1、2019-2020 学年山东省临沂市罗庄区高二（上）期末数学试卷学年山东省临沂市罗庄区高二（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的. 1 （5 分）已知an是等比数列，且 an0，a2a4+2a3a5+a4a625，那么 a3+a5的值等于（ ） A5 B10 C15 D20 2 （5 分）已知：1b0，a0，那么下列不等式成立的是（ ） Aaabab2 Bab2aba Cabaab2 Dabab2a 3
2、（5 分）已知双曲线1（a0，b0）的焦距为 2，且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y0垂直，则双曲线的方程为（ ） Ay21 Bx21 C1 D1 4 （5 分）条件 p：|xm|2，条件 q：1xn，若 p 是 q 的充分条件，则 n 的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 5 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是上底棱的中点，AB1与平面 B1D1EF 所成的角的大小是（ ） A30 B45 C60 D90 6 （5 分）若正实数 a，b 满足 a+b1，则下列说法正确的是（ ） Aab 有最小值 B+有最小值 C+有最小值 4 Da2+b2有最小值 7
3、 （5 分）我国古代数典籍九章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题： “今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢 （ ） A3 B4 C5 D6 8 （5 分）已知定义域为 R 的奇函数 yf（x）的导函数为 yf（x） ，当 x0 时，f（x）+0，若 a，则 a，b，c 的大小关系正确的是（ ） Aabc Bbca Cacb Dcab 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
4、全部选对得全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有错选的得分，有错选的得 0 分分. 9 （5 分）以下说法正确的有（ ） A实数 xy0 是成立的充要条件 Ba2+b22ab 对 a，bR 恒成立 C命题“xR，使得 x2+x+10”的否定是“xR，使得 x2+x+10” D若，则 x+2y 的最小值是 8 10 （5 分）如图，在边长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 BC 的中点，点 P 在底面 ABCD 上移动，且满足 B1PD1E，下列结论正确的是（ ） AB1P 的长度的最大值为 3 BB1P 的长度的最小值为 CB1P 的长度的最大值为 DB1P
5、 的长度的最小值为 11 （5 分）已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M 在双曲线的左支上，若 2|MF2|5|MF1|，则双曲线的离心率可以是（ ） A3 B C2 D 12 （5 分）已知函数，若函数 F（x）f（x）ax 有 4 个零点，则 a 的可能的值为（ ） A B C D 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 a11，S3，则 S4 14（5分） 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1， 若动点P在线段BD1上运动， 则的取值范围是 15 （5 分
6、）已知函数，则函数 f（x）的极大值为 16 （5 分）已知 F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，（其中 O为坐标原点） ，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是 ，当ABO 与AFO 面积之和最小值时直线 AB 与 x 轴交点坐标为 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程分，解答应写出文字说明、证明过程 17 （10 分）设 Sn为数列an的前 n 项和，已知 a12，对任意 nN*，都有 2Sn（n+1）an （）求数列an的通项公式； （）若数列的前 n 项和为 Tn，求证：Tn1 1
7、8 （12 分）在如图所示的几何体中，平面 PAD平面 ABCD，PAD 为等腰直角三角形，APD90，四边形 ABCD 为直角梯形，ABDC，ABAD，ABAD2，PQDC，PQDC1 （1）求证：PD平面 QBC； （2）求二面角 QBCA 的余弦值 19 （12 分）已知函数在点（1，f（1） ）处的切线方程是 ybx+5 （1）求实数 a，b 的值； （2）求函数 f（x）在上的最大值和最小值（其中 e 是自然对数的底数） 20 （12 分）国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有 100 名技术人员， 年人均投入 m 万元， 现把原有技术人员分成两部分
8、： 技术人员和研发人员， 其中技术人员 x 名 （xN*且 x45， 60） ， 调整后研发人员的年人均投入增加 2x%， 技术人员的年人均投入调整为万元 （1）要使这 100 x 名研发人员的年总投入恰好与调整前 100 名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数； （2）是否存在这样的实数 a，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出 a 的范围，若不存在，说明理由 21 （12 分）设椭圆的左、右焦点 F1，F2，左顶点为 A，左焦点到左顶点的距离为 1，离心率为 （）求椭圆 M 的方程； （） 过点 A 做斜
9、率为 k 的直线与椭圆 M 交于另一点 B， 连接 BF2并延长交椭圆 M 于点 C， 若 F1CAB，求 k 的值 22 （12 分）已知函数 f（x）ex2kx1，g（x）2kln（x+1）x（kR） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若不等式 f（x）+g（x）0 对任意 x0 恒成立，求实数 k 的取值范围 2019-2020 学年山东省临沂市罗庄区高二（上）期末数学试卷学年山东省临沂市罗庄区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四
10、个选项中，只有一项是符合在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的. 1 （5 分）已知an是等比数列，且 an0，a2a4+2a3a5+a4a625，那么 a3+a5的值等于（ ） A5 B10 C15 D20 【分析】先由等比数列的性质求出 a2a4a32，a4a6a52，再将 a2a4+2a3a5+a4a625 转化为（a3+a5）225 求解 【解答】解：由等比数列的性质得：a2a4a32，a4a6a52 a2a4+2a3a5+a4a625 可化为 （a3+a5）225 又an0 a3+a55 故选：A 【点评】本题主要考查等比数列性质和解方程 2 （5 分）已知：1
11、b0，a0，那么下列不等式成立的是（ ） Aaabab2 Bab2aba Cabaab2 Dabab2a 【分析】利用不等式的性质和“作差法”即可得出 【解答】解：1b0，a0，ab0，b01b21 abab2ab（1b）0，ab2aa（b21）0 abab2a 故选：D 【点评】熟练掌握不等式的性质和“作差法”是解题的关键 3 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的焦距为 2，且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y0垂直，则双曲线的方程为（ ） Ay21 Bx21 C1 D1 【分析】利用双曲线1（a0，b0）的焦距为 2，且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y0垂直，求出几何量 a，b，c，即
12、可求出双曲线的方程 【解答】解：双曲线1（a0，b0）的焦距为 2， c， 双曲线的一条渐近线与直线 2x+y0 垂直， ， a2b， c2a2+b2， a2，b1， 双曲线的方程为1 故选：A 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键 4 （5 分）条件 p：|xm|2，条件 q：1xn，若 p 是 q 的充分条件，则 n 的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】条件 p：|xm|2，可得：m2xm+2条件 q：1xn，根据 p 是 q 的充分条件，则1m2，m+2n，即可得出 【解答】解：条件 p：|xm|2，可得：m2xm+2条件 q：
13、1xn， 若 p 是 q 的充分条件，则1m2，m+2n， m1，n3 则 n 的最小值为 3 故选：C 【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是上底棱的中点，AB1与平面 B1D1EF 所成的角的大小是（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法进行求解 【解答】解：以 D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面 D1B1E 的法向量为，则，可取， 又， 设 AB1与平面 B1D1
14、EF 所成的角为 ，则， 故 AB1与平面 B1D1EF 所成的角为 故选：B 【点评】本题考查线面角的求解，可以用向量法进行处理，属于基础题 6 （5 分）若正实数 a，b 满足 a+b1，则下列说法正确的是（ ） Aab 有最小值 B+有最小值 C+有最小值 4 Da2+b2有最小值 【分析】根据 a，b 都是正数，以及 a+b1 即可得出，从而判断选项 A 错误，根据基本不等式即可排除选项 B，D，从而只能选 C 【解答】解：a0，b0，且 a+b1； ； ； ab 有最大值，选项 A 错误； ，的最小值不是，B 错误； ，有最小值 4，C 正确； a2+b22ab，a2+b2的最小值不
15、是，D 错误 故选：C 【点评】考查基本不等式的应用，以及不等式的性质 7 （5 分）我国古代数典籍九章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题： “今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢 （ ） A3 B4 C5 D6 【分析】利用等比数列的求和公式即可得出 【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， 前 n 天打洞之和为2n1， 同理，小老鼠每天打洞的距离2， 2n1+210， 解得 n（3，4） ，取 n4 即两鼠在第 4 天相逢 故选：B 【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考
16、查了推理能力与计算能力，属于中档题 8 （5 分）已知定义域为 R 的奇函数 yf（x）的导函数为 yf（x） ，当 x0 时，f（x）+0，若 a，则 a，b，c 的大小关系正确的是（ ） Aabc Bbca Cacb Dcab 【分析】利用条件构造函数 g（x）xf（x） ，然后利用导数研究函数 g（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小 【解答】解：根据题意，设 g（x）xf（x） ， 若 yf（x）为奇函数，则 g（x）（x）f（x）xf（x）g（x） ，则函数 g（x）为偶函数， 当 x0 时，g（x）（x）f（x）+xf（x）f（x）+xf（x）xf（x）+， 又由当 x0 时，f
17、（x）+0，则 g（x）0，则函数 g（x）在（0，+）上为减函数， af（）g（） ，b2f（2）g（2）g（2） ，c（ln） f（ln）g（ln）g（ln3） ， 且ln32， 则有 bca； 故选：B 【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数奇偶性的性质以及应用，关键是构造新函数 g（x）xf（x） ，属于综合题 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有错
18、选的得分，有错选的得 0 分分. 9 （5 分）以下说法正确的有（ ） A实数 xy0 是成立的充要条件 Ba2+b22ab 对 a，bR 恒成立 C命题“xR，使得 x2+x+10”的否定是“xR，使得 x2+x+10” D若，则 x+2y 的最小值是 8 【分析】根据不等式的性质可判断 A；根据完全平方差公式可判断 B；根据全称命题与存在性命题的否定可判断 C；利用基本不等式的性质可判断 D 【解答】解：对于 A，若，则 xy0 或 xy0，即 A 错误； 对于 B，因为（ab）20，所以 a2+b22ab 对 a，bR 恒成立，即 B 正确； 对于 C，根据存在性命题的否定可知 C 正确
19、； 对于 D，x+2y（x+2y），当且仅当，且 x0，y0 时，等号成立，所以 D 错误 故选：BC 【点评】本题考查命题的真假判断，涉及不等式的性质、全称命题与存在性命题的否定、基本不等式等知识点，属于基础题 10 （5 分）如图，在边长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 BC 的中点，点 P 在底面 ABCD 上移动，且满足 B1PD1E，下列结论正确的是（ ） AB1P 的长度的最大值为 3 BB1P 的长度的最小值为 CB1P 的长度的最大值为 DB1P 的长度的最小值为 【分析】以 D 为原点，DA、DC、DD1为 x，y，z 轴建立直角坐标系，设 P（a，b，0
20、） ，利用 B1PD1E，得知 a+2b20设 CD 的中点为 F，找三个特殊点，当 P 分别与 A、F 和 AF 的中点重合时，求出线段 B1P 的长度，比较大小即可得 B1P 的最大值；当 B1PAF 时，线段 B1P 的长度最小 【解答】解：以 D 为原点，DA、DC、DD1为 x，y，z 轴建立直角坐标系，设 P（a，b，0） ， D1（0，0，2） ，E（1，2，0） ，B1（2，2，2） ，A（2，0，0） ， 则， B1PD1E，即 a+2b20， 点 P 的轨迹是一条线段， 当 a0 时，b1；当 b0 时，a2， 设 CD 的中点为 F，则点 P 在线段 AF 上，F（0，1
21、，0） ， 当 A 与 P 重合时，线段 B1P 的长度为； 当 P 与 F 重合时，P（0，1，0） ，线段 B1P 的长度为； 当 P 为线段 AF 的中点时， 线段 B1P 的长度为； 所以线段 B1P 的长度的最大值为 3 当 B1PAF 时，线段 B1P 的长度最小，此时， 由解得：， 所以，线段 B1P 的长度为， 故选：AD 【点评】本题考查空间中两点间距离的最值，建立空间直角坐标系是解题的关键，考查学生空间立体感和运算能力，属于中档题 11 （5 分）已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M 在双曲线的左支上，若 2|MF2|5|MF1|，则双曲线的离心率可以是（ ）
22、A3 B C2 D 【分析】由双曲线的定义可得|MF2|MF1|MF1|2a，再根据点 M 在双曲线的左支上，可得|MF1|ca，从而求得此双曲线的离心率 e 的最大值 【解答】解：由双曲线的定义可得|MF2|MF1|MF1|2a， 根据点 M 在双曲线的左支上，可得|MF1|ca， e， 双曲线离心率的最大值为，观察选项，选项 BCD 符合题意 故选：BCD 【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础 12 （5 分）已知函数，若函数 F（x）f（x）ax 有 4 个零点，则 a 的可能的值为（ ） A B C D 【分析】作出 f（x）的函数图象，根据直线
23、 yax 与 yf（x）有 4 个交点得出 a 的范围 【解答】解：当 ex2e 时，f（x）f（2ex） ，f（x）的图象关于直线 xe 对称， 作出 f（x）的函数图象如图所示： F（x）f（x）ax 有 4 个零点，yax 与 yf（x）的图象有 4 个交点， 当直线 yk1x 经过点（e，1）时，k1， 设直线 ykx 与 ylnx 相切，切点为（x0，y0） ， 则，解得 x0e，y01，k2 0a 则 AB 满足， 故选：AB 【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数对称性，切线斜率等知识，属于中档题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题
24、5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 a11，S3，则 S4 【分析】设等比数列an的公比为 q，分析可得 S3a1+a2+a31+q+q2，解可得 q 的值，进而计算可得答案 【解答】解：根据题意，设等比数列an的公比为 q， 若 a11，S3，则有 S3a1+a2+a31+q+q2， 解可得：q， 则 S4， 故答案为： 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和公式，注意公式的形式，属于基础题 14（5 分） 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， 若动点 P 在线段 BD1上运动， 则的取值范围是 0，1 【分析】 建立空间直角坐
25、标系， 求出有关点的坐标可得、 、 的坐标， 再由 10，1，可得的取值范围 【解答】解：以所在的直线为 x 轴，以所在的直线为 y 轴，以所在的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 则 D（0，0，0） 、C（0，1，0） 、A（1，0，0） 、B（1，1，0） 、D1（0，0，1） （0，1，0） 、 （1，1，1） 点 P 在线段 BD1上运动，（，） ，且 01 +（，1，） ， 10，1， 故答案为0，1 【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题 15 （5 分）已知函数，则函数 f（x）的极大值为 2ln2 【分析】先求出导函数 f（x），令 xe
26、 得 f（e），所以 f （x）2lnx，x（0，+） ，再利用导数即可求出函数 f（x）的极大值 【解答】解：函数，x（0，+） ， f（x），令 xe 得，f（e）2f（e），f（e）， f （x）2lnx，x（0，+） ， f（x），令 f（x）0 得，x2e， 当 x（0，2e）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增；当 x（2e，+）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减， 当 x2e 时，函数 f（x）取极大值，极大值为 f（2e）2ln2， 故答案为：2ln2 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，是中档题 16 （5 分）已知 F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A，B
27、在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，（其中 O为坐标原点） ，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是 ，当ABO 与AFO 面积之和最小值时直线 AB 与 x 轴交点坐标为 （3，0） 【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题 【解答】解：设直线 AB 的方程为：xty+m， 点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 直线 AB 与 x 轴的交点为 M（m，0） ， xty+m 代入 y2x，可得 y2tym0， 根据韦达定理有 y1y2m， 6， x1x2+y1y26，从而（y1y2）2+y1y2
28、60， 点 A，B 位于 x 轴的两侧， y1y23，故 m3 不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y10， 又 F（ ，0） ， SABO+SAFO3（y1y2）+y1y1+2， 当且仅当 y1，即 y1时，取“”号， ABO 与AFO 面积之和的最小值是 ， 此时 m3 故直线 AB 与 x 轴交点坐标为（3，0） ； 故答案为：， （3，0） 【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点： 1、联立直线与抛物线的方程，消 x 或 y 后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式 2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高 3、利用基本
29、不等式时，应注意“一正，二定，三相等” 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程分，解答应写出文字说明、证明过程 17 （10 分）设 Sn为数列an的前 n 项和，已知 a12，对任意 nN*，都有 2Sn（n+1）an （）求数列an的通项公式； （）若数列的前 n 项和为 Tn，求证：Tn1 【分析】 （I）2Sn（n+1）an，当 n2 时，2Sn1nan1，可得，可得 an （II）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出 【解答】 （I）解：2Sn（n+1）an， 当 n2 时，2Sn1nan1，可得 2an（n+1）an
30、nan1， ， an2n （n1 时也成立） （II）证明： Tn+1 T1Tn1， Tn1 【点评】本题考查了递推关系、 “裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18 （12 分）在如图所示的几何体中，平面 PAD平面 ABCD，PAD 为等腰直角三角形，APD90，四边形 ABCD 为直角梯形，ABDC，ABAD，ABAD2，PQDC，PQDC1 （1）求证：PD平面 QBC； （2）求二面角 QBCA 的余弦值 【分析】 （1）先证明四边形 PQCD 是平行四边形，得 PDQC，再用线面平行的判定定理证明即可； （2）根据题意，以点 O 为坐标原点，分别以直线 OD，OP
31、 为 y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，分别求出平面 QBC 和平面 ABC 的法向量，利用夹角公式求出即可 【解答】解： （1）因为 PQCD，PQCD， 所以四边形 PQCD 是平行四边形， 所以 PDQC， 因为 PD平面 QBC，QC平面 QBC， 所以 PD平面 QBC； （2）取 AD 的中点 O，连接 OP， 因为 PAPD，所以 OPAD 因为平面 PAD平面 ABCD，OP平面 PAD， 平面 PAD平面 ABCDAD， 所以 OP平面 ABCD， 以点 O 为坐标原点，分别以直线 OD，OP 为 y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz， 因为APD90，ABA
32、D2PQCD1， 所以 A（0，1，0） ，B（2，1，0） ，C（1，1，0） ，Q（1，0，1） ， 则 ， 设平面 QBC 的法向量为， 由得 令 z1，解得 x2，y1，得， 由题意得平面 ABCD 的法向量为， 所以， 又因为二面角 QBCA 的平面角为锐角， 所以二面角 QBCA 的余弦值是 【点评】 考查线面平行的判定定理， 向量法求二面角的余弦值， 考查运算能力和空间想象能力， 中档题 19 （12 分）已知函数在点（1，f（1） ）处的切线方程是 ybx+5 （1）求实数 a，b 的值； （2）求函数 f（x）在上的最大值和最小值（其中 e 是自然对数的底数） 【分析】 （1
33、）求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数 a，b 的值； （2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数 f（x）在上的最大值和最小值 【解答】解： （1）因为，（1 分） 则 f（1）1a，f（1）2a， 函数 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为：y2a（1a） （x1） ，（2 分） （直线 ybx+5 过（1，f（1） ）点，则 f（1）b+52a） 由题意得，即 a2，b1（4 分） （2）由（1）得，函数 f（x）的定义域为（0，+） ，（5 分） ，f（x）00 x2，f（x）0 x2， 在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增（7
34、分） 故 f（x）在上单调递减，在2，e上单调递增，（9 分） f（x）在上的最小值为 f（2）3+ln2（10 分） 又，且 f（x）在上的最大值为（11 分） 综上，f（x）在上的最大值为 2e+1，最小值为 3+ln2（12 分） 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力 20 （12 分）国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有 100 名技术人员， 年人均投入 m 万元， 现把原有技术人员分成两部分： 技术人员和研发人员， 其中技术人员 x 名 （xN*且 x45， 60） ， 调整后研发人员的年人均投入
35、增加 2x%， 技术人员的年人均投入调整为万元 （1）要使这 100 x 名研发人员的年总投入恰好与调整前 100 名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数； （2）是否存在这样的实数 a，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出 a 的范围，若不存在，说明理由 【分析】 （1）求出对应的 100 x 名研发人员的年总投入，建立方程关系进行求解即可 （2）根据条件建立不等式利用参数分离法转化求最值问题即可 【解答】解： （1）100 x 名研发人员的年总投入为（1+2x%） （100 x）m， 若这 100 x 名
36、研发人员的年总投入恰好与调整前 100 名技术人员的年总投入相同， 即（1+2x%） （100 x）m100m， 得 100 x+2xx2100， 得 xx2，即 x50，即调整后的技术人员的人数为 50 （2）技术人员的年人均投入调整为x 万元， 从研发人员的年总投入为（1+2x%） （100 x）m 万元， 依题意得（1+2x%） （100 x）mx 恒成立， 即 a+1 在 xN*且 x45，60） ，恒成立， +11+21+45， 当且仅当即 x50 时取等号， a5， 技术人员的年人均投入不减少， m， 即 a1+， 当 xN*且 x45，60）时，y1+为增函数， 当 x60 时，
37、y 取得最大值， 最大值为 y1+1+， a， 综上a5，即实数 a 的取值范围是 【点评】本题主要考查函数的应用问题，结合条件建立方程和不等式，利用参数分离法进行求解是解决本题的关键考查学生的计算能力 21 （12 分）设椭圆的左、右焦点 F1，F2，左顶点为 A，左焦点到左顶点的距离为 1，离心率为 （）求椭圆 M 的方程； （） 过点 A 做斜率为 k 的直线与椭圆 M 交于另一点 B， 连接 BF2并延长交椭圆 M 于点 C， 若 F1CAB，求 k 的值 【分析】 （）由题意离心率及左焦点到左顶点的距离为 1，和 a，b，c 之间的关系求出 a，b，即求出椭圆方程； （）设直线 AB
38、，代入椭圆求出 B 的坐标，进而写出直线 BF2的方程，由题意设 CF1方程，两直线联立求出 C 的坐标，代入椭圆求出 k 的值 【解答】解： （）由题意得：ac1，e，a2b2+c2，解得：a24，b23， 所以椭圆 M 的方程：1； （）由（）得 A（2，0） ，F1（1，0） ，F2（1，0）直线 AB 的方程：yk（x+2） ，联立与椭圆的方程整理得： （3+4k2）x2+16k2x+16k2120，有一个根 x2，另一根 x， 将 x代入直线 AB 中得 y， 所以 B 的坐标 （，） ， 所以 k，所以直线 BF2：y（x1） ， 直线 F1C 的方程：y（x+1） ， 联立直线
39、BF2与直线 F1C：解得： C （8k21， 8k） ， C 在椭圆上：+1，整理得：192k4+208k290，解得：k2， 所以 k 【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）ex2kx1，g（x）2kln（x+1）x（kR） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若不等式 f（x）+g（x）0 对任意 x0 恒成立，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）由于 f（x）ex2k，对 k 分 k0 与 k0 两类讨论即可求得函数 f（x）的单调区间； （2）若不等式 f（x）+g（x）0 对任意 x0 恒成立，即 ex+2kln（x+1）x（x+1
40、）0，对x0恒成立，可构造函数 （x）ex+2kln（x+1）x（x+1） ，通过求导，对参数 k 分类讨论，解得答案 【解答】解： （1）由题意，得 f（x）ex2k （1 分） 当 k0 时，f（x）0，f（x）在 R 上为增函数；（2 分） 当 k0 时，当 x（，ln（2k） ）时，f（x）0，f（x）在（，ln（2k） ）上为减函数， 当 x（ln（2k） ，+）时，f（x）0，f（x）在 （ln（2k） ，+）上为增函数 综上所述，当 k0 时，f（x）的单调递增区间为 R； 当 k0 时，f（x）的单调递减区间是（，ln（2k） ） ，单调递增区间是（ln（2k） ，+） （4
41、分） （2）由不等式 f（x）+g（x）0，对x0 恒成立， 即 ex+2kln（x+1）x（x+1）0，对x0 恒成立（5 分） 构造函数 （x）ex+2kln（x+1）x（x+1） ， 则 （6 分） 又因为 exx+1，（7 分） 所以，（8 分） 当时，（x）0 在0，+）上恒成立，（x）在0，+）上单调递增，（x）（0）0， 即 f（x）+g（x）0，对x0 恒成立（9 分） 当时，因为 exx+1，所以 ex1x，即 ，x0，1 当 x （0， 1） 时， （10分） 因为时，（x）0，知 （x）在上为减函数，（x）（0）0， 即在 上，不存在 k 使得不等式 f（x）+g（x）0 对任意 x0 恒成立 综上，实数 k 的取值范围是（，（12 分） 【点评】本题考查函数恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查等价转化思想、函数与方程思想及分类讨论思想的综合运用，逻辑思维能力要求高，运算量大，属于难题
