1、2.2 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质（第（第 1 课时）课时） 一、选择题 1 （2019 内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（ ） A+2 B+2 C +1 2 D2+12 2 2 （2019 山东师范大学附中高一期中）已知 x0，函数9yxx的最小值是（ ） A2 B4 C6 D8 3.（2019 广东高一期末）若正实数 a，b 满足 + = 1，则下列说法正确的是( ) Aab 有最小值14 B + 有最小值2 C1+1有最小值 4 D2+ 2有最小值22 4 （2019 柳州市第二中学高一期末）若 5，则 +4+5的最小值为（ ） A-1 B3 C-3 D1 5
2、 （2019 吉林高一月考）若 12fxxx (2)x 在xn处取得最小值，则n（ ） A52 B3 C72 D4 6 （2019 广西桂林中学高一期中）已知5x2,则 f(x)= 24524xxx有 A最大值 B最小值 C最大值 1 D最小值 1 二、填空题 7 （2019 宁夏银川一中高一期末）当1x时，1( )1f xxx的最大值为_. 8 （2019 上海市北虹高级中学高一期末）若0m，0n，1mn，且41mn的最小值是_. 9 （2019 浙江高一期末）已知0a，0b，若不等式212mabab恒成立，则m的最大值为_ 10 （2019 浙江高一月考）设函数24( )(2)(0)f x
3、xxxx若( )4f x ，则x_ 三、解答题 11 （2016 江苏高一期中）(1)已知 a0，b0，且 4ab1，求 ab 的最大值； （2）若正数 x，y 满足 x3y5xy，求 3x4y 的最小值； （3）已知 x54，求 f（x）4x2145x的最大值； 12 （2019 福建高一期中）设0,0,1abab 求证：1118abab 2.2 基本不等式（第基本不等式（第 2 课时）课时） 一、选择题 1（2019 四川高一期中） 用篱笆围一个面积为2100m的矩形菜园， 问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ） A30 B36 C40 D50 2 （2019 北
4、京高一期中）若实数 x，y 满足2 + = 1，则 的最大值为( ) A1 B14 C18 D116 3 （2019 北京北师大实验中学高一期末）宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假 设一个三角形，边长分别为abc， ，三角形的面积S可由公式()()()Sp pa pb pc 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足128abc，则此三角形面积的最大值为( ) A4 5 B4 15 C8 5 D8 15 4 （2019 湖南高一期中）当 0，关于代数式22+1，下列说法正确的是( ) A有最大值无最小值 B有最小值无最大值 C有最小值也
5、有最大值 D无最小值也无最大值 5 （2019 全国高一课时练习）汽车上坡时的速度为 a，原路返回时的速度为 b，且 0ab，则汽车全程的平均速度比 a，b 的平均值( ) A大 B小 C相等 D不能确定 6 （2019 龙岩市第一中学高一月考）某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10黄金， 售货员先将5的砝码放在左盘， 将黄金放于右盘使之平衡后给顾客； 然后又将5的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A大于10 B小于10 C大于等于10 D小于等于10 二、填空题 7 （2019 全国高一课时练）某商场中秋前 30 天月饼销
6、售总量 f(t)与时间 t(0t30)的关系大致满足f(t)t210t16，则该商场前 t 天平均售出如前 10 天的平均售出为(10)10的月饼最少为 8 （2016 青海平安一中高一课时练习） 有一批材料可以建成 200 m 的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等的矩形,如图所示,则围成的矩形场地的最大面积为_m2(围墙厚度不计). 9 （2019 江苏高一期末）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于 5
7、，那么这个直角三角形面积的最大值等于_ 10 （2019 湖北高一期末）任意正数 x，不等式21axx恒成立，则实数 a 的最大值为 三、解答题 11 （2019 随州市曾都区第一中学高一期中）近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为 5G，然而这并没有让华为却步.华为在 2018 年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在 2020 年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本 250 万，每生产x（千部）手机，需另投入成本(
8、 )R x万元，且 210100 ,040( )100007019450,40 xxxR xxxx，由市场调研知，每部手机售价 0.7 万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （I）求出 2020 年的利润( )W x（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式， （利润=销售额成本） ； (II)2020 年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 12 （2019安徽合肥一中高一期中） （1）已知 a，b，c(0，)求证：18abcabbcca . （2）已知,均为正数，且 + = 1，求证：( +1)2+ ( +1)2252 2.2 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性
9、质（第（第 1 课时）课时） 一、选择题 1 （2019 内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（ ） A+2 B+2 C +1 2 D2+12 2 【答案】D 【解析】当,都为负数时，A,C 选项不正确.当,为正数时，B 选项不正确.根据基本不等式，有2+12 2212= 2，故选 D. 2 （2019 山东师范大学附中高一期中）已知 x0，函数9yxx的最小值是（ ） A2 B4 C6 D8 【答案】C 【解析】x0，函数9926yxxxx，当且仅当 x=3 时取等号， y 的最小值是 6故选：C 3.（2019 广东高一期末）若正实数 a，b 满足 + = 1，则下列说法正确的是
10、( ) Aab 有最小值14 B + 有最小值2 C1+1有最小值 4 D2+ 2有最小值22 【答案】C 【解析】 a 0，b 0，且a + b = 1； 1 = a + b 2ab； ab 14； ab有最大值14，选项 A 错误； ( + )2= + + 2 = 1 + 2 1 + 214= 2， + 2， 即a + b有最大值2，B 项错误. 1a+1b=a+bab=1ab 4，1a+1b有最小值 4，C 正确； 2+ 2= ( + )2 2 = 1 2 1 2 14=12, a2+ b2的最小值是12，不是22，D 错误 4 （2019 柳州市第二中学高一期末）若 5，则 +4+5的
11、最小值为（ ） A-1 B3 C-3 D1 【答案】A 【解析】 +4+5= + 5 +4+5 5 2 2 5 = 1，当且仅当 = 3时等号成立，故选 A. 5 （2019 吉林高一月考）若 12fxxx (2)x 在xn处取得最小值，则n（ ） A52 B3 C72 D4 【答案】B 【解析】 ：当且仅当时,等号成立;所以,故选 B. 6 （2019 广西桂林中学高一期中）已知5x2,则 f(x)= 24524xxx有 A最大值 B最小值 C最大值 1 D最小值 1 【答案】D 【解析】 22111112221222222xf xxxxxx 当122xx即3x 或1（舍去）时， f x取得
12、最小值1 二、填空题 7 （2019 宁夏银川一中高一期末）当1x时，1( )1f xxx的最大值为_. 【答案】-3. 【解析】当1x时， 11 (1) 111f xxxxx 又1(1)21xx， 11 (1) 1311f xxxxx ,故答案为：-3 8 （2019 上海市北虹高级中学高一期末）若0m，0n，1mn，且41mn的最小值是_. 【答案】9 【解析】0m，0n，1mn，44()54145219nmn mmnmnmnmnmn, 当且仅当12,33nm 时“=”成立，故答案为 9. 9 （2019 浙江高一期末）已知0a，0b，若不等式212mabab恒成立，则m的最大值为_ 【答
13、案】9. 【解析】由212mabab得212mabab恒成立，而212225abababba2252549abba，故9m，所以m的最大值为9. 10 （2019 浙江高一月考）设函数24( )(2)(0)f xxxxx若( )4f x ，则x_ 【答案】2 【解析】因为2(2)0yx，当2x时，取最小值； 又0 x时，42 44yxx，当且仅当0 6（ ， ），即2x时，取最小值； 所以当且仅当2x时，24( )(2)f xxxx取最小值(2)4f. 即( )4f x 时，2x.故答案为 2 三、解答题 11 （2016 江苏高一期中）已知 a0，b0，且 4ab1，求 ab 的最大值； （
14、2）若正数 x，y 满足 x3y5xy，求 3x4y 的最小值； （3）已知 x54，求 f（x）4x2145x的最大值； 【答案】 （1）的最大值； （2）的最小值为 5； （3）函数的最大值为 【解析】 （1） , 当且仅当,时取等号，故的最大值为 （2） ， 当且仅当即时取等号 （3） 当且仅当,即时,上式成立,故当时, 函数的最大值为 . 12 （2019 福建高一期中）设0,0,1abab 求证：1118abab 【答案】可以运用多种方法。 【解析】证明法一：0,0,1ababQ 1111ababababab 22112228122abababab 当且仅当1= =2a b，取“=”
15、号。 故1118abab 证明法二：0,0,1ababQ 11111111+=+abababababababba 11111222 22=8ababababab 当且仅当1= =2a b，取“=”号。故1118abab 证明法三 0,0,1ababQ 11111111+=+abababababababba 1122=2 2+ababbaababab=4+24+2 2=8babaabab 当且仅当1= =2a b时，取“=”号。故1118abab 证明法五： 0,0,1ababQ 111 818baababab 21 42ababab显然成立 1111= = 82a babab当且仅当时，取“
16、”号,故 2.2 基本不等式（第基本不等式（第 2 课时）课时） 一、选择题 1（2019 四川高一期中） 用篱笆围一个面积为2100m的矩形菜园， 问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ） A30 B36 C40 D50 【答案】C 【解析】 设矩形的长为( )x m， 则宽为100( )mx， 设所用篱笆的长为( )y m， 所以有10022yxx ，根据基本不等式可知：100100222 2240yxxxx ， （当且仅当10022xx时，等号成立，即10 x 时，取等号）故本题选 C. 2 （2019 北京高一期中）若实数 x，y 满足2 + = 1，则 的最大
17、值为( ) A1 B14 C18 D116 【答案】C 【解析】实数 x，y 满足2 + = 1， = 1 2， = (1 2) = 22+ = 2( 14)2+1818，当 =14， =12时取等号，故选：C 3 （2019 北京北师大实验中学高一期末）宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假 设一个三角形，边长分别为abc， ，三角形的面积S可由公式()()()Sp pa pb pc 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足128abc，则此三角形面积的最大值为( ) A4 5 B4 15 C8 5 D8 15 【答案】C 【解析】由题
18、意，p10， S85， 此三角形面积的最大值为 85故选：C 4 （2019 湖南高一期中）当 0，关于代数式22+1，下列说法正确的是( ) A有最大值无最小值 B有最小值无最大值 C有最小值也有最大值 D无最小值也无最大值 【答案】A 【解析】 0，22+1=2+1221= 1，当且仅当 =1即 = 1时取等号， 故 0，关于代数式22+1有最大值 1，没有最小值，故选：A 5 （2019 全国高一课时练习）汽车上坡时的速度为 a，原路返回时的速度为 b，且 0ab，则汽车全程的平均速度比 a，b 的平均值( ) A大 B小 C相等 D不能确定 【答案】B 【解析】令单程为 s,则上坡时间
19、为1=,下坡时间为2=, 平均速度为21+2=2+=21+1 +2.故选 B. 6 （2019 龙岩市第一中学高一月考）某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10黄金， 售货员先将5的砝码放在左盘， 将黄金放于右盘使之平衡后给顾客； 然后又将5的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A大于10 B小于10 C大于等于10 D小于等于10 【答案】A 【解析】由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设 ） ， 先称得的黄金的实际质量为1， 后称得的黄金的实际质量为2 由杠杆的平衡原理： 1= 5，2= 5 解得1=5，
20、2=5，则1+ 2=5+5 下面比较1+ 2与 10 的大小： 因为(1+ 2) 10 =5+5 10 255 10 = 0， 又因为 ， 所以， (1+ 2) 10 0，即1+ 2 10 这样可知称出的黄金质量大于10 故选： 二、填空题 7 （2019 全国高一课时练）某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(0t30)的关系大致满足f(t)t210t16，则该商场前 t 天平均售出如前 10 天的平均售出为(10)10的月饼最少为 【答案】18 【解析】平均销售量 y=()=2+10+16=t+16+1018 当且仅当 t=16，即 t=41，30等号成立，即平均销售量的最
21、小值为 18 8 （2016 青海平安一中高一课时练习） 有一批材料可以建成 200 m 的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等的矩形,如图所示,则围成的矩形场地的最大面积为_m2(围墙厚度不计). 【答案】2500 【解析】设矩形场地的宽为 x m,则矩形场地的长为(200-4x)m,则矩形场地的面积S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500(0 x0.， 即.当且仅当 abc 时，取到“” （2）( +1)2+ ( +1)2= 4 + 2+ 2+ (12+12) = 4 + 2+ 2+(+)22+(+)22 = 4 + 2+ 2+ 1 +2+22+22+2+ 1 = 4 + (2+ 2) + 2 + 2(+) + (22+22) 4 +(+)22+ 2 + 4 + 2 =252， 即( +1)2+ ( +1)2252，当且仅当 = 时，等号成立
