1、【新教材】【新教材】5.1.15.1.1 任意角任意角 教学设计教学设计（人教（人教 A A 版）版） 学生在初中学习了o0o360，但是现实生活中随处可见超出o0o360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广. 课程目标课程目标 1.了解任意角的概念. 2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义 3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角； 2.逻辑推理：求区域角； 3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.
2、 重点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义； 难点：难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法 教学方法教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具教学工具：多媒体。 一、 情景导入情景导入 初中对角的定义是：射线 OA 绕端点 O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o0o360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o0o360范围的角.例如体操中有 “前空翻转体o540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课二、
3、预习课本，引入新课 阅读课本 168-170 页，思考并完成以下问题 1角的概念推广后，分类的标准是什么？ 2如何判断角所在的象限？ 3终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知三、新知探究探究 1任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条 射线 绕着端点从一个位置 旋转 到另一个位置所成的 图形 (2)角的表示 如图， OA 是角 的始边， OB 是角 的终边， O 是角的顶点 角 可记为“角 ”或“”或简记为“” (3)角的分类 按旋转方向，角可以分为三类： 名称 定义 图示 正角 按 逆时针 方向旋转形
4、成的角 负角 按 顺时针 方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 2象限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点与 原点 重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的 终边 在第几象限，就说这个角是第几 象限角 ；如果角的终边 在坐标轴 上，就认为这个角不属于任何一个象限 3终边相同的角 所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S|k360，kZ，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与 整数个周角 的和 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 任意角和象限角的概念任意角和象限角的概念 例例 1 1 (1)给出下列说法： 锐角都是第一象限角
5、；第一象限角一定不是负角；小于 180的角是钝角、直角或锐角；始边和终边重合的角是零角其中正确说法的序号为_(把正确说法的序号都写上) (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角 420，855，510. 【答案】（1） （2）图略，420是第一象限角855是第二象限角510是第三象限角 【解析】(1)锐角是大于 0且小于 90的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以正确； 350角是第一象限角，但它是负角，所以错误； 0角是小于 180的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以错误； 360角的始边与终边重合，但它不是零角，所以错误
6、(2) 作出各角的终边，如图所示： 由图可知： 420是第一象限角 855是第二象限角 510是第三象限角 解题技巧：（任意角和象限角的表示） 1判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等； (2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小 2象限角的判定方法 (1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限 (2)利用终边相同的角：第一步，将写成k360(kZ，0360)的形式； 第二步，判断的终边所在的象限； 第三步，根据的终边所在的象限，即可确定的终边所在的象限 跟踪训练一跟踪训练一 1已知集合A第一象限角，B锐角，C
7、小于 90的角，则下面关系正确的是( ) AABC BAC CACB DBCC 【答案】D 【解析】由已知得B C，所以BCC，故 D 正确 2给出下列四个命题：75是第四象限角；225是第三象限角；475是第二象限角；315是第一象限角其中正确的命题有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】D 【解析】90750，180225270， 36090475360180，31536045且 04590.所以这四个命题都是正确的 题型二题型二 终边相同的角的表示及应用终边相同的角的表示及应用 例例 2 2 (1)将885化为k360(0360，kZ)的形式是_ (2)写出与910终边
8、相同的角的集合， 并把集合中适合不等式720360的元素写出来 【答案】（1） (3)360195， （2） 终边相同的角的集合为|k360910，kZ，适合不等式720360的元素550、190、170. 【解析】(1)8851 080195(3)360195. (2)与910终边相同的角的集合为|k360910，kZ， 720360，即720k360910360，kZ， k取 1，2，3. 当k1 时，360910550； 当k2 时，2360910190； 当k3 时，3360910170. 解题技巧：(终边相同的角的表示) 1在 0到 360范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一
9、般地，可以将所给的角化成k360的形式(其中 0360，kZ)，其中就是所求的角 (2)如果所给的角的绝对值不是很大， 可以通过如下方法完成： 当所给角是负角时， 采用连续加 360的方式；当所给角是正角时，采用连续减 360的方式，直到所得结果达到所求为止 2运用终边相同的角的注意点 所有与角 终边相同的角，连同角 在内可以用式子 k360，kZ 表示，在运用时需注意以下四点： (1)k 是整数，这个条件不能漏掉 (2) 是任意角 (3)k360与 之间用“”连接，如 k36030应看成 k360(30)，kZ. (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它
10、们相差周角的整数倍 跟踪训练二跟踪训练二 1.下面与85012终边相同的角是( ) A23012 B22948 C12948 D13012 【答案】B 【解析】与85012终边相同的角可表示为85012k360(kZ)，当k3 时，850121 08022948. 2写出角的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为_ 【答案】|k180135，kZ 【解析】落在第二象限时，表示为k360135.落在第四象限时，表示为k360180135，故可合并为|k180135，kZ 题型三题型三 任意角终边位置的确定和表示任意角终边位置的确定和表示 例例 3 3 (1)若是第一象限角，则2是( ) A第
11、一象限角 B第一、三象限角 C第二象限角 D第二、四象限角 (2)已知，如图所示 分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； 写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合 【答案】(1)B (2) 终边落在OA位置上的角的集合为|135k360，kZ；终边落在OB位置上的角的集合为|30k360，kZ 故该区域可表示为|30k360135k360，kZ 【解析】(1) 因为是第一象限角，所以k360k36090，kZ，所以k1802k18045，kZ，当k为偶数时，2为第一象限角；当k为奇数时，2为第三象限角所以2是第一、三象限角 (2) 终边落在OA位置上的角的集合为|9045k360，kZ
12、|135k360，kZ； 终边落在OB位置上的角的集合为|30k360，kZ 由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于30，135之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示 为|30k360135k360，kZ 解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示） 1表示区间角的三个步骤： 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360； 第三步：起始、终止边界对应角，再加上 360的整数倍，即得区间角集合 提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异 2 或所在象限的判断
13、方法： (1)用不等式表示出角 或 的范围； (2)用旋转的观点确定角 或 所在象限 跟踪训练三跟踪训练三 1如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？ 【答案】角的取值集合为|n18060n180105，nZ 【解析】在 0360范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为 60105与 240285，所以所有满足题意的角为|k36060k360105，kZ|k360240k360 285，kZ|2k180602k180105，kZ |(2k1)18060(2k1)180105，kZ |n18060n180105，nZ 故角的取值集合为|n18060n180105，nZ 五、课堂小结五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计六、板书设计 七、七、作业作业 课本 171 页练习及 175 页习题 5.1 1、2、7 题. 本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法， 让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用. 5.1.1 任意角 1 任意角 例 1 例 2 例 3 2.象限角 3.终边相同的角
