1、青浦区青浦区 2022021 1 学年高三年级期终学业质量调研测试数学试卷学年高三年级期终学业质量调研测试数学试卷 （时间 120 分钟，满分 150 分） Q2021.12 学生注意：学生注意： 1 本试卷包括试题纸和答题纸两部分 2 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题 3 可使用符合规定的计算器答题 一一. . 填空题（本大题满分填空题（本大题满分 5454 分）本大题共有分）本大题共有 1 12 2 题，题，1 1- -6 6 每题每题 4 4 分，分，7 7- -1212 每题每题 5 5 分考生应在答题纸相应编分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空
2、格填对得分，否则一律得零分号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. . 1若全集1,2,3,4,5,6U ，1,3,4M ，2,3,4N ，则集合UMN I _. 2. 不等式111x的解集是_. 3已知数列 na为等差数列，数列 na的前5项和5 20S，56a ，则10a_. 4已知函数 yf x的图像经过点2,3， yf x的反函数为 1yfx，则函数12yfx的图像必经过点_. 591xx的二项展开式中3x项的系数为_. 6一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为 . 7已知中心在原点的双曲线的一个焦点坐标为7,0F，直线
3、1yx与该双曲线相交于 M、N 两点，线段MN中点的横坐标为32，则此双曲线的方程是_ 8 设向量ar与br的夹角为， 定义ar与br的“向量积”：a brr是一个向量， 它的模sina babrrrr，若3113,2222ab rr，则a brr 9. 把1 2 3 4 5、 、 、 、这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先递增后递减，则这样的数列共有 个. 10已知将函数5sin5cosyxx的图像向右平移02个单位得到函数343sincos (0)yxax a的图像，则tan的值为 11.已知函数23,1,( )2,1.xxxf xxxx设aR，若关于 x 的不等式( )2
4、xf xa在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是 12若数列：cos ,cos2 ,cos4 ,cos2,nLL中的每一项都为负数，则实数的所有取值组成的集合为_ 二、二、选择题（本大题满分选择题（本大题满分 2020 分）本大题共有分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. . 13下列条件中，能够确定一个平面的是（ ） A两个点 B三个点 C一条直线和一个点 D两条相交直线 14已知公差
5、为d的等差数列 na的前n项和为nS，则“0nnSna，对1n ，*nN恒成立”是“0d ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 15已知z为复数，则下列命题不正确的是（ ） A若zz，则 z 为实数 B若20z ，则 z 为纯虚数 C若|1| |1|zz，则 z 为纯虚数 D若31z ，则2zz 16从圆2214Cxy：上的一点向圆222:1Cxy引两条切线，连接两切点间的线段称为切点弦，则圆2C内不与任何切点弦相交的区域面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 三解答题三解答题（本大题满分（本大题满分 7 76 6 分）分）本大题
6、共有本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤必要的步骤. . 17.( (本题满分本题满分 1414 分）分）本题共本题共 2 2 小题，小题，第第（1 1）小题小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分分. . 在正四棱柱1111ABCDABC D中，2AB ，连接11A C、1C B、1AB，得到三棱锥111BABC的体积为2，点P、Q分别是1AD和AC的中点. （1）求正四棱柱1111ABCDABC D的表面积； （2）求异面直线1D P与1C Q所成角的大小. 18 （ （本
7、题满分本题满分 1 14 4 分）第（分）第（1 1）小题满分）小题满分 8 8 分，第（分，第（2 2）小题满分）小题满分 6 6 分分. . 已知3( )3cos22sinsin()2f xxxx，xR， （1）求( )f x的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角三角形ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且( )3f A ， 4a，求BC边上的高的最大值 19.( (本题满分本题满分 1 14 4 分）本题共分）本题共 2 2 小题，第小题，第（1 1）小题小题 6 6 分，第分，第（2 2）小题小题 8 8 分分. . 考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速
8、公路的车速v（公里/小时）控制在60,120范围内已知汽车以v公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为145005vkv升，其中k为常数，不同型号汽车k值不同，且满足60120k （1）若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速v的取值范围； （2）求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值 2020.(.(本题满分本题满分 1 16 6 分）分）本题本题共共 3 3 小题，第小题，第（1 1）小题小题 4 4 分，第分，第（2 2）小题小题 6 6 分，第分，第（3 3）小题小题 6
9、6 分分. . 已知抛物线2yx. （1）过抛物线焦点F的直线交抛物线于,A B两点，求OA OBuuu r uuu r的值（其中O为坐标原点） ； （2）过抛物线上的一点00(,)C xy ，分别作两条直线交抛物线于另外两点,PPP xy、,QQQ xy，交直线1x于11,1A 、11, 1B 两点，求证：PQyy为常数； （3）已知点(1,1)D，在抛物线上是否存在异于点D的两个不同点,M N，使得DMMN?若存在，求N点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由 2 21 1.(.(本题满分本题满分 1 18 8 分）分）本题本题共共 3 3 小题，第小题，第（1 1）小题小题 4 4 分，
10、第分，第（2 2）小题小题 6 6 分，第分，第（3 3）小题小题 8 8 分分. . 如果数列na每一项都是正数，且对任意不小于 2 的正整数n满足211nnnaaa，则称数列na具有性质 M （1） 若nnap q、nbanb（pqab、 、 、均为正实数） ， 判断数列na、 nb是否具有性质 M，并说明理由； （2）若数列na、 nb都具有性质 M，nnncab，证明：数列 nc也具有性质 M； （ 3 ） 设 实 数2a， 方 程210 xax 的 两 根 为12xx、，12()nnnaxxn*N， 若122311nnaaanaaaL对任意n*N恒成立，求所有满足条件的a 参考答案参
11、考答案 一一. .填空题（本大题满分填空题（本大题满分 5454 分）本大题共有分）本大题共有 1 12 2 题，题，1 1- -6 6 每题每题 4 4 分，分，7 7- -1212 每题每题 5 5 分分考生应在答题纸相应编号考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果的空格内直接填写结果. . 1 1,2,5,6； 2(,1)(2,)U； 311； 4 5,2； 584； 623； 715222yx； 812； 9. 14； 10. 2； 11 47,216； 12. 2|2,3kk Z. 二二. .选择题（本大题满分选择题（本大题满分 2020 分）本大题共有分）本大题共有 4 4 题，
12、每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. . 13. D ；14. C ； 15C ；16. B. 三解答题三解答题（本大题满分（本大题满分 7474 分）分）本大题共有本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤必要的步骤. . 1717.(.(本题满分本题满分 1 14 4 分）分）本题共本题共 2 2 小题，小题，第第（1
13、 1）小题小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分分. . 解解：解:（1）设正四棱柱1111ABCDABC D的高为h， 因为三棱锥111BABC的体积为2，所以112 2232h ， 解得3h，即113DDCC， 22 22 3+2 332S （2）连接1AD与1AD，则交点为P，连接AC与BD，则交点为Q， 在正四棱柱1111ABCDABC D中，11/ADBC，所以1BCQ为异面直线1D P与1C Q所成的角或所成角的补角. 因为11,BDAC BDCC CCACCI,所以BD 面11ACC A, 又因为1CQ 面11ACC A,所以1BDCQ， 在1Rt BCQV
14、中，1113,2,11BCBQCQ，所以111143cos1313BCQ， 1143arccos13BC Q 即异面直线1D P与1C Q所成角的大小为143arccos13. 1818 （本题满分（本题满分 14 分）第（分）第（1）小题满分）小题满分 6 分，第（分，第（2）小题满分）小题满分 8 分分. . 解:（1）3( )3cos22sinsin()2f xxxx 3cos22cos sinxxx3cos2sin2xx2cos 26x ( )f x的最小正周期为：22T ； 当2 22 ()6kxkkZ时，即当5-()1212kxkkZ时，函数( )f x单调递减，所以函数( )f
15、x单调递减区间为：5, ()1212kkkZ； （2）因为( )3f A ，所以3( )2cos 23cos 2,662f AAA 0,2AQ， 72,666A，5266A，3A 设BC边上的高为h，所以有113sin228ahbcAhbc， 由余弦定理可知：2222cosabcbcA，2216bcbc，222bcbcQ， 16bc（当用仅当bc时，取等号） ，所以32 38hbc，因此BC边上的高的最大值2 3 19.(19.(本题满分本题满分 1 14 4 分）本题共分）本题共 2 2 小题，第小题，第（1 1）小题小题 6 6 分，第分，第（2 2）小题小题 8 8 分分. . 解： （
16、1）由题意，当120v 时，所以145001450012011.555120vk=kv 即100k 欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，即1450010095vv 解得4500145vv，即214545000vv，即45100v 又60120v ，所以60100v （2）设某种型号汽车行驶100千米的油耗为y 则2100145002090000205kyvkvvvv（60120v ） 22190000209000900kkyv 又11112060v，因为60120k，所以60120k即11150900090k 若11120900090k，即75120k， 则当19000kv，即9000v
17、k时，2min20900ky 若111509000120k，即6075k， 则当11120v，即120v 时，min10546ky 答：当75100k时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k； 当6075k时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为10546k. 2 20 0.(.(本题满分本题满分 1 16 6 分）分）本题本题共共 3 3 小题，第小题，第（1 1）小题小题 4 4 分，第分，第（2 2）小题小题 6 6 分，第分，第（3 3）小题小题 6 6 分分. . 解:（1）设11221,04A x yB x yF，直线AB的方程为14xmy， 由214yxxmy得21
18、04ymy， 所以1214y y ，解得21116x x 所以1212316OBx xyAyO uuu r uuu r； （2）设200(,)C yy，显然01y ， 直 线01201:1(1 )1yA Pyxy， 由020211(1 )1yyxyyx 得000()(1)10yyyyy， 0011Pyyy 直 线01201:1(1 )1yB Qyxy， 由020211(1 )1yyxyyx 得000()(1)10yyyyy， 0011Qyyy，00001 1111PQyyyyyy g （3）设点223344,M yyN yy， 所以2223343431,1 ,DMMNyyyyyyuuuu ru
19、uuu r， 因为DMMN，所以222343343110yyyyyyDM MN uuuu r uuuu r， 易得3431,yyy，所以343110yyy ， 所以43333111111yyyyy ， 当31 0y 时，由基本不等式得 433331111211311yyyyy ， 当且仅当33111yy ，即32y 时取等号， 当310y 时，由基本不等式得 43333111121111yyyyy ，当且仅当33111yy，即30y 时取等号， 综上所述，N点纵坐标的取值范围是(, 13,) U 2 21 1.(.(本题满分本题满分 1 18 8 分）分）本题本题共共 3 3 小题，第小题，第
20、（1 1）小题小题 4 4 分，第分，第（2 2）小题小题 6 6 分，第分，第（3 3）小题小题 8 8 分分. . 解： （1）当2n时，211()() ()nnnpqpqpq，所以na具有性质 M； 22211()()0nnnnnnbbbba baba ，所以 nb不具有性质 M （2）由条件，11nnnaaa，11nnnbbb，所以 1111111111111122111111112111122()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnccababaabbababaabbabbaaabbabc 所以数列 nc具有性质 M （3）易知12xx、均为正实数，由（1） （2）可知na具有性质 M，所以211nnnaaa，即11nnnnaaaa，所以11222311nnanaaanaaaaL，所以1211aan 由 n 的任意性得121aa 又由韦达定理得212,2aa aa， 所以212aa， 即2(1)(2)02aaa， 所以2a， 又2a， 所以2a 当2a时，121xx，2na ，122311nnaaannaaaL成立 综上，2a
