1、2019-2020 学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的. 1 （5 分）已知复数 z，则|z|（ ） A B3 C1 D2i 2 （5 分）命题“0R，tan01”的否定是（ ） A0R，tan01 B0R，tan01 CR，tan1 DR，tan1 3 （5 分）双曲线 x21 的渐近线方程是（ ） Ayx Byx Cy Dy2x 4 （5 分）
2、实数 a1，b1 是 a+b2 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）已知函数，则 f（x）（ ） A B C D 6 （5 分）一艘船的燃料费 y（单位：元/时）与船速 x（单位：km/h）的关系是若该船航行时其他费用为 540 元/时，则在 100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为（ ） A30km/h B C D60km/h 7（5 分） 已知双曲线 E：的左顶点为 A， 右焦点为 F 若 B 为 E 的虚轴的一个端点， 且，则 F 的坐标为（ ） A B C D （4，0） 8 （5 分）已知定义在区间（2，2）上
3、的函数 yf（x）的图象如图所示，若函数 f（x）是 f（x）的导函数，则不等式的解集为（ ） A （2，1） B （2，1）（1，1） C （1，2） D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席： 团员或班干部；体育成绩达标 若小明有资格参选学生会主席，则小明
4、的情况有可能为（ ） A是团员，且体育成绩达标 B是团员，且体育成绩不达标 C不是团员，且体育成绩达标 D不是团员，且体育成绩不达标 10 （5 分） 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 A1D1和 C1D1的中点， 则下列结论正确的是 （ ） AA1C1平面 CEF BB1D平面 CEF C D点 D 与点 B1到平面 CEF 的距离相等 11 （5 分）已知函数 f（x）sinx+x3ax，则下列结论正确的是（ ） Af（x）是奇函数 B若 f（x）是增函数，则 a1 C当 a3 时，函数 f（x）恰有两个零点 D当 a3 时，函数 f（x）恰有两个极值点 12 （5
5、 分）已知椭圆 C：+1 的左、右两个焦点分别为 F1，F2，直线 ykx（k0）与 C 交于 A，B 两点，AEx 轴，垂足为 E，直线 BE 与 C 的另一个交点为 P，则下列结论正确的是（ ） A四边形 AF1BF2为平行四边形 BF1PF290 C直线 BE 的斜率为k DPAB90 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在题中的横线上把答案填在题中的横线上. 13 （5 分）曲线 f（x）exx 在点（0，f（0） ）处的切线方程为 14 （5 分）已知 （1，2，1）为平面 的一个法向量， （2，1）为直线 l
6、 的方向向量若 l，则 15 （5 分）已知椭圆 M：的左、右焦点分别为 F1，F2，抛物线 N：y22px 的焦点为 F2若 P 为 M 与 N 的一个公共点，且，则 M 的离心率为 16 （5 分） 九章算术 中， 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 在如图所示的鳖臑 PABC 中，PA平面 ABC，ACB90，CA4，PA2，D 为 AB 中点，E 为PAC 内的动点（含边界） ，且 PCDE当 E 在 AC 上时，AE ；点 E 的轨迹的长度为 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证
7、明过程或演算步骤. 17已知复数 z（2mi） （1i） （mR） （1）若 z 是纯虚数，求 m 的值； （2）若 在复平面上对应的点在第四象限，求 m 的取值范围 18已知椭圆 E 的中心为坐标原点 O，焦点在坐标轴上，且经过点，B（0，1） （1）求 E 的方程； （2）过点（1，0）作倾斜角为 45的直线 l，l 与 E 相交于 P，Q 两点，求OPQ 的面积 19已知函数 f（x）mx3mx23x+2 在 x3 处有极小值 （1）求实数 m 的值； （2）求 f（x）在4，4上的最大值和最小值 20如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，AB1，CD3，ADC45，AE 为梯形 A
8、BCD 的高，将ADE 沿 AE 折到PAE 的位置，使得 （1）求证：PE平面 ABCE； （2）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值 21在直角坐标系 xOy 中，点 F（1，0） ，D 为直线 l：x1 上的动点，过 D 作 l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点 M，记 M 的轨迹为 C （1）求 C 的方程； （2）若过 F 的直线与曲线 C 交于 P，Q 两点，直线 OP，OQ 与直线 x1 分别交于 A，B 两点，试判断以 AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由 22已知函数 f（x）axlnx（a0） （1）讨论 f（x）的单调性
9、； （2）证明： 2019-2020 学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的. 1 （5 分）已知复数 z，则|z|（ ） A B3 C1 D2i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解 【解答】解：z， |z| 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题
10、 2 （5 分）命题“0R，tan01”的否定是（ ） A0R，tan01 B0R，tan01 CR，tan1 DR，tan1 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求出 【解答】解：特称命题的否定为全称命题，故命题“0R，tan01”的否定是R，tan1， 故选：D 【点评】本题考查了特称命题与全称命题的关系，属于基础题 3 （5 分）双曲线 x21 的渐近线方程是（ ） Ayx Byx Cy Dy2x 【分析】由双曲线1（a，b0） ，可得渐近线方程 yx，求得双曲线的 a，b，即可得到所求渐近线方程 【解答】解：由双曲线1（a，b0） ， 可得渐近线方程 yx， 双曲线 x21 的 a
11、1，b2， 可得渐近线方程为 y2x 故选：D 【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题 4 （5 分）实数 a1，b1 是 a+b2 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】实数 a1，b1a+b2；反之不成立，例如 a2，b即可判断出结论 【解答】解：实数 a1，b1a+b2；反之不成立，例如 a2，b a1，b1 是 a+b2 的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5 （5 分）已知函数，则 f（x
12、）（ ） A B C D 【分析】根据题意，由导数的计算公式计算即可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）， 则 f（x）； 故选：C 【点评】本题考查导数的计算，涉及复合函数的导数，属于基础题 6 （5 分）一艘船的燃料费 y（单位：元/时）与船速 x（单位：km/h）的关系是若该船航行时其他费用为 540 元/时，则在 100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为（ ） A30km/h B C D60km/h 【分析】利用已知条件列出总费用的表达式，利用均值不等式转化求解即可 【解答】解：一艘船的燃料费 y（单位：元/时）与船速 x（单位：km/h）的关系是 若该船航行时其他费用
13、为540元/时， 则在100km的航程中， 航行的总费用： F （x） x2+100+， 因为 x2+100+1002800 当且仅当即 x30km/h 时，总费用最低 故选：A 【点评】 本题考查函数与方程的实际应用， 均值不等式的应用， 考查转化思想以及计算能力， 是中档题 7（5 分） 已知双曲线 E：的左顶点为 A， 右焦点为 F 若 B 为 E 的虚轴的一个端点， 且，则 F 的坐标为（ ） A B C D （4，0） 【分析】求出 A，F 的坐标，结合向量垂直的关系建立方程进行求解即可 【解答】解：双曲线 E：的左顶点为 A（a，0） ，右焦点为 F（c，0） ，点 B（0，b）
14、， 且，（a，b） （c，b）0，c， 即 acb20， 即 c2a2+ac，可得：c22c40，c+1， 得 F 的坐标为（，0） ， 故选：C 【点评】 本题主要考查双曲线离心率的计算， 根据向量垂直的关系建立方程进行求解是解决本题的关键 8 （5 分）已知定义在区间（2，2）上的函数 yf（x）的图象如图所示，若函数 f（x）是 f（x）的导函数，则不等式的解集为（ ） A （2，1） B （2，1）（1，1） C （1，2） D 【分析】结合导数与单调性的关系先求出导数为证和负的范围，进而可求不等式 【解答】解：结合导数与单调性关系可知，2x1，1x2 时，函数单调递减，此时 f（x）
15、0， 当1x1 时，函数单调递增，此时 f（x）0， 由不等式可得， （x+1）f（x）0， 解可得，1x1 或2x1， 故不等式的解集（2，1）（1，1） 故选：B 【点评】本题主要考查了利用导数与单调性的关系解不等式，属于基础试题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参
16、选学生会主席： 团员或班干部；体育成绩达标 若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为（ ） A是团员，且体育成绩达标 B是团员，且体育成绩不达标 C不是团员，且体育成绩达标 D不是团员，且体育成绩不达标 【分析】由题意可得，同时满足以下两个条件，即这两个条件缺一不可，问题得以解决 【解答】解：由题意可得，同时满足以下两个条件，即这两个条件缺一不可，故是团员，且体育成绩达标，或不是团员，且体育成绩达标 故选：AC 【点评】本题考查了合情推理的问题，属于基础题 10 （5 分） 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 A1D1和 C1D1的中点， 则下列结论正确的是 （
17、） AA1C1平面 CEF BB1D平面 CEF C D点 D 与点 B1到平面 CEF 的距离相等 【分析】A，由线面平行的判定定理可判断； B，反证法，假设 B1D平面 CEF，B1D平面 ACC1A1，平面 CEF平面 ACC1A1，与平面 CEF平面 ACC1A1C 相矛盾； C，由空间向量的线性运算可判断； D，用等体积法，分别求出三棱锥 B1CEF 和三棱锥 DCEF 的体积即可得解 【解答】解：如图所示， 对于 A，E，F 分别是 A1D1和 C1D1的中点，EFA1C1， EF平面 CEF，且 A1C1平面 CEF，A1C1平面 CEF，即 A 正确； 对于B， 若B1D平面C
18、EF， B1D平面ACC1A1， 平面CEF平面ACC1A1， 而平面CEF平面ACC1A1C，B1D 不可能与平面 CEF 垂直，即 B 错误； 对于 C，即 C 正确； 对于 D，设点 B1和点 D 到平面 CEF 的距离分别为 h1，h2，正方体的棱长为 1， 则； ； h1h2，即 D 错误； 故选：AC 【点评】本题考查了空间立体几何的综合问题，涉及线面位置关系、空间向量运算和点到平面的距离等知识点，使用了线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理、反证法和等体积法等，考查学生综合运用知识的能力，属于基础题 11 （5 分）已知函数 f（x）sinx+x3ax，则下列结论正确的是（ ）
19、Af（x）是奇函数 B若 f（x）是增函数，则 a1 C当 a3 时，函数 f（x）恰有两个零点 D当 a3 时，函数 f（x）恰有两个极值点 【分析】先对函数求导，然后结合导数可判断函数的单调性及极值，结合函数性质及零点判定定理对各选项进行分析即可判断 【解答】解：因为 f（x）sinx+x3ax， 则 f（x）sin（x）+（x）3a（x）sinxx3+axf（x） ，A 正确； 若 f（x）为增函数，则 f（x）cosx+3x2a0 恒成立， 故 acosx+3x2恒成立， 令 g（x）cosx+3x2，则可得 g（x）为偶函数，且在（0，+）上单调递增，在（，0）单调递减， 故当 x0
20、 时，g（x）取得最小值 g（0）1， 所以 ag（x）min1，B 正确； 当 a3 时，f（x）sinx+x3+3x 为奇函数，且 f（0）0， 当 x0 时，f（x）cosx+3x2+30 恒成立，即 f（x）在（0，+）上单调递增，根据奇函数的对称性可知函数在（，0）单调递增， 故 f（x）在 R 上单调递增，f（0）0，即只有一个零点，C 错误； a3 时，f（x）sinx+x33x 为奇函数，故先考虑 x0 时，函数极值存在情况， 则 f（x）cosx+3x23， 因为 f（x）6xsinx 单调递增，则 f（x）f（0）0， 故 f（x）单调递增，且 f（0）20，f（1）cos
21、10， 故存在 x0（0，1）使得 f（x0）0， 因此，当 0 xx0，f（x）0，函数单调递减，当 xx0时，f（x）0，函数单调递增， 故 xx0为函数在 x0 时的唯一的极小值，根据奇函数的对称性可知，当 x0 时，存在极大值，故 D正确 故选：ABD 【点评】本题综合考查了导数与函数性质及零点判定定理的应用，试题具有一定的综合性 12 （5 分）已知椭圆 C：+1 的左、右两个焦点分别为 F1，F2，直线 ykx（k0）与 C 交于 A，B 两点，AEx 轴，垂足为 E，直线 BE 与 C 的另一个交点为 P，则下列结论正确的是（ ） A四边形 AF1BF2为平行四边形 BF1PF2
22、90 C直线 BE 的斜率为k DPAB90 【分析】由椭圆的对称性可判断 A；由 bc，以 F1F2为直径的圆与椭圆相切于短轴的两个端点，可判断B；联立直线 ykx 和椭圆方程，结合直线的斜率公式可判断 C；求得直线 BE 的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，求得 P 的坐标，由向量的数量积的性质，计算可判断 D 【解答】解：直线 ykx（k0）与 C 交于 A，B 两点，由椭圆的对称性可得 O 为 AB 的中点，又 O 为F1F2的中点， 可得四边形 AF1BF2为平行四边形，故 A 正确； 由椭圆方程可得 a2，bc，以 F1F2为直径的圆与椭圆相切于短轴的两个端点，P 在圆外，可得F1
23、PF290， 故 B 正确； 由 ykx 与椭圆方程 x2+2y24 联立，可得 A（，） ，B（，） ， 即有 E（，0） ，kBEk，故 C 正确； 设直线 BE 的方程为 yk（x） ，联立椭圆方程 x2+2y24， 可得（1+）x2+40， 由 xP， 解 得 xP， 即 有 P （，） ， 可得（，） ，（，） ， 即有+0， 可得， 即PAB90， 故 D 错误 故选：ABC 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的性质，考查化简运算能力，属于难题 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分
24、，共 20 分分.把答案填在题中的横线上把答案填在题中的横线上. 13 （5 分）曲线 f（x）exx 在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y1 【分析】结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程 【解答】解：f（x）ex1， 则 kf（0）0，f（0）1， 故 f（x）exx 在点（0，f（0） ）处的切线方程 y1 故答案为：y1 【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于基础试题 14 （5 分）已知 （1，2，1）为平面 的一个法向量， （2，1）为直线 l 的方向向量若 l，则 【分析】由 l，可得 0，即可得出 【解答】解：l， 2+210， 可得 故答案为： 【点
25、评】本题考查了线面平行性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 15 （5 分）已知椭圆 M：的左、右焦点分别为 F1，F2，抛物线 N：y22px 的焦点为 F2若 P 为 M 与 N 的一个公共点，且，则 M 的离心率为 【分析】由题意画出图形，求出 cosPF1F2的值，再由椭圆定义求得|PF1|，|PF2|，再由余弦定理列式求解 【解答】解：如图， 由|PF1|+|PF2|2a， 解得， 椭圆右焦点为抛物线焦点，P 为 M 与 N 的一个公共点， cosPF1F2cosF1PG， 在PF1F2中，由余弦定理可得： ， 整理得：，即 e 故答案为： 【点评】本题考查椭圆
26、与抛物线的综合，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，由已知求得 cosPF1F2的值是关键，是中档题 16 （5 分） 九章算术 中， 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 在如图所示的鳖臑 PABC 中，PA平面 ABC，ACB90，CA4，PA2，D 为 AB 中点，E 为PAC 内的动点（含边界） ，且 PCDE当 E 在 AC 上时，AE 2 ；点 E 的轨迹的长度为 【分析】由题意画出图形，取 AC 中点 E，可证 DEPC，再过 E 作 EGPC，可证 PC平面 DEG，得到 E 的轨迹，求解三角形可得点 E 的轨迹的长度 【解答】解：如图， 取 AC 中点 E，连接
27、 DE，则 DEBC， ACB90，DEAC， 由 PA平面 ABC，得平面 PAC平面 ABC，而平面 PAC平面 ABCAC， DE平面 PAC，则 DEPC，此时 AEAC2； 过 E 作 EGPC，垂足为 G，则 PC平面 DEG，即 E 在线段 EG 上运动时，PCDE， 点 E 的轨迹为线段 EG 则 EGECsinPCA22 故答案为：2； 【点评】本题考查空间中点、线、面的位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明
28、、证明过程或演算步骤. 17已知复数 z（2mi） （1i） （mR） （1）若 z 是纯虚数，求 m 的值； （2）若 在复平面上对应的点在第四象限，求 m 的取值范围 【分析】 （1）把已知等式变形，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解； （2）由（1）求得 ，再由实部大于 0 且虚部小于 0 联立不等式组求解 【解答】解： （1）z（2mi） （1i）（2m）（2+m）i， z 是纯虚数， 得 m2； （2）由（1）知， 复数 在复平面上对应的点在第四象限， ，解得 m2， m 的取值范围为（，2） 【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 18已知
29、椭圆 E 的中心为坐标原点 O，焦点在坐标轴上，且经过点，B（0，1） （1）求 E 的方程； （2）过点（1，0）作倾斜角为 45的直线 l，l 与 E 相交于 P，Q 两点，求OPQ 的面积 【分析】 （1）由题意可得焦点在 x 轴上，设出椭圆方程，可得 a，b，进而得到椭圆方程； （2）设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，不妨设 y1y2，设出直线 l 的方程，联立椭圆方程，方法一、消去 x，求得 P，Q 的纵坐标，由三角形的面积公式可得所求； 方法二、消去 y，可得 P、Q 的横坐标，运用点到直线的距离公式、弦长公式和三角形的面积公式，计算可得所求值 【解答】解： （1）依题意
30、，A，B 分别为椭圆 E 的右顶点、上顶点，由1，可得 E 的焦点在 x 轴上 设 E 的方程为，则，b1， 所以 E 的方程为 （2）方法一、设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，不妨设 y1y2， 依题意，直线 l 的方程为 yx1 由，得 3y2+2y10， 解得，y21， 记点 F（1，0） ，则 SOPQSOFP+SOFQ 所以OPQ 的面积为 （2）方法二、设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，不妨设 x1x2， 依题意，直线 l 的方程为 yx1 由，得 3x24x0， 解得 x10， 所以， 原点 O 到直线 l 的距离， 所以 所以OPQ 的面积为 【点评】本题考
31、查椭圆的方程和运用，考查直线方程和椭圆方程联立求交点，注意消元的方法，考查三角形的面积的求法，化简运算能力，属于中档题 19已知函数 f（x）mx3mx23x+2 在 x3 处有极小值 （1）求实数 m 的值； （2）求 f（x）在4，4上的最大值和最小值 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合极值存在条件即可求解； （2）结合导数可判断函数的单调性，进而可求最值 【解答】解： （1）依题意，f（x）mx22mx3， 因为 f（x）在 x3 处有极小值， 所以 f（3）3m30， 解得 m1 经检验，m1 符合题意，故 m 的值为 1 （2）由（1）得 f（x）x22x3，令 f（x）0，得
32、x3 或 x1 当 x 变化时，f（x） ，f（x）的变化情况如下表： x 4 （4，1） 1 （1，3） 3 （3，4） 4 f（x） + 0 0 + f（x） 7 由上表可知，f（x）的最小值为；f（x）的最大值为 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值存在条件的应用及函数最值的求解，属于基础试题 20如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，AB1，CD3，ADC45，AE 为梯形 ABCD 的高，将ADE 沿 AE 折到PAE 的位置，使得 （1）求证：PE平面 ABCE； （2）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值 【分析】 （1）过点 B 作 BFCD，垂足为
33、 F，连接 BE，AED 为等腰直角三角形，AEDE1，由 AEDE，AEAB，得，推导出 PEEB，由此能证明 PE平面 ABCE （2）以 E 为原点，分别以，的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，由此能求出直线 PA 与平面 PBC 所成角 【解答】解： （1）证明：过点 B 作 BFCD，垂足为 F， 则 EFAB1， 连接 BE，依题意，AED 为等腰直角三角形， 故 AEDE1， 又 AEDE，故 AEAB，所以， 在四棱锥 PABCE 中，因为，PEDE1， 所以 PE2+EB2PB2，故 PEEB， 因为 PEEA，EAEBE，且 EA，EB平面 ABCE， 所
34、以 PE平面 ABCE （2）解：由（1）知，PE平面 ABCE，所以 PEEA，PEEC，又 AEEC， 所以 EA，EC，EP 两两垂直 以 E 为原点，分别以，的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则各点坐标为：E（0，0，0） ，P（0，0，1） ，A（1，0，0） ，B（1，1，0） ，C（0，2，0） ， ， 设平面 PBC 的法向量为， 则，故，取 y1，故 所以 cos 设直线 PA 与平面 PBC 所成角为 ，则 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题
35、21在直角坐标系 xOy 中，点 F（1，0） ，D 为直线 l：x1 上的动点，过 D 作 l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点 M，记 M 的轨迹为 C （1）求 C 的方程； （2）若过 F 的直线与曲线 C 交于 P，Q 两点，直线 OP，OQ 与直线 x1 分别交于 A，B 两点，试判断以 AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由 【分析】 （1）结合抛物线的定义可得点 M 的轨迹是以 F（1，0）为焦点，直线 x1 为准线的抛物线，进而得出点 M 的轨迹方程 y24x （2）直线 PQ 的方程为 xmy+1，P（x1，y1） ，Q（x2，y2
36、） ， 联立得 y24my40，y1+y24m，y1y24，直线 OP，OQ 的方程为 y，得 A（1，） ，B（1，） ，AB 中点 T 的坐标（1，2m） ，AB 为直径的圆的方程为（x1）2+（y+2m）24m2+4即（x1）2+y2+4my4，令 y0，得 x3 或 x1圆经过定点（1，0）和（3，0） 【解答】解： （1）连接 MF，则|MD|MF|， 则根据抛物线的定义， 点 M 的轨迹是以 F（1，0）为焦点，直线 x1 为准线的抛物线 则点 M 的轨迹的方程为 y24x （2）设直线 PQ 的方程为 xmy+1，P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 联立 整理得：y24my
37、40， 16m2+160， y1+y24m，y1y24， 直线 OP 的方程为， 同理：直线 OQ 的方程为， 令 x1 得， 设 AB 中点 T 的坐标为（xT，yT） ， 则 xT1， 所以 T（1，2m） 圆的半径为 所以 AB 为直径的圆的方程为（x1）2+（y+2m）24m2+4 展开可得（x1）2+y2+4my4， （x1）2+y2+4my4， 令 y0，可得（x1）24，解得 x3 或 x1 所以以 AB 为直径的圆经过定点（1，0）和（3，0） 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题 22已知函数 f（x）axlnx（a0） （1）讨论 f（x）的单调性； （2）证
38、明： 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系判断导数的符号即可； （2）法一：结合单调性可求 f（x）的最大值，然后结合函数与最大值关系可求； 法二：构造函数，g（x）ex1+xlnx，转化为证明 g（c）0 成立，问题结合导数与单调性的关系及函数的零点判定定理可证 【解答】解：法一： （1）依题意，f（x）的定义域为（0，+） ，f（x）a（lnx+1） ， 当时，lnx+10；当时，lnx+10 当 a0 时，若，则 f（x）0；若，则 f（x）0 所以 f（x）在上单调递减，在上单调递增 当 a0 时，若，则 f（x）0；若，则 f（x）0 所以 f（x）在上单调递增，
39、在上单调递减 综上，当 a0 时，f（x）在上单调递减，在上单调递增； 当 a0 时，f（x）在上单调递增，在上单调递减 （2）由（1）知，当 a1 时，f（x）xlnx 在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故当 x0 时， 又当 x0 时， 所以当 x0 时，故 ex1+xlnx0， 所以 解法二： （2）令 g（x）ex1+xlnx，则 g（x）ex1+lnx+1， 令 h（x）ex1+lnx+1，则 h（x）为增函数，且， 所以 h（x）有唯一的零点 x0， 所以当 0 xx0时，g（x）0，g（x）为减函数；当 xx0时，g（x）为增函数 所以 由（1）知，当 a1 时，f（x）xlnx 在上为减函数，在上为增函数， 故，即， 所以， 所以 ex1+xlnx0，故 【点评】本题综合考查了导数的综合应用及函数的性质，函数的零点判定定理的应用，属于难题
