1、2019-2020 学年广东省茂名市高二（上）期末数学试卷学年广东省茂名市高二（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 12 小题，小题，60 分）分） 1 （5 分）已知向量及则等于（ ） A （3，1，2） B （5，5，2） C （3，1，2） D （5，5，2） 2 （5 分）命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为（ ） A对任意 xR，都有 x20 B不存在 xR，都有 x20 C存在 x0R，使得 x020 D存在 x0R，使得 x020 3 （5 分）设集合 M1，2，Na2，则“a1”是“NM”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件
2、C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 4 （5 分）双曲线y21 的焦点坐标是（ ） A （，0） ， （，0） B （2，0） ， （2，0） C （0，） ， （0，） D （0，2） ， （0，2） 5 （5 分）椭圆+1 的离心率是（ ） A B C D 6（5 分） 已知向量， 若， 则 x 的值为 （ ） A2 B2 C3 D3 7 （5 分）椭圆和椭圆（0k9）有（ ） A等长的长轴 B相等的焦距 C相等的离心率 D等长的短轴 8 （5 分）过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P（x1，y1） 、Q（x2，y2）两点，如果 x1+x26，则|PQ|（ ） A9 B
3、8 C7 D6 9 （5 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点为 F1、F2，离心率为，过 F2的直线 l 交C 于 A、B 两点，若AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为（ ） A+1 B+y21 C+1 D+1 10 （5 分）已知椭圆以及椭圆内一点 P（4，2） ，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A B C2 D2 11 （5 分）若点 O 和点 F 分别为椭圆+1 的中心和左焦点， 点 P 为椭圆上的任意一点， 则的最大值为（ ） A2 B3 C6 D8 12 （5 分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C：x2+y21+|x|y 就是其中之一（如图）
4、给出下列三个结论： 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ； 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过； 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3 其中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 4 小题，小题，20 分）分） 13 （5 分）抛物线 x24y 的准线方程为 14 （5 分）已知椭圆焦点在 x 轴上，且 a4，c2，则椭圆方程为 15 （5 分）设双曲线 C 经过点（2，2） ，且与x21 具有相同渐近线，则 C 的方程为 ；渐近线方程为 16 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的左、右
5、焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若，0，则 C 的离心率为 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17 （10 分）求符合下列要求的曲线的标准方程： （1）已知椭圆的焦点在 x 轴，且长轴长为 12，离心率为； （2）已知双曲线经过点， 18 （12 分）已知向量， （1）求； （2）若，求 m，n； （3）求 cos 19 （12 分）直线 l：ykx1，双曲线 C： （1）当 k1 时，直线 l 与双曲线 C 有两个交点 A、B，求|AB|； （2）当 k 取何值时，直线 l 与双曲线 C 没有公共交点 20 （12 分）如图，长方体
6、 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1 （1）证明：BE平面 EB1C1； （2）若 AEA1E，求二面角 BECC1的正弦值 21 （12 分）已知点 A（0，2） ，椭圆 E：+1（a0，b0）的离心率为，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为，O 是坐标原点 （1）求 E 的方程； （2）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程 22 （12 分）已知曲线上的点到点 F（0，1）的距离比它到直线 y3 的距离小 2 （）求曲线的方程； （）曲线在点 P 处的切线 l 与 x
7、轴交于点 A直线 y3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M，N，以 MN为直径作圆 C， 过点 A 作圆 C 的切线， 切点为 B， 试探究： 当点 P 在曲线上运动 （点 P 与原点不重合）时，线段 AB 的长度是否发生变化？证明你的结论 2019-2020 学年广东省茂名市高二（上）期末数学试卷学年广东省茂名市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 12 小题，小题，60 分）分） 1 （5 分）已知向量及则等于（ ） A （3，1，2） B （5，5，2） C （3，1，2） D （5，5，2） 【分析】根据
8、空间向量的坐标运算，求和即可 【解答】解：由向量， 所以（3，1，2） 故选：A 【点评】本题考查了空间向量的坐标运算问题，是基础题 2 （5 分）命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为（ ） A对任意 xR，都有 x20 B不存在 xR，都有 x20 C存在 x0R，使得 x020 D存在 x0R，使得 x020 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为存在 x0R，使得 x020 故选：D 【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查 3 （5
9、 分）设集合 M1，2，Na2，则“a1”是“NM”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】先由 a1 判断是否能推出“NM” ；再由“NM”判断是否能推出“a1” ，利用充要条件的定义得到结论 【解答】解：当 a1 时，M1，2，N1有 NM 当 NM 时，a21 或 a22 有 所以“a1”是“NM”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的条件问题 4 （5 分）双曲线y21 的焦点坐标是（ ） A （，0） ， （，0） B （2，0） ， （2，0） C （0，） ， （0，） D （
10、0，2） ， （0，2） 【分析】根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在 x 轴上，由平方关系算出 c2，即可得到双曲线的焦点坐标 【解答】解：双曲线方程可得双曲线的焦点在 x 轴上，且 a23，b21， 由此可得 c2， 该双曲线的焦点坐标为（2，0） 故选：B 【点评】 本题考查双曲线焦点坐标， 着重考查了双曲线的标准方程和焦点坐标求法等知识， 属于基础题 5 （5 分）椭圆+1 的离心率是（ ） A B C D 【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可 【解答】解：椭圆+1，可得 a3，b2，则 c， 所以椭圆的离心率为： 故选：B 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力 6（5
11、 分） 已知向量， 若， 则 x 的值为 （ ） A2 B2 C3 D3 【分析】根据空间向量的坐标运算与数量积运算，列方程求出 x 的值 【解答】解：因为向量， 所以 （2，3，1） ； 又， 所以 （ ）0， 即2（2）+3x+210， 解得 x2 故选：A 【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题 7 （5 分）椭圆和椭圆（0k9）有（ ） A等长的长轴 B相等的焦距 C相等的离心率 D等长的短轴 【分析】分别求出椭圆 C1和椭圆 C2的长轴，焦距，离心率，短轴，由此能求出结果 【解答】解：椭圆 C1：+1 的长轴 2a10，焦距 2c8， 离心率 e，短轴 2b6
12、， 椭圆 C2：+1（0k9）的长轴 2a2， 焦距 2c8， 离心率 e，短轴 2b2， 椭圆 C1：+1 和椭圆 C2：+1（0k9）有等长的焦距 故选：B 【点评】本题考查椭圆的性质的应用，是基础题，解题时要认真审题 8 （5 分）过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P（x1，y1） 、Q（x2，y2）两点，如果 x1+x26，则|PQ|（ ） A9 B8 C7 D6 【分析】 根据抛物线方程， 算出焦点为 F （1， 0） ，准线方程为 x1 利用抛物线的定义， 证出|PF|+|QF|（x1+x2）+2，结合 PQ 经过焦点 F 且 x1+x26，即可得到|PQ|PF|+
13、|QF|8 【解答】解：由抛物线方程为 y24x，可得 2p4，1， 抛物线的焦点为 F（1，0） ，准线方程为 x1 根据抛物线的定义，得|PF|x1+x1+1，|QF|x2+x2+1， |PF|+|QF|（x1+1）+（x2+1）（x1+x2）+2， 又PQ 经过焦点 F，且 x1+x26， |PQ|PF|+|QF|（x1+x2）+26+28 故选：B 【点评】本题经过抛物线的焦点的弦 PQ，在已知 P、Q 横坐标之和的情况下求 PQ 的长着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，属于基础题 9 （5 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点为 F1、F2，离心率为，过 F2的直线 l
14、交C 于 A、B 两点，若AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为（ ） A+1 B+y21 C+1 D+1 【分析】利用AF1B 的周长为 4，求出 a，根据离心率为，可得 c1，求出 b，即可得出椭圆的方程 【解答】解：AF1B 的周长为 4， AF1B 的周长|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|2a+2a4a， 4a4， a， 离心率为， ，c1， b， 椭圆 C 的方程为+1 故选：A 【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题 10 （5 分）已知椭圆以及椭圆内一点 P（4，2） ，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A B
15、 C2 D2 【分析】利用中点坐标公式、斜率计算公式、 “点差法”即可得出 【解答】解：设以点 P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，斜率为 k 则，两式相减得， 又 x1+x28，y1+y24， 代入得，解得 k 故选：B 【点评】熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、 “点差法”是解题的关键 11 （5 分）若点 O 和点 F 分别为椭圆+1 的中心和左焦点， 点 P 为椭圆上的任意一点， 则的最大值为（ ） A2 B3 C6 D8 【分析】先求出左焦点坐标 F，设 P（x0，y0） ，根据 P（x0，y0）在椭圆上可得到 x0、y0的关系式，表示出向
16、量、，根据数量积的运算将 x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案 【解答】解：由题意，F（1，0） ，设点 P（x0，y0） ，则有，解得， 因为， 所以， 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x02， 因为2x02，所以当 x02 时，取得最大值， 故选：C 【点评】 本题考查椭圆的方程、 几何性质、 平面向量的数量积的坐标运算、 二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力 12 （5 分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C：x2+y21+|x|y 就是其中之一（如图） 给出下列三个结论： 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即
17、横、纵坐标均为整数的点） ； 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过； 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3 其中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】将 x 换成x 方程不变，所以图形关于 y 轴对称，根据对称性讨论 y 轴右边的图形可得 【解答】解：将 x 换成x 方程不变，所以图形关于 y 轴对称， 当 x0 时，代入得 y21，y1，即曲线经过（0，1） ， （0，1） ； 当 x0 时，方程变为 y2xy+x210，所以x24（x21）0，解得 x（0， 所以 x 只能取整数 1，当 x1 时，y2y0，解得 y0 或 y1，即曲线经过（1，0） ， （1，
18、1） ， 根据对称性可得曲线还经过（1，0） ， （1，1） ， 故曲线一共经过 6 个整点，故正确 当 x0 时，由 x2+y21+xy 得 x2+y21xy， （当 xy 时取等） ， x2+y22，即曲线 C 上 y 轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过；故正确 在 x 轴上图形面积大于矩形面积122， x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积1，因此曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 2+13，故错误 故选：C 【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 4 小题，小题
19、，20 分）分） 13 （5 分）抛物线 x24y 的准线方程为 y1 【分析】由抛物线 x22py（p0）的准线方程为 y即可求得抛物线 x24y 的准线方程 【解答】解：抛物线方程为 x24y， 其准线方程为：y1 故答案为：y1 【点评】本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题 14 （5 分）已知椭圆焦点在 x 轴上，且 a4，c2，则椭圆方程为 +1 【分析】由 a，c 的值，再由 a，b，c 之间的关系求出 b，再由焦点在 x 轴上可得椭圆的方程 【解答】解：依题意 a216，b2a2c216412， 又焦点在 x 轴上， 故所求的椭圆方程为， 故答案为：+1 【
20、点评】本题考查求椭圆的性质求椭圆的方程属于基础题 15 （5 分）设双曲线 C 经过点（2，2） ，且与x21 具有相同渐近线，则 C 的方程为 ；渐近线方程为 y2x 【分析】利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论 【解答】解：与x21 具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2m， （m0） ， 双曲线 C 经过点（2，2） ， m， 即双曲线方程为x23，即， 对应的渐近线方程为 y2x， 故答案为：，y2x 【点评】本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础 16 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1
21、，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若，0，则 C 的离心率为 2 【分析】由题意画出图形，结合已知可得 OBF1Oc，设 B（x1，y1） ，A（x2，y2） ，由点 B 在渐近线 y上，求得 B 点坐标，再由 A 为 F1B 的中点，得到 A 点坐标，把 A 代入渐近线 y，即可求得C 的离心率 【解答】解：如图， ，A 为 F1B 的中点，且 O 为 F1F2的中点， AO 为F1F2B 的中位线， 又，F1BF2B，则 OBF1Oc 设 B（x1，y1） ，A（x2，y2） ， 点 B 在渐近线 y上， ，得 又A 为 F1B 的中点， A 在渐近线 y上，
22、 ，得 c2a，则双曲线的离心率 e 故答案为：2 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17 （10 分）求符合下列要求的曲线的标准方程： （1）已知椭圆的焦点在 x 轴，且长轴长为 12，离心率为； （2）已知双曲线经过点， 【分析】 （1）由题意设椭圆的标准方程，由长轴长可得 a 的值，再由离心率求出 c 的值，进而求出 b 的值，写出椭圆的方程； （2）设过两点的双曲线的方程，将两点的坐标代入求出双曲线的方程 【解答】解： （1）由已知条件可设所求的椭圆标准方程为（其中 ab0） ， 则 2a
23、12，a6， 且离心率为，c3， b2a2c2623227， 故所求的椭圆的标准方程为； （2）设所求的双曲线方程为 mx2+ny21， 由题意可得方程组，解之得， 故所求的双曲线标准方程为 【点评】本题考查求椭圆，双曲线的方程的方法，属于基础题 18 （12 分）已知向量， （1）求； （2）若，求 m，n； （3）求 cos 【分析】根据空间向量的坐标运算求出两向量的差、向量平行和两向量的夹角余弦值 【解答】解： （1）因为， 所以 （14，2+2，24）（3，4，6） ； （2）由， 当时， 解得 m6，n6； （3）因为， 所以， ， 所以 cos ， 【点评】本题考查了利用空间向量的
24、坐标运算求两向量的差、向量平行和夹角余弦值问题，是基础题 19 （12 分）直线 l：ykx1，双曲线 C： （1）当 k1 时，直线 l 与双曲线 C 有两个交点 A、B，求|AB|； （2）当 k 取何值时，直线 l 与双曲线 C 没有公共交点 【分析】 （1）当 k1 时，直线 l：yx1 代入，利用韦达定理以及弦长公式，求解即可 （2）由 ykx1 代入可得，化简并整理可得（4k2）x2+2kx50，直线l 与双曲线 C 没有公共交点，列出不等式组求解即可 【解答】解： （1）当 k1 时，直线 l：yx1 代入，可得， 化简整理得 3x2+2x50，所以， 所以 （2）由 ykx1
25、代入可得， 化简并整理可得（4k2）x2+2kx50， 若直线 l 与双曲线 C 没有公共交点，则有不等式组， 解之得或， 故当时直线 l 与双曲线 C 没有公共交点 【点评】本题考查双曲线的简单性质，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力 20 （12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1 （1）证明：BE平面 EB1C1； （2）若 AEA1E，求二面角 BECC1的正弦值 【分析】 （1）推导出 B1C1BE，BEEC1，由此能证明 BE平面 EB1C1 （2）以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直
26、角坐标系，利用向量法能求出二面角 BECC1的正弦值 【解答】证明： （1）长方体 ABCDA1B1C1D1中，B1C1平面 ABA1B1， B1C1BE，BEEC1， B1C1EC1C1，BE平面 EB1C1 解： （2）以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设 AEA1E1，BE平面 EB1C1，BEEB1，AB1， 则 E（1，1，1） ，A（1，1，0） ，B1（0，1，2） ，C1（0，0，2） ，C（0，0，0） ， BCEB1，EB1面 EBC， 故取平面 EBC 的法向量为 （1，0，1） ， 设平面 ECC1 的法向量 （x，y，z） ， 由，得，取 x1，得
27、（1，1，0） ， cos， 二面角 BECC1的正弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题 21 （12 分）已知点 A（0，2） ，椭圆 E：+1（a0，b0）的离心率为，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为，O 是坐标原点 （1）求 E 的方程； （2）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程 【分析】 （1）设 F（c，0） ，由已知得，求得 c，再由离心率求得 a，结合隐含条件求得 b，则椭圆方程可求； （2）由
28、题意可知，当 lx 轴时，不合题意，设 l：ykx2，联立直线方程与椭圆方程，求出 P、Q 的横坐标， 代入弦长公式求得|PQ|， 再由点到直线的距离公式求得 O 到 PQ 的距离， 代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求最值，同时求得当OPQ 的面积最大时直线 l 的方程 【解答】解： （1）设 F（c，0） ，由条件知，得，又， a2，b2a2c21， 故 E 的方程为：； （2）当 lx 轴时，不合题意， 故设 l：ykx2，p（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 联立，得（1+4k2）x216kx+120 当16（4k23）0，即时， ， 从而 又点 O 到直线 PQ 的距离 O
29、PQ 的面积为， 设， 则，当且仅当，即 t2 时取“” ，即时等号成立，且满足0， 当OPQ 的面积最大时，l 的方程为或 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及基本不等式求最值，属中档题 22 （12 分）已知曲线上的点到点 F（0，1）的距离比它到直线 y3 的距离小 2 （）求曲线的方程； （）曲线在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A直线 y3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M，N，以 MN为直径作圆 C， 过点 A 作圆 C 的切线， 切点为 B， 试探究： 当点 P 在曲线上运动 （点 P 与原点不重合）时，线段 AB 的长度是
30、否发生变化？证明你的结论 【分析】 （）设 S（x，y）曲线上的任意一点，利用抛物线的定义，判断 S 满足配额我想的定义，即可求曲线的方程； （）通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出 A、M 的坐标，N 的坐标，以 MN 为直径作圆 C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点 P 在曲线上运动（点 P 与原点不重合）时，线段 AB的长度不变 【解答】解： （）设 S（x，y）曲线上的任意一点， 由题意可得：点 S 到 F（0，1）的距离与它到直线 y1 的距离相等， 曲线是以 F 为焦点直线 y1 为准线的抛物线， 曲线的方程为：x24y （）当点 P 在曲线上运动（点 P 与原点不重合）时，线段 AB 的长度不变， 证明如下：由（）可知抛物线的方程为 y， 设 P（x0，y0） （x00）则 y0， 由 y得切线 l 的斜率 k 切线 l 的方程为：，即 由得， 由得， 又 N（0，3） ， 所 以 圆 心C （）， 半 径r 点 P 在曲线上运动（点 P 与原点不重合）时，线段 AB 的长度不变 【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程函数的导数等指数的应用，难度较大
