北京市海淀区2020~2021学年度高三上期末数学试卷(含答案)

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1、2021北京海淀高三(上)期末数学试卷第一部分(选择题 共40分)1、 选择题共10 小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1) 抛物线的准线方程是(A) (B)(C)(D) (2) 在复平面内,复数对应的点位于(A) 第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(3) 在的展开式中,的系数为(A)(B)(C)(D)(4) 已知直线,点和点,若,则实数的值为(A)(B)(C)(D)(5) 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为(A)(B)(C)(D)(6) 已知向量,满足,且,则(A)(B)(C)(D)(7)已知,是两个不同的平面,“”的一个

2、充分条件是(A)内有无数直线平行于(B)存在平面,(C)存在平面,且(D)存在直线,(8)已知函数 则(A)是偶函数 (B)函数的最小正周期为(C)曲线关于对称(D)(9)数列的通项公式为,前项和为,给出下列三个结论:存在正整数,使得;存在正整数,使得;记,则数列有最小项,其中所有正确结论的序号是(A) (B) (C) (D)(10)如图所示,在圆锥内放入连个球,它们都与圆锥相切(即与圆锥的每条母线相切),切点圆(图中粗线所示)分别为C1,C2. 这两个球都与平面相切,切点分别为,丹德林(GDandelin)利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆,为此椭圆的两个焦点,这两个球也称为Dan

3、delin 双球。若圆锥的母线与它的轴的夹角为300,C1, C2的半径分别为1,4,点为C2上的一个定点,点为椭圆上的一个动点,则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是(A) (B) (C) (D)第二部分(非选择题 共110分)(11)在“互联网+”时代,国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合,实现线上、线下融合式教学模式变革.某校高一、高二和高三学生人数如图所示.采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况,在抽取样本中,高一学生有16人,则该样本中的高三学生人数为 .(12)设等比数列的前项和为.若、成等差数列,则数列的公比为 .(13)已知双曲线的左右焦点分别为

4、,点,则双曲线的渐近线方程为 ; ;(14)已知函数是定义域的奇函数,且时,则 ,的值域是 ;(15)已知圆,直线,点,点.给出下列4个结论:当,直线与圆相离;若直线圆的一条对称轴,则;若直线上存在点,圆上存在点,使得,则的最大值为;为圆上的一动点,若,则的最大值为.其中所有正确结论的序号是 .三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)(本小题共15分)在三棱柱中,侧面为矩形,,分别是棱,的中点.()求证:()求证: ()若,求直线与所成角的正弦值. (17)(本小题共14分)若存在同时满足条件、条件、条件、条件中的三个,请选择一组这样的三个条件并解答下列问

5、题:()求的大小;()求和的值.条件:;条件:;条件:;条件:(18)(本小题共14分)某公司在20132021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示:年份201320142015201620172018201920202021年生产台数(单位:万台)3456691010年返修台数(单位:台)3238545852718075年利润(单位:百万元)3.854.504.205.506.109.6510.0011.50注:.()从20132020年中随机抽取一年,求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率;()公司规定:若年返修率不超过千分之一,则该公司生产部门当年考核优秀.现从201320

6、20年中随机选出3年,记表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数.求的分布列和数学期望;()记公司在20132015年,20162018年,20192021年的年生产台数的方差分别为.若,其中表示,这两个数中最大的数.请写出的最大值和最小值.(只需写出结论)(注:,其中为数据的平均数)(19)(本小题共14分)已知椭圆的离心率为,且经过点.()求椭圆的方程及其长轴长;(),分别为椭圆的左、右顶点,点在椭圆上,且位于轴下方,直线交轴于点,若的面积比的面积大,求点的坐标.(20)(本小题共14分)已知函数.()求函数的单调区间;()设,求证:;()设.若存在使得,求的最大值.(21)(本小题共14分

7、)设是由个实数组成的行列的数表,满足:每个数的绝对值是,且所有数的和是非负数,则称数表是“阶非负数表”.()判断如下数表,是否是“阶非负数表”; ()对于任意“阶非负数表”,记为的第行各数之和,证明:存在,使得;()当时,证明:对与任意“阶非负数表”,均存在行列,使得这行列交叉处的个数之和不小于.参考答案1、 选择题共10小题,每小题4分,共40分。题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)答案BADBACDCCA二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。题号(11)(12)(13)(14)(15)答案123或-1三、解答题共6小题,共85分。(16)(本小题共15分)

8、解:()在三棱柱中,且.因为点,分别是棱,的中点,所以,且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为,所以.()因为,所以,因为侧面为矩形,所以,又因为,所以.()分别以,所在的直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,由题意得,.所以,.设平面的法向量为,则即令,则,于是所以所以直线与平面所成角的正弦值为.(17)(本小题共14分)选择解:()因为,由正弦定理可得:.因为,所以.所以.所以.()在中,所以.所以.因为,所以.所以所以.由正弦定理可得,即.因为,所以.选择解:()因为由正弦定理得在所以.所以()在所以所以.因为,所以所以所以因为所以.由正弦定理得.(18)(本小题共14分)解:

9、()由图表知,20132020年中,产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年,2016年.所以从20132020年中随机抽取一年,该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率为123P()由图表知,20132020年中,返修率超过千分之一的年份只有2013,2015年,所以的所有可能取值为1,2,3P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,所以的分布列为()的最大值为13,最小值为7(19)(本小题共14分)解:()因为椭圆经过点,所以因为椭圆的离心率为,所以,其中所以所以椭圆的方程为,长轴长()当直线的斜率不存在时,由题意可知由()可知所以的面积为,的面积为显然的面积比的面积为

10、大方法一当直线的斜率存在时,由题意可设直线的方程为,且令,得,所以由,得.依题意可得点的纵坐标.因为点在轴下方,所以,即.所以的面积为的面积为因为的面积比的面积大,所以此方程无解综上所述,点的坐标为.方法二因为点在轴下方,所以在线段(不包括端点)上.由()可知.所以的面积为,所以点在线段(不包括端点)上,且的面积等于时的面积.所以的面积等于的面积.所以.设,,则.因为点在椭圆上,所以.所以所以点D的坐标为(20)(本小题共14分)解:()因为,所以.令,得.与在区间上的情况如下:+0-极大所以的单调递增区间为,单调递减区间为.()因为,所以.所以.当时,所以;当时,所以.所以在内单调递增,在内

11、单调递减.所以.()因为,所以.当时,即存在1,使得;当时,由()可知,即.所以所以对任意,即不存在使得.综上所述,的最大值为.(21)(本小题14分)解:记为数表中第行第列的数,为数表中所有数的和,为数表中前行列交叉处各数之和()是“4阶非负数表”;不是“4阶非负数表”()由题意知,且数表是“5阶非负数表”,所以为奇数,且不妨设当时,因为为奇数,所以所以当时,因为为奇数,所以所以所以有因为,均为奇数,所以()(1)先证明数表中存在行列,其所有数的和大于等于0设,由题意知不妨设由于,所以(2)由(1)及题意不妨设数表前行列,其所有数的和大于等于0下面考虑前行,证明存在行列,其所有数的和大于等于设,则不妨设因为为个奇数的和,所以为奇数 当时,因为为奇数,所以所以 当时,因为为奇数,所以所以所以(3)在(2)所设数表下,证明前行前列中存在行列,其所有数的和设,则 当时,; 当时,所以,所以综上所述,对于任何“阶非负数表”,均存在行列,使得这行列交叉处的所有数之和不小于

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