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2.2基本不等式 同步练习(1)含答案解析

1、2.2 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质(第(第 1 课时)课时) 一、选择题 1 (2019 内蒙古集宁一中高一期末)下列不等式一定成立的是( ) A+2 B+2 C +1 2 D2+12 2 2 (2019 山东师范大学附中高一期中)已知 x0,函数9yxx的最小值是( ) A2 B4 C6 D8 3.(2019 广东高一期末)若正实数 a,b 满足 + = 1,则下列说法正确的是( ) Aab 有最小值14 B + 有最小值2 C1+1有最小值 4 D2+ 2有最小值22 4 (2019 柳州市第二中学高一期末)若 5,则 +4+5的最小值为( ) A-1 B3 C-3 D1 5

2、 (2019 吉林高一月考)若 12fxxx (2)x 在xn处取得最小值,则n( ) A52 B3 C72 D4 6 (2019 广西桂林中学高一期中)已知5x2,则 f(x)= 24524xxx有 A最大值 B最小值 C最大值 1 D最小值 1 二、填空题 7 (2019 宁夏银川一中高一期末)当1x时,1( )1f xxx的最大值为_. 8 (2019 上海市北虹高级中学高一期末)若0m,0n,1mn,且41mn的最小值是_. 9 (2019 浙江高一期末)已知0a,0b,若不等式212mabab恒成立,则m的最大值为_ 10 (2019 浙江高一月考)设函数24( )(2)(0)f x

3、xxxx若( )4f x ,则x_ 三、解答题 11 (2016 江苏高一期中)(1)已知 a0,b0,且 4ab1,求 ab 的最大值; (2)若正数 x,y 满足 x3y5xy,求 3x4y 的最小值; (3)已知 x54,求 f(x)4x2145x的最大值; 12 (2019 福建高一期中)设0,0,1abab 求证:1118abab 2.2 基本不等式(第基本不等式(第 2 课时)课时) 一、选择题 1(2019 四川高一期中) 用篱笆围一个面积为2100m的矩形菜园, 问这个矩形的长、 宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是( ) A30 B36 C40 D50 2 (2019 北

4、京高一期中)若实数 x,y 满足2 + = 1,则 的最大值为( ) A1 B14 C18 D116 3 (2019 北京北师大实验中学高一期末)宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假 设一个三角形,边长分别为abc, ,三角形的面积S可由公式()()()Sp pa pb pc 求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足128abc,则此三角形面积的最大值为( ) A4 5 B4 15 C8 5 D8 15 4 (2019 湖南高一期中)当 0,关于代数式22+1,下列说法正确的是( ) A有最大值无最小值 B有最小值无最大值 C有最小值也

5、有最大值 D无最小值也无最大值 5 (2019 全国高一课时练习)汽车上坡时的速度为 a,原路返回时的速度为 b,且 0ab,则汽车全程的平均速度比 a,b 的平均值( ) A大 B小 C相等 D不能确定 6 (2019 龙岩市第一中学高一月考)某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10黄金, 售货员先将5的砝码放在左盘, 将黄金放于右盘使之平衡后给顾客; 然后又将5的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金( ) A大于10 B小于10 C大于等于10 D小于等于10 二、填空题 7 (2019 全国高一课时练)某商场中秋前 30 天月饼销

6、售总量 f(t)与时间 t(0t30)的关系大致满足f(t)t210t16,则该商场前 t 天平均售出如前 10 天的平均售出为(10)10的月饼最少为 8 (2016 青海平安一中高一课时练习) 有一批材料可以建成 200 m 的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等的矩形,如图所示,则围成的矩形场地的最大面积为_m2(围墙厚度不计). 9 (2019 江苏高一期末)对于直角三角形的研究,中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例,而西方直到公元前 6 世纪,古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于 5

7、,那么这个直角三角形面积的最大值等于_ 10 (2019 湖北高一期末)任意正数 x,不等式21axx恒成立,则实数 a 的最大值为 三、解答题 11 (2019 随州市曾都区第一中学高一期中)近年来,中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁,百般刁难,并不断加大对各国的施压,拉拢他们抵制华为 5G,然而这并没有让华为却步.华为在 2018 年不仅净利润创下记录,海外增长同样强劲.今年,我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力,计划在 2020 年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本 250 万,每生产x(千部)手机,需另投入成本(

8、 )R x万元,且 210100 ,040( )100007019450,40 xxxR xxxx,由市场调研知,每部手机售价 0.7 万元,且全年内生产的手机当年能全部销售完. (I)求出 2020 年的利润( )W x(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式, (利润=销售额成本) ; (II)2020 年产量为多少(千部)时,企业所获利润最大?最大利润是多少? 12 (2019安徽合肥一中高一期中) (1)已知 a,b,c(0,)求证:18abcabbcca . (2)已知,均为正数,且 + = 1,求证:( +1)2+ ( +1)2252 2.2 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性

9、质(第(第 1 课时)课时) 一、选择题 1 (2019 内蒙古集宁一中高一期末)下列不等式一定成立的是( ) A+2 B+2 C +1 2 D2+12 2 【答案】D 【解析】当,都为负数时,A,C 选项不正确.当,为正数时,B 选项不正确.根据基本不等式,有2+12 2212= 2,故选 D. 2 (2019 山东师范大学附中高一期中)已知 x0,函数9yxx的最小值是( ) A2 B4 C6 D8 【答案】C 【解析】x0,函数9926yxxxx,当且仅当 x=3 时取等号, y 的最小值是 6故选:C 3.(2019 广东高一期末)若正实数 a,b 满足 + = 1,则下列说法正确的是

10、( ) Aab 有最小值14 B + 有最小值2 C1+1有最小值 4 D2+ 2有最小值22 【答案】C 【解析】 a 0,b 0,且a + b = 1; 1 = a + b 2ab; ab 14; ab有最大值14,选项 A 错误; ( + )2= + + 2 = 1 + 2 1 + 214= 2, + 2, 即a + b有最大值2,B 项错误. 1a+1b=a+bab=1ab 4,1a+1b有最小值 4,C 正确; 2+ 2= ( + )2 2 = 1 2 1 2 14=12, a2+ b2的最小值是12,不是22,D 错误 4 (2019 柳州市第二中学高一期末)若 5,则 +4+5的

11、最小值为( ) A-1 B3 C-3 D1 【答案】A 【解析】 +4+5= + 5 +4+5 5 2 2 5 = 1,当且仅当 = 3时等号成立,故选 A. 5 (2019 吉林高一月考)若 12fxxx (2)x 在xn处取得最小值,则n( ) A52 B3 C72 D4 【答案】B 【解析】 :当且仅当时,等号成立;所以,故选 B. 6 (2019 广西桂林中学高一期中)已知5x2,则 f(x)= 24524xxx有 A最大值 B最小值 C最大值 1 D最小值 1 【答案】D 【解析】 22111112221222222xf xxxxxx 当122xx即3x 或1(舍去)时, f x取得

12、最小值1 二、填空题 7 (2019 宁夏银川一中高一期末)当1x时,1( )1f xxx的最大值为_. 【答案】-3. 【解析】当1x时, 11 (1) 111f xxxxx 又1(1)21xx, 11 (1) 1311f xxxxx ,故答案为:-3 8 (2019 上海市北虹高级中学高一期末)若0m,0n,1mn,且41mn的最小值是_. 【答案】9 【解析】0m,0n,1mn,44()54145219nmn mmnmnmnmnmn, 当且仅当12,33nm 时“=”成立,故答案为 9. 9 (2019 浙江高一期末)已知0a,0b,若不等式212mabab恒成立,则m的最大值为_ 【答

13、案】9. 【解析】由212mabab得212mabab恒成立,而212225abababba2252549abba,故9m,所以m的最大值为9. 10 (2019 浙江高一月考)设函数24( )(2)(0)f xxxxx若( )4f x ,则x_ 【答案】2 【解析】因为2(2)0yx,当2x时,取最小值; 又0 x时,42 44yxx,当且仅当0 6( , ),即2x时,取最小值; 所以当且仅当2x时,24( )(2)f xxxx取最小值(2)4f. 即( )4f x 时,2x.故答案为 2 三、解答题 11 (2016 江苏高一期中)已知 a0,b0,且 4ab1,求 ab 的最大值; (

14、2)若正数 x,y 满足 x3y5xy,求 3x4y 的最小值; (3)已知 x54,求 f(x)4x2145x的最大值; 【答案】 (1)的最大值; (2)的最小值为 5; (3)函数的最大值为 【解析】 (1) , 当且仅当,时取等号,故的最大值为 (2) , 当且仅当即时取等号 (3) 当且仅当,即时,上式成立,故当时, 函数的最大值为 . 12 (2019 福建高一期中)设0,0,1abab 求证:1118abab 【答案】可以运用多种方法。 【解析】证明法一:0,0,1ababQ 1111ababababab 22112228122abababab 当且仅当1= =2a b,取“=”

15、号。 故1118abab 证明法二:0,0,1ababQ 11111111+=+abababababababba 11111222 22=8ababababab 当且仅当1= =2a b,取“=”号。故1118abab 证明法三 0,0,1ababQ 11111111+=+abababababababba 1122=2 2+ababbaababab=4+24+2 2=8babaabab 当且仅当1= =2a b时,取“=”号。故1118abab 证明法五: 0,0,1ababQ 111 818baababab 21 42ababab显然成立 1111= = 82a babab当且仅当时,取“

16、”号,故 2.2 基本不等式(第基本不等式(第 2 课时)课时) 一、选择题 1(2019 四川高一期中) 用篱笆围一个面积为2100m的矩形菜园, 问这个矩形的长、 宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是( ) A30 B36 C40 D50 【答案】C 【解析】 设矩形的长为( )x m, 则宽为100( )mx, 设所用篱笆的长为( )y m, 所以有10022yxx ,根据基本不等式可知:100100222 2240yxxxx , (当且仅当10022xx时,等号成立,即10 x 时,取等号)故本题选 C. 2 (2019 北京高一期中)若实数 x,y 满足2 + = 1,则 的最大

17、值为( ) A1 B14 C18 D116 【答案】C 【解析】实数 x,y 满足2 + = 1, = 1 2, = (1 2) = 22+ = 2( 14)2+1818,当 =14, =12时取等号,故选:C 3 (2019 北京北师大实验中学高一期末)宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假 设一个三角形,边长分别为abc, ,三角形的面积S可由公式()()()Sp pa pb pc 求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足128abc,则此三角形面积的最大值为( ) A4 5 B4 15 C8 5 D8 15 【答案】C 【解析】由题

18、意,p10, S85, 此三角形面积的最大值为 85故选:C 4 (2019 湖南高一期中)当 0,关于代数式22+1,下列说法正确的是( ) A有最大值无最小值 B有最小值无最大值 C有最小值也有最大值 D无最小值也无最大值 【答案】A 【解析】 0,22+1=2+1221= 1,当且仅当 =1即 = 1时取等号, 故 0,关于代数式22+1有最大值 1,没有最小值,故选:A 5 (2019 全国高一课时练习)汽车上坡时的速度为 a,原路返回时的速度为 b,且 0ab,则汽车全程的平均速度比 a,b 的平均值( ) A大 B小 C相等 D不能确定 【答案】B 【解析】令单程为 s,则上坡时间

19、为1=,下坡时间为2=, 平均速度为21+2=2+=21+1 +2.故选 B. 6 (2019 龙岩市第一中学高一月考)某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10黄金, 售货员先将5的砝码放在左盘, 将黄金放于右盘使之平衡后给顾客; 然后又将5的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金( ) A大于10 B小于10 C大于等于10 D小于等于10 【答案】A 【解析】由于天平的两臂不相等,故可设天平左臂长为,右臂长为(不妨设 ) , 先称得的黄金的实际质量为1, 后称得的黄金的实际质量为2 由杠杆的平衡原理: 1= 5,2= 5 解得1=5,

20、2=5,则1+ 2=5+5 下面比较1+ 2与 10 的大小: 因为(1+ 2) 10 =5+5 10 255 10 = 0, 又因为 , 所以, (1+ 2) 10 0,即1+ 2 10 这样可知称出的黄金质量大于10 故选: 二、填空题 7 (2019 全国高一课时练)某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(0t30)的关系大致满足f(t)t210t16,则该商场前 t 天平均售出如前 10 天的平均售出为(10)10的月饼最少为 【答案】18 【解析】平均销售量 y=()=2+10+16=t+16+1018 当且仅当 t=16,即 t=41,30等号成立,即平均销售量的最

21、小值为 18 8 (2016 青海平安一中高一课时练习) 有一批材料可以建成 200 m 的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等的矩形,如图所示,则围成的矩形场地的最大面积为_m2(围墙厚度不计). 【答案】2500 【解析】设矩形场地的宽为 x m,则矩形场地的长为(200-4x)m,则矩形场地的面积S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500(0 x0., 即.当且仅当 abc 时,取到“” (2)( +1)2+ ( +1)2= 4 + 2+ 2+ (12+12) = 4 + 2+ 2+(+)22+(+)22 = 4 + 2+ 2+ 1 +2+22+22+2+ 1 = 4 + (2+ 2) + 2 + 2(+) + (22+22) 4 +(+)22+ 2 + 4 + 2 =252, 即( +1)2+ ( +1)2252,当且仅当 = 时,等号成立