1、房山区2020-2021学年第一学期高三期末数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设集合，则等于（A）（B）（C）（D）（2）命题“，”的否定是（A），均有 （B），均有（C），使得 （D），使得（3）若复数,则在复平面内复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（4）已知函数，则的值为（A） （B） （C） （D）（5）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（A） （B） （C） （D）（6）若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为（A）
2、（B） （C） （D） （7）已知，均为实数，且，则“”是“”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（8）在平行四边形中，为的中点，则 （A）（B） （C） （D）（9）对于定义在上的函数，若存在非零实数，使函数在和上均有零点，则称为函数的一个“折点”下列四个函数存在“折点”的是（A） （B）（C） （D）（10）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线给出以下命题：当时，若直线截黑
3、色阴影区域所得两部分面积记为,则；当时，直线与黑色阴影区域有个公共点；当时，直线与黑色阴影区域有个公共点其中所有正确命题的序号是（A）（B）（C）（D）二、 填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)函数的定义域为 (12)在二项式的展开式中，的系数为 (13)在中，若，则 (14)在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于两点若直线的倾斜角为，则的面积为 (15)复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；如此对开至规格
4、.现有纸各一张.若纸的幅宽为，则纸的面积为 ，这张纸的面积之和等于 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）如图，在四棱锥中， ，.（）求证：平面；（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值（17）（本小题14分）已知函数，再从条件、这三个条件中选择一个作为已知，求：（）的最小正周期；（）的单调递增区间条件：图像的对称轴为； 条件：； 条件：注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（18）（本小题14分）年月日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类. 生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收吨废纸可再造
5、出吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗. 某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场年月至月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如下图：（）现从年月至月中随机选取个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过吨的概率；（）从年月至月中任意选取个月，记为选取的这个月中回收的废纸可再造好纸超过吨的月份的个数. 求的分布列及数学期望；()假设年月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为吨. 当为何值时，自年月至年月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小.（只需写出结论，不需证明）（注：方差，其中为， 的平均数）（19）（本小题14分）已知椭圆
6、的离心率为，且过点（）求椭圆的方程；（）设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，直线与椭圆交于，证明：（20）（本小题15分）已知函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若，讨论函数的单调性；（）当时，恒成立，求的取值范围.(21)(本小题14分)数列中，给定正整数，.定义:数列满足，称数列的前项单调不增.（）若数列通项公式为：，求；（）若数列满足：，求证的充分必要条件是数列的前项单调不增；（）给定正整数，若数列满足：，且数列的前项和为，求的最大值与最小值.(写出答案即可)参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
7、。题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)（9）（10）答案(D)（C）（A）（B）（A）（B）（B）（C）(D)(A)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11） （12） （13） （14） （15）， 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)()证明：解法1. 因为 平面 平面 所以平面 4分 解法2.因为，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 1分 (此处建系，第（）问不重复给分）平面的法向量为 2分 3分 因为 4分平面 5分所以平面（）解：因为，所以 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴
8、，建立如图所示空间直角坐标系，则 5分 所以平面的法向量为 6分 设平面的法向量为， 8分所以 10分令 11分 13分设平面与平面所成角为为锐角, 所以 14分（17）选 （图像的一条对称轴为） 1分 解：() 因为图像的一条对称轴为所以即有所以所以 6分故所以的最小正周期为： 8分（） 11分 13分所以的递增区间为 14分选 ( 1分解：() 所以的最小正周期为： 8分（） 11分 13分所以的递增区间为 14分选（） 1分解：（I） 所以的最小正周期为： 8分（） 11分 13分所以的递增区间为 14分（18）解：（）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件
9、 1分 由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨 2分所以. 4分 （）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸 所以6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月. 的所有可能取值为0，1，2. 5分 8分所以的分布列为:012 9分 11分 () 14分当添加的新数等于原几个数的平均值时，方差最小.（19）解:（I）根据题意： 4分所以椭圆G的方程为 5分(II) 设直线l的方程为： 6分 由 消去得： 7分即 需 即 8分设,中点,则 9分 10分那么直线的方程为:即 11分由 不妨令 12分那么 13分 14分所以 |MC|M
10、D|=|ME|MF| （20）解：（）当时， 1分， 3分所以切线方程为：即： 4分（）由题，可得 5分由于，的解为， 6分（1）当，即时，,则在上单调递增；7分（2）当，即时，在区间 在区间上，,所以的单调增区间为；单调减区间为. 9分(3)当，即时，在区间 在区间上，,则在上单调递增，上单调递减. 11分（）解法一：（1）当时，因为，所以，所以，则在上单调递增，成立 12分（2）当时，所以在上单调递增，所以成立. 13分（3）当时，在区间上，；在区间，所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合题意. 14分综上所述，的取值范围是. 15分解法二：当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”.即在上恒成立. 12分当时，所以. 13分当时, ,所以恒成立.设，则因为，所以，所以在区间上单调递增.所以,所以. 14分综上所述，的取值范围是. 15分(21)解: (). 4分 ()充分性：若数列的前项单调不增，即此时有：必要性：反证法，若数列的前项不是单调不增，则存在使得，那么:由于.与已知矛盾. 9分()最小值为0.此时为常数列. 10分最大值为 当时的最大值：此时, 11分.当时的最大值：此时.由易证，的值的只有是大小交替出现时，才能让取最大值.不妨设：，为奇数，为偶数. 当为奇数时有：当为偶数时同理可证. 14分15
