1、 1 丰台区丰台区 2020202120202021 学年度学年度高三高三第一学期期第一学期期末练习末练习数学数学试卷试卷 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合 |0,| 22Ax xBxx Z，那么AB I （A）0,1 （B） |02xx （C） 1,0 （D）0,1,2 （2）在等差数列na中，若1241,10aaa，则20a （A）35 （B）37 （C）39 （D）41 （3）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 （A）82 2 （B）112 2 （C）112 5 （D）142 2 （4
2、）若函数2,0,( )2 ,0,xxxf xx则函数( )f x的值域为 （A）0,1) （B）(,0 （C）(,0)(0,1)U （D）(,1) （5）若关于, x y的方程组4210,()210 xyaxay R无解，则a （A）2 （B）2 （C）1 （D）22 （6）下列函数中，同时满足对于定义域内的任意x，都有()( )fxf x；存在区间D，( )f x在区间D上单调递减的函数是 2 （A）sinyx （B）3yx （C）211yx （D）lnyx （7）已知na是等比数列，nS为其前n项和，那么“10a ”是“数列nS为递增数列”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
3、 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）某校实行选科走班制度（语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、 政治六科中任选三科） 根据学生选科情况， 该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科语文、数学、英语只排在第二节；物理、政治排在同一天，化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为 （A）36 （B）48 （C）144 （D）288 （ 9 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，, A B是 直 线xym上 的 两 点 ， 且| 10AB 若 对 于 任 意 点(cos ,si
4、n )(02P ，存在, A B使90APB成立，则m的最大值为 （A）2 2 （B）4 （C）4 2 （D）8 （10）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过 0.25 毫克/立方米时，顾客方可进入商场已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为100.1 ,010,1( ),102tattyt (a为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定 10:00 顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是 （A）9:40 （B）9:30 （C）9:20 （D）9:10
5、 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 3 （11）在复平面内，复数i(i)za对应的点在直线0 xy上，则实数a _ （12）已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程为12yx，那么该双曲线的离心率为_ （13）已知正六边形ABCDEF的边长为 1，那么AB AFuuu r uuu r_；若ADxAByAFuuu ruuu ruuu r，则xy_ （14）函数( )sin(2)3f xx的最小正周期T _，将函数( )f x的图象向左平移(0) 个单位长度，得到函数( )g x的图象. 若函数( )( )yf xg x的最大值为 2，则的值可以为_ （15
6、）对于平面直角坐标系内的任意两点1122(,),(,)P x yQ xy，定义它们之间的一种“距离”为2121PQxxyy已知不同三点, ,A B C满足ACCBAB，给出下列四个结论： , ,A B C三点可能共线； , ,A B C三点可能构成锐角三角形； , ,A B C三点可能构成直角三角形； , ,A B C三点可能构成钝角三角形 其中所有正确结论的序号是_ 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 13 分） 如图，在三棱柱111ABCABC中， 侧面11ABB A和11BCC B 都是正方形，平面11ABB A 平面11B
7、CC B，,D E分别为 1,BB AC的中点 （）求证：BE P平面1ACD； （）求直线1B E与平面1ACD所成角的正弦值 （17） （本小题 13 分） 在ABC中，已知5b ，9cos16B ,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知 （）求sin A； （）求ABC的面积 条件：1cos8C ；条件：4a 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 EDA1C1CB1BA 4 （18） （本小题 14 分） 全社会厉行勤俭节约，反对餐饮浪费某市为了解居民外出就餐有剩余时是否打包，进行了一项“舌尖上的浪费”的调查，对该市的居民进行简单随机抽样，将获得的数据按不同年龄段整理如下
8、表： 男性 女性 打包 不打包 打包 不打包 第 1 段 250 650 450 650 第 2 段 300 600 550 550 第 3 段 600 400 750 250 第 4 段 850 350 650 150 假设所有居民外出就餐有剩余时是否打包相互独立 （） 分别估计该市男性居民外出就餐有剩余时打包的概率， 该市女性居民外出就餐有剩余时打包的概率； （）从该市男性居民中随机抽取 1 人，女性居民中随机抽取 1 人，记这 2 人中恰有X人外出就餐有剩余时打包，求X的分布列； （） 假设每年龄段居民外出就餐有剩余时打包的概率与表格中该段居民外出就餐有剩余时打包的频率相等，用“1k”表
9、示第k段居民外出就餐有剩余时打包， “0k”表示第k段居民外出就餐有剩余时不打包(1,2,3,4k )，写出方差1234,DDDD的大小关系 （只需写出结论） （19） （本小题 15 分） 已知函数( )()e ()xf xxaaR （）当1a 时，求曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程； （）如果函数( )f x在区间(0,1)上有极值，且( )0f xa对于0,1x恒成立，求a的取值范围 5 FEDA1C1CB1BA（20） （本小题 15 分） 已知椭圆2222:1(0)xyWabab过(0,2), ( 3, 1)AB 两点 （）求椭圆W的方程； （）直线AB与x轴交于点
10、( ,0)M m，过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线l，l与椭圆W交于,C D两点，直线,AC BD分别交直线xm于,P Q两点，求证：|PMMQ为定值 （21） （本小题 15 分） 已知na是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为nA，最小值记为nB，令nnnAbB （）若2 (1,2,3,)nan nL，写出123,b b b的值； （）证明：1(1,2,3,)nnbb n； （）若 nb是等比数列，证明：存在正整数0n，当0nn时，+1+2nnnaaa, L是等比数列 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6
11、7 8 9 10 答案 A C B D C A B D C B 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 111 1252 13 1,42 14，2（答案不唯一） 15（全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分） 三、解答题（共 6 小题，共 85 分） （16） （本小题 13 分） （）证明：取1AC中点F，连接,DF EF， 6 在1AAC中，,E F分别是1,AC AC的中点， 所以EF P1AA，112EFAA 在三棱柱111ABCABC中， 四边形11AAB B为正方形，D为1BB中点， 所以BD P1AA，112BDAA 所以BDEFP，BDEF
12、 所以四边形BEFD为平行四边形 所以BEDFP 因为DF 平面1ACD，BE 平面1ACD， 所以BE P平面1ACD （）解： 因为平面11ABB A 平面11BCC B，平面11ABB A I平面111BCC BBB，AB 平面11ABB A， 正方形11ABB A中AB 1BB， 所以AB 平面11BCC B 所以ABBC 正方形11BCC B中1BCBB 如图建立平面直角坐标系Bxyz 不妨设12ABBCBB，则(0,0,0)B，(0,0,2)A，(2,0,0)C，1(0,2,0)B，1(0,2,2)A， (0,1,0)D，(1,0,1)E 所以1(1, 2,1)B E uuur，1
13、(0,1,2)DA uuu u r，(2, 1,0)DC uuu r 设平面1ACD的法向量( , , )x y zm，则 100DADCuuu u ruuu rmm， 即2020yzxy 令1x ，则2,1yz 于是(1,2, 1)m 设直线1B E与平面1ACD所成的角为， 7 所以1112sincos,3B EB EB E uuuruuuruuurmmm 所以直线1B E与平面1ACD所成角的正弦值为23 （17） （本小题 13 分） 解： （） 因为91cos,cos, ,(0,)168BCB C， 所以5 73 7sin,sin168BC 所以5 7193 77sin()sinco
14、scossin1681684BCBCBC 所以7sinsin()4ABC （） 由正弦定理得sin4sinbaAB 所以113 715 7sin4 52284ABCSabC 解： （） 由9cos,(0,)16BB得5 7sin16B 由正弦定理得7sinsin4aABb （）由余弦定理2222cosbacacB，得 2925162 416cc 即229180cc， 解得6c （32c 舍） 所以115 715 7sin4622164ABCSacB （18） （本小题 14 分） （）解： 设该市男性居民外出就餐有剩余时打包为事件A；设该市女性居民外出就餐有剩余时打包为事件B. 男性居民外出就
15、餐有剩余时打包的有 250+300+600+850=2000 人，男性居民外出就餐有剩余时不打包的有 650+600+400+350=2000 人，被调查的男性居民有 2000+2000=4000 人， 所以20001( )40002P A 女性居民外出就餐有剩余时打包的有 450+550+750+650=2400 人，女性居民外出就餐有剩余时不打包的有 650+550+250+150=1600 人，被调查的女性居民有 2400+1600=4000 人， 8 所以24003( )40005P B （）解： X的所有可能取值为 0,1,2. 由题设知，事件A与B相互独立，且 1( )2P A ，
16、2( )5P B 所以121(0)()( ) ( )255P XP ABP A P B， 12131(1)()( ) ( )( ) ( )25252P XP ABABP A P BP A P BU， 133(2)()( ) ( )2510P XP ABP A P B 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 15 12 310 （）解： 4312DDDD （19） （本小题 15 分） 解： （） 当1a 时，因为( )(1)exf xx， 所以( )exf xx 因为(1)0f，(1)ef， 所以曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程为e(1)yx， 即ee0 xy （）因为( )(
17、1)exf xxa，函数( )f x在区间(0,1)上有极值， 所以01 1a 所以12a 当x变化时，( )f x，( )f x的变化情况如下表： x 0 (0,1)a 1a (1,1)a 1 ( )f x 0 ( )f x a (1)f a Z (1)ea 因为( )0f xa对于0,1x恒成立， 所以(0)0fa，且(1)0fa 9 所以(1)e+0aa，即ee 1a 因为12a， 所以e2e1a （20） （本小题 15 分） 解： （） 由椭圆2222:1(0)xyWabab过(0,2)A，( 3, 1)B 两点，得 2b ，29114a 所以212a 所以椭圆W的方程为221124
18、xy （） 由2m， 设直线l的方程为(2)(0,1)yk xkk. 由22(2),1124yk xxy得2222(1 3)1212120kxk xk 且0 . 设1122( ,),(,)C x yD xy，则22121222121212,1313kkxxx xkk 记直线AC的方程为1122yyxx， 令2x ，得P点的纵坐标11(22 )(2)Pkxyx 记直线BD的方程为2211(3)3yyxx ， 令2x ，得Q点的纵坐标22(1)(2)3Qkxyx 10 112122122212212121212112221221(22 )(2)2(3)(2)| | |(1)(2)|(2)31212
19、122412224()1221313| |1212221312122(13)| 1.12122(13)PQkxyxxxPMkxMQyxxxkkxx xxxxkkkx xxxkkkxkkx 所以|PMMQ为定值 1 方法 2： 1212122112122112(22 )(2)(1)(2)3(22 )(2)(3)(1)(2)(3)(1)2(2)(3)(2)(3)PQkxkxyyxxkxxkxxx xkxxxxx x 121212222212222212(1)4()12(3)121212(1)4()121313(3)(1)(1212481236)(13)(3)0.kx xxxx xkkkkkx xk
20、kkkkx x 所以|PMMQ为定值 1 （21） （本小题 15 分） 解： （） 11b ，22b ，3=3b （） 由题意知10nnAA，10nnBB， 所以11nnnnABA B 所以+1+1nnnnAABB，即1nnbb （） 由题意知111111AabBa，及1nnbb， 11 当1=nnbb时，得1nb ，即1nnAB 所以nnAB 所以1=naa 即na为公比等于 1 的等比数列 当1nnbb时，令12min,tnaa aaLL，则mtBa mt 当nt时， 显然1nnAA 若1nnaA，则1=nnAA，与1nnAA矛盾， 所以1nnnaAa，即11nnAa 取0+1nt，当0nn时， nnnntAabBa，显然+1+2nnnaaa, L是等比数列 综上，存在正整数0n，使得0nn时，+1+2nnnaaa, L是等比数列.
