1、北京市东城区20212022学年度高三上期末统一检测数学试卷本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A） （B） （C） （D）（2）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（A） （B） （C） （D）（3）在等比数列中，若，则（A） （B） （C） （D）（4）在二项式的展开式中，含项的系数为（A） （B） （C） （D）（5）在平面直角坐标系中，角的终边过点，将的终
2、边绕原点按逆时针方向旋转与角的终边重合，则= （A） （B） （C） （D） （6）人类已进入大数据时代.目前，全球年数据产生量已经从TB 级别跃升到PB，EB乃至ZB级别（1 TB1024 GB，1 PB=1024 TB，1 EB=1024 PB，1 ZB=1024 EB）由国际数据公司IDC的研究结果得到2008年至2020年全球年数据产生量（单位：ZB）的散点图.根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画2008年至2020年全球年数据产生量和时间 的函数模型是（A） （B） （C） （D）（7）已知抛物线的焦点为，准线为， 为上一点，过作的垂线，垂足为.若，则（A） （B） （C） （D）（
3、8）已知直线：，为圆：上一动点，设到直线距离的最大值为，当最大时，的值为（A） （B） （C） （D）（9）已知点,不共线， ，为实数，,则 “”是“点在内（不含边界）”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （10）已知是各项均为正整数的数列，且，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为（A）18 （B）20 （C）21 （D）23第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 5小题，每小题5分，共25分 （11）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 . （12）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则_；的离心率为_ _.（13）已知是两条不同
4、的直线，是两个不同的平面. 写出以之间的部分位置关系为条件（除外），为结论的一个真命题： _（14）函数（）的非负零点按照从小到大的顺序分别记为. 若，则_； _. （15）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用.如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点,，,并按这样的规律继续下去. 给出下列四个结论： 对于任意正整数，； 存在正整数，为整数 ； 存在正整数，三角形的面积为2022； 对于任意正整数，三角形为锐角三角形.其中所有正确结论的序号是_ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在中， ，（）求证为等腰三角形；（） 再
5、从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值条件：；条件：的面积为；条件：边上的高为3.注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分（17）（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段上的动点（）若直线平面，求证：为的中点；（）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. （18）（本小题13分）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和. ” 做好垃圾分类和回收工
6、作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和. 某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表：高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834 假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立.（）从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；（）从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以 X表示这2人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，求X的分布列和数学期望；（）从样本中随机抽取一名男生和一名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不
7、清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式. 直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知椭圆过点，其右焦点为.（）求椭圆的方程；（）设为椭圆上一动点（不在轴上），为中点，过原点作的平行线，与直线交于点.问：直线与斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.（20）（本小题15分）曲线在点处的切线交轴于点.（）当时，求切线的方程；（）为坐标原点 ,记的面积为.求面积以为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.（21）（本小题15分）对于给定的正整数和实数，若数列满足如
8、下两个性质： ；对任意的,，则称数列具有性质.（）若数列具有性质，求数列的前10项和；（）对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项式；（）若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立.北京市东城区20212022学年度第一学期期末统一检测 高三数学参考答案 2022.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）C（3）B（4）D （5）A （6）D（7）C（8）A（9）B （10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）1；（13）若，则（答案不唯一）（14）2，（15）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解
9、：（）在中，设，其中.根据余弦定理，得.整理，得，因为，解得，所以.所以为等腰三角形. 7分（）若选择条件：在中，由，得.所以.解得，即. 13分若选择条件：在中，由边上的高为3，得.由，得.解得. 13分（17）（共14分）APDCBMO解：（）如图，连结BD，交AC于点O，连结MO. APDCBMOAPDCBMO因为直线平面，又平面平面，APDCBMOxyzAPDCBMOxyz APDCBMOAPDCBMO APDCBMOxyzAPDCBMOxyz平面，所以因为正方形， APDCBMO所以为的中点 所以为的中点5分（）因为底面为正方形，平面，所以AB，AD，AP两两垂直.如图建立空间直角坐
10、标系. 设，可得， ，则设，则设为平面的法向量，则 即令，则，可得又，所以为平面的法向量，解得，所以. 14分（18）（共13分）解：（）依题意，参与调查的学生有200人，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有人. 在样本中，学生清楚垃圾分类后的处理方式的频率为. 用样本的频率估计总体的频率，可估计从该校学生中随机抽取一人，该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率为. 3分（）X的所有可能取值为0，1，2. 记事件为“从样本初中部学生中随机抽取1名学生，该学生清楚垃圾分类后处理方式”，事件为“从样本高中部学生中随机抽取1名学生，该学生清楚垃圾分类后处理方式”，则， . 由题设知，事件，相互独立，所以；
11、； .所以X的分布列为X012P. 11分（）. 2分（19）（共15分）解：（）由题可知，则.故椭圆的方程为. 5分（）设，则，即.由为的中点，得，所以.因为直线的斜率，且，所以直线的方程为.令，得，则.因为，所以.所以.所以直线与斜率的乘积是为定值-1. 15分（20）（共15分）解：（）设函数，的定义域为. 因为，所以. 当时，即.所以切线的方程为，即. 5分 （）由（）知，曲线在点处的切线方程为，即.令，得，所以.的定义域为.设， 则 . 令，解得，或. 即 ，或 . 当，或时，. ，得 ，或.当时，. ，得 .所以函数的单调增区间为， . 15分（21）（共15分）解：（）依题意，且，所以数列的前10项和为5. 4分（）由于数列具有性质和，其中为大于零的奇数， 令，则有，所以.综上为常数列.又因为具有性质，所以.所以. 9分（）要证，只需证，即只需证，令数列，由于数列具有性质，则数列具有性质.令，设的最小值为，对，令，,，由于具有性质，所以.所以.所以成立. 15分数学参考答案 第 12 页（共 12 页）
