1、 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.1.2 无理指数幂及其运算无理指数幂及其运算 本节课是新版教材人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第四章第 4.1.2 节无理指数幂及其运算第课时。从内容上看它是上节指数由整数指数幂推广到了分数指数幂，从而将指数幂的运算法则推广到了有理数的范围，本节从有理数指数幂出发，进一步推广到了无理数，从而再整个实数范围内，都可以进行指数幂的运算。体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础。 课程目标 学科素养 1. 理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则，会根据根式和分数指数幂的
2、关系和分数指数幂的运算法则进行计算分数指数幂； 2.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。 3.培养勇于探索的精神， 体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养。 a.数学抽象：指数幂的概念； b.逻辑推理：无理数指数幂的含义； c.数学运算：指数幂的运算； d.直观想象：指数幂的运算法则； e.数学建模：将指数幂的运算性质推广到实数的范围； 重点：分数指数幂和无理指数幂的概念； 难点：根式与分数指数幂的互化；指数幂的运算性质； 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 （一） 、（一） 、温故知新 1分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：amn (a0，m，nN*，且
3、 n1) 负分数指数幂 规定：amn1amn (a0，m，nN*，且 n1) 0 的分数指数幂 0 的正分数指数幂等于 0， 0 的负分数指数幂没有意义. 2有理数指数幂的运算性质 (1)arasars(a0，r，sQ) (2)(ar)sars(a0，r，sQ) (3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ) 3.小试牛刀 1思考辨析 (1)0 的任何指数幂都等于 0.( ) (2)523 53.( ) (3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a2a12.( ) 答案 (1) (2) (3) 2425等于( ) A25 B.516 C.415 D.54 B 425542516，故选 B. 3已知
4、 a0，则 a23等于( ) A. a3 B13a2 C.1a3 D3a2 B a231a2313a2. 通过温故知新，帮助学生正确理解根式与分数指数幂的概念，进一步熟悉它们之间的转化，培养和发展数学抽象和数学运算的核心素养。 4(m12)4(1)0_. m21 (m12)4(1)0m21. （二） 、探索新知 无理数指数无理数指数幂：幂：一般地，无理数指数幂 a(a0， 是无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。 无理数指数幂：一般地，无理数指数幂 a(a0， 是无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂； 观察下表：25的是 否表示一
5、个确定的实数？ 2的过剩近似值的过剩近似值 25 的近似值的近似值 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9.738 517 752 由上可以看出： 25 可以由2的不足近似值和过剩近似值进行无限逼近。 （三）典例解析（三）典例解析 题型 1 根式与分数
6、指数幂的互化 例 1 将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)a a(a0)；(2)错误错误! !；(3)错误错误! !错误错误! !(b0). 合作探究： 探究.无理指数幂的概念，通过有理指数幂不断逼近，体会无理指数幂的含义。发展学生数学推理能力； 通过典例问题的分析，让学生观察分析，归纳根式与分数指数幂的互化。感受由特殊到一般的思想方法，发展( )( )2311333222243513249233935555532132 12143 4391,111112,3.a aaaaxxxxxxxxbbb-骣琪-创-琪桫骣琪轾=?=臌琪桫=骣骣琪琪琪琪桫桫轾骣犏琪=犏琪犏桫犏臌答案（ ）原式原式原式
7、 规律方法根式与分数指数幂互化的规律 1)根指数分数指数的分母被开方数(式)的指数分数指数的分子 2)在具体计算时， 通常会把根式转化成分数指数幂的形式， 然后利用有理数指数幂的运算性质解题 跟踪训练 1将下列根式与分数指数幂进行互化 (1)a33a2；(2)a4b23ab2(a0，b0) ( )( )()221133323333121141342242242336331,2.aaaaaaa baba baba b a bab+-轾?=臌?=答案 题型 2、利用分数指数幂的运算性质化简求解 例 2、化简求值 ( )()( )() () ()( )12132103342314233611 0.0
8、2762562 23;42412;3 243 b .a ba ba b caab-骣琪-+-+琪桫?复 ( )()( )( )()()()( )122313233423432 13 1423422111111 11333663 66225110.3421235170.342164;2315241211;3331326332aba b caabcaccaa bbabb- - +- - - - -轾骣骣犏琪轾琪=-+-+琪臌琪犏桫桫臌=-+ -+ =-?=-=-=-骣骣琪琪=阜=?琪琪桫桫答案原式原式原式14633.2a b= 逻辑推理能力； 规律方法指数幂运算的常用技巧 1有括号先算括号里的，无
9、括号先进行指数运算 2负指数幂化为正指数幂的倒数 3.底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质 跟踪训练 2 (1)计算： 0.06413780(2)343160.75|0.01|12； (2)化简：3a92a3)3a73a13(a0) ( )()()( )()( )110.75434232-113171 91 139 3 7 13032233 2236 6 6610.41220.1111430.410.1,1688021.aaaaaa-骣骣琪琪?创- + -琪琪桫桫轾=-+ -+臌=-+=轾轾犏犏=犯?=犏犏臌臌答案原式原式
10、题型 3 指数幂运算中的条件求值 1.a1a2和a1a2存在怎样的等量关系？ 提示：a1a2a1a24. 2已知 a1a的值，如何求 a1a的值？反之呢？ 提示：设 a1am，则两边平方得 a1am22；反之若设 a1an，则 nm22，m n2.即 a1a n2. 例例 3、已知 a12a124，求下列各式的值： (1)aa1；(2)a2a2. 解 (1)将 a12a124 两边平方，得 aa1216，故 aa114. (2)将 aa114 两边平方，得 a2a22196，故 a2a2194. 母题探究：1.在本例条件不变的条件下，求 aa1的值 2在本例条件不变的条件下，求 a2a2的值
11、解 1、由上题可知，a2a2(aa1)(aa1) 8 3 14 112 3. 解 2、令 aa1t，则两边平方得 a2a2t22， t22194，即 t2192，t 8 3，即 aa1 8 3. 规律方法 解决条件求值的思路 1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值 2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用 三、当堂达标 1下列运算结果中，正确的是( ) Aa2a3a5 B(a2)3(a3)2 C( a1)01 D(a2)3a6 答案答案A a2a3a23a5；(a2)3a6(a3)2a6；
12、( a1)01，若成立，需要满足 a1，故选 A. 2把根式 a a化成分数指数幂是( ) A(a) 32 B(a) 32 Ca32 Da32 答案答案D 由题意可知 a0，故排除 A、B、C 选项，选 D. 1-4813._.16骣琪琪桫的值是 答案：111-44442811622.3168133轾骣骣骣犏琪琪琪=犏琪琪琪桫桫桫犏臌 4若 10m2,10n3，则 103mn_. 答案答案83 10m2，103m238，又 10n3， 所以 103mn103m10n83. 112222111122222111122221,2,903,12,5m5,35aatattaaaaaamammaaaaa
13、-轾+=+=臌+=-=+-= =?+=-=?答案 设则即由知，设则即综上可知，。 通过练习巩固本节所学知识，提高解决根式的化简及根式与分数指数幂的互化能力，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。 四、小结 1.利用分数指数幂进行根式运算时， 其顺序是先把根式化成分数指数幂或把分母的 指数化成负指数，再根据同底数幂相乘的法则运算。 2.指数幂运算性质 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学 习 中 的 易 错点； ( )(0, ,);( ) ()(0, ,);( ) ()(0,0,).1 12 23 3rsrsrsrsrrra aaar sRaaar sRaba b abrR 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容
