 因为 f（x）在（，1）上单调递减且在（2，+）上单调递增， 所以 g（t）t+在（0，）上单调递减且在（4，+）上单调递增， 所以4， 解得k16， 故存在实数 k，16使 f（x）在（，1）上单调递减且在（2，+
36、）上单调递增 【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，属于中档题 21 （12 分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量 Q（单位：L） 、百公里耗油量 W（单位：L）与速度 v（单位：km/h） （40v120）的数据关系如表： v 40 60 90 100 120 Q 5.2 6 8.325 10 15.6 W 13 9.25 为描述 Q 与 v 的关系，现有以下三种模型供选择 Q（v）0.5v+a，Q（v）av+b，Q（v）av3+bv2+cv （1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2） 已知某高速公路共有三个车道， 分别是外
37、侧车道、 中间车道和内侧车道， 车速范围分别是60， 90） ，90，110） ，110，120（单位：km/h） ，问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时 W 最小？ 【分析】 （1）根据可得出第三种函数模型最符合实际，代入三组值，即可求出函数解析式 （2）由题意可得 W0.0025（v80）2+9，利用二次函数的性质，即可得到 W 的最小值，从而确定该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶 【解答】解： （1）填表如下： v 40 60 90 100 120 Q 5.2 6 8.325 10 15.6 W 13 10 9.25 10 13 由题意可得符合的函数模型需满足在 40v120 时
38、，v 都可取，三种模型都满足， 且该函数模型应为增函数，所以第一种函数模型不符合， 若选择第二种模型，代入（40，5.2） ， （60，6） ， 得，解得， 则 Q（v）0.04v+3.6，此时 Q（90）7.2，Q（100）7.6，Q（120）8.4， 与实际数据相差较大，所以第二种模型不符合， 经观察，第三种函数模型最符合实际，代入（40，5.2） ， （60，6） ， （100，10） ， 则，解得， Q（v）0.000025v30.004v2+0.25v （2）W0.0025v20.4v+250.0025（v80）2+9， 当 v80 时，W 取得最小值 9， 所以该型号汽车应在外侧车
39、道以 80km/h 的速度行驶时 W 最小 【点评】本题主要考查了函数模型的应用，解题关键是正确分析题意，考查了学生的计算能力，是中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）和 g（x）的定义域分别为 D1和 D2，若足对任意 x0D1，恰好存在 n 个不同的实数 x1，x2，xnD2，使得 g（xi）f（x0） （其中 i1，2，n，nN*） ，则称 g（x）为 f（x）的“n 重覆盖函数 ” （1）判断 g（x）|x1|（x0，4）是否为 f（x）x+2（x0，1）的“n 重覆盖函数” ，如果是，求出 n 的值；如果不是，说明理由 （2）若 g（x）为 f（x）的“2 重覆盖函数” ，求实
40、数 a的取值范围； （3）若 g（x）sin（x） （x0，2）为 f（x）的“2k+1 重覆盖函数” （其中 kN） ，请直接写出正实数 的取值范围（用 k 表示） （无需解答过程） 【分析】 （1）利用题中给出的定义，可得|xi1|x0+22，3，则 xi3，4，然后再结合定义分析判断即可； （2）利用新定义，将问题转化为对任意 k0，g（x）k 要有两个实根，通过分析，当 x1 时，g（x）log2xk 已有一个根，所以问题转化为 只需 x1 时，g（x）k 仅有一个根，分 a0，a0 和 a0 三种情况，分别求解即可得到答案； （3）利用已知条件结合新定义，再利用正弦函数的周期性进行分
41、析求解即可 【解答】解： （1）因为 g（x）|x1|（x0，4） ，f（x）x+2（x0，1） ， 则对x00，1，n 个不同的实数 x1，x2，xn0，4） ，使得 g（xi）f（x0） （i1，2，n） ， 即|xi1|x0+22，3，则 xi3，4， 所以对于x00，1，都能找到一个 x1，使|x11|x0+2， 所以 g（x）是 f（x）的“n 重覆盖函数” ，故 n1； （2）因为 f（x），其定义域为（0，+） ， 即对x0（0，+） ，存在 2 个不同的实数 x1，x2R，使得 g（xi）f（x0） （i1，2） ， 即（0，+） ， 即对任意 k0，g（x）k 要有两个实根， 当 x1 时，g（x）log2xk 已有一个根， 故只需 x1 时，g（x）k 仅有一个根， 当 a0 时，g（x）3x+12，有一个根； 当 a0 时，则必须满足 g（1）a+2a3+10，解得； 当 a0 时，抛物线开口向下，存在最大值，故不符合题意； 综上可得，实数 a 的取值范围为 ； （3）正实数 的取值范围为 【点评】本题考查的是集合的新定义问题， “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质
