1、2020-2021 学年甘肃省学年甘肃省天水市天水市二校联考二校联考高二（上）期末数学试卷（理科）高二（上）期末数学试卷（理科） 一、单选题（每小题一、单选题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）等差数列an中，a7+a916，a41，则 a12（ ） A15 B30 C31 D64 2 （4 分）设 xR，则“x210”是“x2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （4 分）已知椭圆的左、右焦点为 F1，F2，P 是椭圆上的点，且|PF1|2，则|PF2|（ ） A1 B2 C3 D4 4 （4 分）已知正实数 a，b 满
2、足 3a+2b1，则的最小值为（ ） A32 B34 C36 D38 5 （4 分）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAA12，M、N 分别是 BB1和 B1C1的中点，则直线AM 与 CN 所成角的余弦值等于（ ） A B C D 6 （4 分）已知双曲线 C：1 的离心率 e，且其右焦点为 F2（5，0） ，则双曲线 C 的方程为（ ） A1 B1 C1 D1 7 （4 分）已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A（x0，y0）是 C 上一点，若|AF|x0，则 x0等于（ ） A1 B2 C4 D8 8 （4 分）在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC90，D，E，F
3、 分别是棱 AB，BC，CP 的中点，ABAC2，PA4，则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为（ ） A B C D 9 （4 分）函数 f（x）exsinx 在区间，的图象大致是（ ） A B C D 10 （4 分）过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 作直线与抛物线在第一象限交于点 A，与准线在第三象限交于点 B，过点 A 作准线的垂线，垂足为 H若 tanAFH2，则（ ） A B C D2 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11 （4 分）已知实数 x，y 满足，则 zx2y 的最大值为 12 （4 分）若命题“xR，x22x+m21
4、0”为真命题，则实数 m 的取值范围为 13 （4 分）数列an满足，则 a15 14 （4 分）已知函数，若函数 g（x）f（x）mx+2 有四个零点，则实数 m的取值范围是 三、解答题（共三、解答题（共 44 分）分） 15 （10 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn3n27n （1）求数列an的通项公式； （2）求数列的前 n 项和 Tn 16 （10 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ADBC，ADC90，PAPD，PAPD （1）求证：平面 PAB平面 PCD； （2）若 BC1，ADCD2，求二面角 APCB 的余弦值 17 （12 分）
5、已知函数 f（x）x+，其中 aR，e 是自然对数的底数 （1）当 a1 时，求函数 f（x）在区间0，+）上的零点个数； （2）若 f（x）对任意 x1，+）恒成立，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）已知点 A（0，2） ，椭圆 E：+1（a0，b0）的离心率为，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为，O 是坐标原点 （1）求 E 的方程； （2）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题（每小题一、单选题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）等差数列a
6、n中，a7+a916，a41，则 a12（ ） A15 B30 C31 D64 【分析】由 a7+a916 可得 2a1+14d16，再由 a41a1+3d，解方程求得 a1和公差 d 的值，或根据等差中项的定义，ap+aqam+an，从而求得 a12的值 【解答】解：方法一：设公差等于 d，由 a7+a916 可得 2a1+14d16，即 a1+7d8 再由 a41a1+3d，可得 a1，d 故 a12a1+11d+15， 方法二：数列an是等差数列， ap+aqam+an， 即 p+qm+n a7+a9a4+a12 a1215 故选：A 【点评】 本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的
7、应用， 求出首项和公差 d 的值， 是解题的关键，属于基础题 2 （4 分）设 xR，则“x210”是“x2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】解出不等式：x210，即可判断出结论 【解答】解：x210，解得 x1，或 x1 x210”是“x2”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3 （4 分）已知椭圆的左、右焦点为 F1，F2，P 是椭圆上的点，且|PF1|2，则|PF2|（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用椭圆方程求解 a，通过椭圆的定义，转化求
8、解即可 【解答】解：椭圆，可知 a3， 椭圆的左、右焦点为 F1，F2，P 是椭圆上的点，且|PF1|2， 由椭圆定义可得：|PF2|2a|PF1|624 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆定义的应用，是基本知识的考查 4 （4 分）已知正实数 a，b 满足 3a+2b1，则的最小值为（ ） A32 B34 C36 D38 【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出 【解答】解：正实数 a，b 满足 3a+2b1， 则（3a+2b） （）20+32， 当且仅当且 3a+2b1，即 b，a时取等号， 则的最小值为 32 故选：A 【点评】本题主要考查了“乘 1 法”与基本
9、不等式的性质，属于基础题 5 （4 分）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAA12，M、N 分别是 BB1和 B1C1的中点，则直线AM 与 CN 所成角的余弦值等于（ ） A B C D 【分析】 以 A 为原点， 在平面 ABC 处以过点 A 垂直于 AC 的直线为 x 轴， 以 AC 为 y 轴， 以 AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 AM 与 CN 所成角的余弦值 【解答】解：如图，以 A 为原点，在平面 ABC 处以过点 A 垂直于 AC 的直线为 x 轴， 以 AC 为 y 轴，以 AA1为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 由题意知 A（0，0，
10、0） ，M（，1） ， C（0，2，0） ，N（，2） ， （） ， 设直线 AM 与 CN 所成角的大小为 ， 则 cos|cos，| | 故选：D 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要注意向量法的合理运用 6 （4 分）已知双曲线 C：1 的离心率 e，且其右焦点为 F2（5，0） ，则双曲线 C 的方程为（ ） A1 B1 C1 D1 【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程 【解答】解：双曲线 C：1 的离心率 e，且其右焦点为 F2（5，0） ， 可得：，c5，a4，b3， 所求双曲线方程为：1 故选：C 【点评】本题考查双曲
11、线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 7 （4 分）已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A（x0，y0）是 C 上一点，若|AF|x0，则 x0等于（ ） A1 B2 C4 D8 【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出 【解答】解：抛物线 C：y2x 的焦点为 F（，0） A（x0，y0）是 C 上一点，|AF|x0， x0 x0+， 解得 x01 故选：A 【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题 8 （4 分）在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC90，D，E，F 分别是棱 AB，BC，CP 的中点，ABAC2，PA4，则直线 PA 与平面
12、 DEF 所成角的正弦值为（ ） A B C D 【分析】以 A 为坐标原点，以 AB 为 x 轴，以 AC 为 y 轴，以 AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值 【解答】解：以 A 为坐标原点，以 AB 为 x 轴，以 AC 为 y 轴，以 AP 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， PA平面 ABC，BAC90，D，E，F 分别是棱 AB，BC，CP 的中点， ABAC2，PA4， A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，P（0，0，4） ， D（1，0，0） ，E（1，1，0） ，F（0，1，2） ， （0，0，4） ，（
13、0，1，0） ，（1，1，2） ， 设 （x，y，z） 是平面 DEF 的一个法向量， 则，取 x1，则 （2，0，1） ， 设 PA 与平面 DEF 所成的角为 ， 则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为： sin|cos， | 故选：C 【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 9 （4 分）函数 f（x）exsinx 在区间，的图象大致是（ ） A B C D 【分析】先根据函数值，排除 AB，再根据函数的单调性排除 C，得答案 【解答】解：当 x（，0）时，sinx0，ex0，则 f（x）0，故排除 AB
14、， f（x）exsinx，当 x（0，）时， f（x）ex（sinx+cosx）exsin（x+） ， 令 f（x）0，解得 x， 当 0 x时，f（x）0，函数单调递增， 当x 时，f（x）0，函数单调递减， 在 x取最大值， 故选项 D 符合， 故选：D 【点评】本题考查了函数的图象的识别，关键利用导数判断函数的单调性，属于中档题 10 （4 分）过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 作直线与抛物线在第一象限交于点 A，与准线在第三象限交于点 B，过点 A 作准线的垂线，垂足为 H若 tanAFH2，则（ ） A B C D2 【分析】 由题意如图： 再由抛物线的性质可得|AF|AH|，
15、 在三角形中求出|AF|， |BF|的表达式， 可得的值 【解答】解：由题意如图所示：设准线与 x 轴的交点为 M，过点 F 作 FCAH 交于 C， 由抛物线的定义可知|AF|AH|， 所以AHFAFH，FAH2OFB，|BF|， |AF|， 所以， 故选：C 【点评】本题考查抛物线的性质及平行线的性质，属于中档题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11 （4 分）已知实数 x，y 满足，则 zx2y 的最大值为 4 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件作
16、出可行域如图， 联立，解得 A（2，1） ， 化目标函数 zx2y 为 y，由图可知，当直线 y过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 4 故答案为：4 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题 12 （4 分）若命题“xR，x22x+m210”为真命题，则实数 m 的取值范围为 （，） 【分析】利用判别式，即可求出实数 m 的取值范围 【解答】解：命题“xR，x22x+m210”是真命题，得44（m21）0，即m 即所求 m 的取值范围是（，） 故答案为： （，） 【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，转化为判别式和 0 之间的关系是解题的
17、关键 13 （4 分）数列an满足，则 a15 1 【分析】求出数列的前几项，得到数列是周期数列，然后求解即可 【解答】解：由题意得， 数列an的周期为 3， a15a31 故答案为：1 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，判断数列是周期数列是解题的关键，属于基础题 14 （4 分）已知函数，若函数 g（x）f（x）mx+2 有四个零点，则实数 m的取值范围是 （2，e） 【分析】对分段函数进行分类讨论，分别研究当 x0 时，函数 f（x）lnx 和 ymx2 的交点个数，然后再研究当 x0 时，ymx2 与 yx22x6 有两个交点，利用数形结合的方法进行分析求解，即可得到答案 【解答】
18、解：若函数 g（x）f（x）mx+2 有四个零点，需 yf（x）和 ymx2 有四个交点， 当 x0 时，作出函数 f（x）lnx 和 ymx2 的图象如下图所示， 直线 ymx2 恒过定点（0，2） ， 设 ymx2 于 ylnx 相切于点（x0，y0） ，则 y0mx02，y0lnx0， 由 ylnx，得，所以，解得， 即当 0me 时，函数 f（x）lnx 与 ymx2 有两个交点， 当 x0 时，若 ymx2 与 yx22x6 有两个交点，需 mxx22x4（x0）有两个不相等的实根， 当 x0 时，m 无解； 当 x0 时， 由对勾函数图象可得，当 m+24，即 m2 时，ym+2
19、与有两个交点， 故 ymx2 与 yx22x6 有两个交点， 综上可得，当 2me 时，函数 g（x）f（x）mx+2 有四个零点 故答案为： （2，e） 【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了分段函数的应用、对数函数的图象和性质、曲线的切线方程的应用，对于分段函数的问题，解题的方法一般是分类讨论和数形结合 三、解答题（共三、解答题（共 44 分）分） 15 （10 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn3n27n （1）求数列an的通项公式； （2）求数列的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）先由 anSnSn1求得 an（n2） ，再求得 a1，即可求得 an； （2
20、）先由（1）求得，再利用裂项相消法求得其前 n 项和 Tn即可 【解答】解： （1）Sn3n27n， 当 n2 时，anSnSn13n27n3（n1）2+7（n1）6n10， 又当 n1 时，a1S1374 也适合上式， an6n10； （2）由（1）可得：（） ， Tn（+）（） 【点评】本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题 16 （10 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ADBC，ADC90，PAPD，PAPD （1）求证：平面 PAB平面 PCD； （2）若 BC1，ADCD2，求二面角 APCB 的余弦值 【分析】 （1
21、）推导出 ADCD，CD平面 PAD，PACD，PAPD，从而 PA平面 PCD，由此能证明平面 PAB平面 PCD （2）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，过 D 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 APCB 的余弦值 【解答】解： （1）证明：ADC90，ADCD， 平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， CD平面 PAD，PA平面 PAD，PACD， PAPD，PDCDD，PD平面 PCD，CD平面 PCD， PA平面 PCD， PA平面 PAB，平面 PAB平面 PCD （2）以 D 为原点，DA 为
22、x 轴，DC 为 y 轴，过 D 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， BC1，ADCD2，A（2，0，0） ，B（1，2，0） ，C（0，2，0） ，P（1，0，1） ， （1，0，1） ，（0，2，1） ，（1，2，1） ， 设平面 PAC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1，1） ， 设平面 PCB 的法向量 （a，b，c） ， 则，取 b1，得 （0，1，2） ， 设二面角 APCB 的平面角为 ， 则 cos 二面角 APCB 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查
23、运算求解能力，是中档题 17 （12 分）已知函数 f（x）x+，其中 aR，e 是自然对数的底数 （1）当 a1 时，求函数 f（x）在区间0，+）上的零点个数； （2）若 f（x）对任意 x1，+）恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）代入 a 的值，求出函数的导数，根据函数的单调性确定函数 f（x）的零点个数即可； （2）问题转化为 axex恒成立，令 g（x）xex，x1，+） ，根据函数的单调性求出a 的范围即可 【解答】解： （1）a1 时，f（x）x，f（x）1+0， 故 f（x）在0，+）递增，而 f（0）10，f（1）10， 故x0（0，1） ，使得 f（x0）0，
24、 故函数 f（x）在区间0，+）上的零点个数是 1 个； （2）若 f（x）对任意 x1，+）恒成立， 即 axex恒成立，x1，+） ， 令 g（x）xex，x1，+） ，则 g（x）ex（exx1） ， 令 h（x）exx1，则 h（x）ex1， 令 h（x）0，解得 x0，令 h（x）0，解得 x0， 故 h（x）在1，0）递减，在（0，+）递增， 故 h（0）0，h（x）0，故 g（x）0，g（x）在1，+）递增， 故 g（x）ming（1）+， 故 a+，即 a 的取值范围是（，+） 【点评】本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，属中档题
25、 18 （12 分）已知点 A（0，2） ，椭圆 E：+1（a0，b0）的离心率为，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为，O 是坐标原点 （1）求 E 的方程； （2）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程 【分析】 （1）设 F（c，0） ，由已知得，求得 c，再由离心率求得 a，结合隐含条件求得 b，则椭圆方程可求； （2）由题意可知，当 lx 轴时，不合题意，设 l：ykx2，联立直线方程与椭圆方程，求出 P、Q 的横坐标， 代入弦长公式求得|PQ|， 再由点到直线的距离公式求得 O 到 PQ 的距离， 代入三角形面积公
26、式，换元后利用基本不等式求最值，同时求得当OPQ 的面积最大时直线 l 的方程 【解答】解： （1）设 F（c，0） ，由条件知，得，又， a2，b2a2c21， 故 E 的方程为：； （2）当 lx 轴时，不合题意， 故设 l：ykx2，p（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 联立，得（1+4k2）x216kx+120 当16（4k23）0，即时， ， 从而 又点 O 到直线 PQ 的距离 OPQ 的面积为， 设， 则，当且仅当，即 t2 时取“” ，即时等号成立，且满足0， 当OPQ 的面积最大时，l 的方程为或 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及基本不等式求最值，属中档题
