1、 三角恒等变换三角恒等变换 一、单选题 1（2021 云南昆明市 昆明一中高一期中）若tan2，则sin2（ ） A45 B35 C25 D15 2（2021 江苏高一月考）sin15 cos45cos15 sin135+=oooo（ ） A12 B12 C32 D32 3（2021 北京人大附中高二期末）若tan2，tan2，则 tan2（ ） A125 B125 C43 D43 4（2021 北京石景山区 高一期末）以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点2,4P，则tan4（ ） A3 B13 C13 D3 5（2021 河南商丘市 高一月考） 在A
2、BCV中， 若sin 22sincos1BCBA， 则ABCV一定是 （ ） A锐角三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 6（2021 全国高二专题练习） 在平面直角坐标系中， 已知点2cos80 ,2sin80A，2cos20 ,2sin20B， 那么AB （ ） A2 B2 2 C2 3 D4 7（2021 江苏徐州市 徐州一中高一期中）已知1sin63，则2cos23（ ） A79 B79 C74 618 D4 6718 8 （2021 徐汇区 上海中学高一期中）若322x ，1 sin1 sinxx的化简结果是（ ） A2cos2x B2sin2x C2cos2x D2
3、sin2x 9 （2021 湖南高一期中）等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形.例如，正五角星由 5 个黄金三角形和一个正五边形组成且每个黄金三角形都是顶角为36的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，512BCAC.根据这些信息，可求得cos324的值为（ ） A514 B514 C514 D154 10（2021 福建高三其他模拟）已知0,2，且cos27 25sin4 ，则tan2（ ） A724 B247 C724 D247 11（2020 江苏镇江市 高一月考）一般地，存在一个 n 次多项式 nP t，使得coscos()nnxPx，这些多
4、项式 nP t称为切比雪夫多项式如由2cos22cos1xx，知cos2 x可以表示为cosx的二次多项式对于cos3x，通过运算，我们可以得到3cos34cos3cosxxx，从而得到cos3x的切比雪夫多项式根据已知结论计算sin18的值（ ） A624 B514 C518 D21 12（2021 全国高考真题）若tan2，则sin1 sin2sincos（ ） A65 B25 C25 D65 13（2019 湖南高考真题（理）函数 f（x）=sinx-cos(x+6)的值域为 A -2 ,2 B-3,3 C-1,1 D-32, 32 14（2020 全国高考真题（理）已知 2tantan
5、(+4)=7，则 tan=（ ） A2 B1 C1 D2 15（2018 全国高考真题（理）若1sin3，则cos2 A89 B79 C79 D89 16（2019 北京高考真题（理）函数 f(x)=sin22x 的最小正周期是_ 17（2019 江苏高考真题）已知tan23tan4 ，则sin 24的值是_. 18 （2018 全国高考真题（理）已知sincos1，cossin0，则sin_ 三角恒等变换三角恒等变换 一、单选题 1（2021 云南昆明市 昆明一中高一期中）若tan2，则sin2（ ） A45 B35 C25 D15 【答案】A 【分析】 根据正弦的二倍角公式、同角三角函数基
6、本关系以及化弦为切即可求解. 【详解】 22222sincos2tan2 24sin22sincossincostan1215， 故选：A. 2（2021 江苏高一月考）sin15 cos45cos15 sin135+=oooo（ ） A12 B12 C32 D32 【答案】D 【分析】 本题可通过诱导公式以及两角和的正弦公式得出结果. 【详解】 sin15 cos45cos15 sin135+oooo sin15 cos45cos15 sin45=+oooo ()3sin 1545sin602=+=ooo， 故选：D. 3（2021 北京人大附中高二期末）若tan2，tan2，则 tan2（
7、 ） A125 B125 C43 D43 【答案】C 【分析】 tan2tan 2tan() ，然后利用两角和的正切公式展开，再把已知的值代入求解即可 【详解】 解：因为tan2，tan2， 所以 tan2tan 2tan() tantan()1tantan() 2241 2 23 . 故选：C. 4（2021 北京石景山区 高一期末）以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点2,4P，则tan4（ ） A3 B13 C13 D3 【答案】C 【分析】 根据终边上的点求出tan，再应用两角差正切公式求值即可. 【详解】 由题意知：tan2，而tantan2
8、114tan412 131tantan4 . 故选：C 5（2021 河南商丘市 高一月考） 在ABCV中， 若sin 22sincos1BCBA， 则ABCV一定是 （ ） A锐角三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 【答案】B 【分析】 利用三角恒等变换化简即得解. 【详解】 因为sin 22sincosBCBA sincoscossin2sincosBBCBBCBA sincoscossin2sincosBABABA sincoscossinBABAsin1BA， 所以在ABCV中，2BA，即ABCV一定是直角三角形 故选：B 6（2021 全国高二专题练习） 在平面直角
9、坐标系中， 已知点2cos80 ,2sin80A，2cos20 ,2sin20B，那么AB （ ） A2 B2 2 C2 3 D4 【答案】A 【分析】 利用利用两点间的距离公式求得AB. 【详解】 222cos202cos802sin202sin80AB 44 8 cos20 cos80sin20 sin80 18 8cos 20808 8422 . 故选：A 7（2021 江苏徐州市 徐州一中高一期中）已知1sin63，则2cos23（ ） A79 B79 C74 618 D4 6718 【答案】B 【分析】 找到问题中的角和条件中的角的关系，利用余弦的二倍角公式求得结果. 【详解】 22
10、7cos2cos(2 )cos(2 )2sin133369 故选：B 8 （2021 徐汇区 上海中学高一期中）若322x ，1 sin1 sinxx的化简结果是（ ） A2cos2x B2sin2x C2cos2x D2sin2x 【答案】C 【分析】 利用二倍角正弦公式以及三角函数函数的象限符号化简即可. 【详解】 由322x ，324x ，cossin022xx得， 1 sin1 sinxx 1 2sincos1 2sincos2222xxxx sincossincos2222xxxx sincossincos2cos22222xxxxx 故选：C 9 （2021 湖南高一期中）等腰三角
11、形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形.例如，正五角星由 5 个黄金三角形和一个正五边形组成且每个黄金三角形都是顶角为36的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，512BCAC.根据这些信息，可求得cos324的值为（ ） A514 B514 C514 D154 【答案】A 【分析】 先利用等腰三角形求出cos72，再根据诱导公式和降幂公式可求cos324的值. 【详解】 在等腰ABCV中，1512cos724BCAC ， 1cos7262 5cos324cos36216 514. 故选：A. 10（2021 福建高三其他模拟）已知0,2，且cos27 25si
12、n4 ，则tan2（ ） A724 B247 C724 D247 【答案】D 【分析】 由余弦的二倍角公式和两角差正弦公式可得7cossin5， 结合22cossin1求出tan的值，再根据正切的二倍角公式即可. 【详解】 22cos2cossin7 22 cossin5s2sinino42c s ， 故7cossin5， 又因为0,2，且22cossin1 故3cos5，4sin5或4cos5，3sin5，则4tan3或34， 故22tan24tan21tan7 ， 故选：D 11（2020 江苏镇江市 高一月考）一般地，存在一个 n 次多项式 nP t，使得coscos()nnxPx，这些
13、多项式 nP t称为切比雪夫多项式如由2cos22cos1xx，知cos2 x可以表示为cosx的二次多项式对于cos3x，通过运算，我们可以得到3cos34cos3cosxxx，从而得到cos3x的切比雪夫多项式根据已知结论计算sin18的值（ ） A624 B514 C518 D21 【答案】B 【分析】 结合诱导公式得到sin36cos54， 利用题目中的已知条件得到32sin18 cos184cos 183cos18 ，化简整理得到22sin184 1 sin 183 ，解方程即可. 【详解】 因为sin36sin 9054cos54 ，所以32sin18 cos184cos 183c
14、os18 ， 因为cos180，所以22sin184cos 183 ，故22sin184 1 sin 183 ， 因为sin180，解得51sin184 ， 故选：B. 12（2021 全国高考真题）若tan2，则sin1 sin2sincos（ ） A65 B25 C25 D65 【答案】C 【分析】 将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sincos)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan2即可得到结果 【详解】 将式子进行齐次化处理得： 22sinsincos2sincossin1 sin2sinsincossincossincos 2222sinsinc
15、ostantan422sincos1 tan1 45 故选：C 【点睛】 易错点睛：本题如果利用tan2，求出sin ,cos的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论 13（2019 湖南高考真题（理）函数 f（x）=sinx-cos(x+6)的值域为 A -2 ,2 B-3,3 C-1,1 D-32, 32 【答案】B 【解析】 f（x）=sinx-cos(x+6)31sincossin3sin()226xxxx，sin()1,16x Q，( )f x值域为-3,3. 【点评】利用三角恒等变换把( )f x化成sin()Ax的形式，利用sin()1,1x ，求得(
16、 )f x的值域 14（2020 全国高考真题（理）已知 2tantan(+4)=7，则 tan=（ ） A2 B1 C1 D2 【答案】D 【分析】 利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】 2tantan74Q，tan12tan71tan， 令tan ,1tt，则1271ttt，整理得2440tt，解得2t ，即tan2. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 15（2018 全国高考真题（理）若1sin3，则cos2 A89 B79 C79 D89 【答案】B 【详解】 分析：由公式2cos212sin 可得结果
17、. 详解：227 cos212199sin 故选 B. 点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 16（2019 北京高考真题（理）函数 f(x)=sin22x 的最小正周期是_ 【答案】 2. 【分析】 将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 【详解】 函数 2sin 2f xx142cos x,周期为2 【点睛】 本题主要考查二倍角的三角函数公式三角函数的最小正周期公式，属于基础题. 17（2019 江苏高考真题）已知tan23tan4 ，则sin 24的值是_. 【答案】210. 【分析】 由题意首先求得tan的值， 然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原
18、问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 【详解】 由tan1tantantan2tan1tan13tan1tan4 ， 得23tan5tan20， 解得tan2，或1tan3 . sin 2sin2 coscos2 sin444 2222222sincoscossinsin2cos2=22sincos 2222tan1 tan=2tan1 ， 当tan2时，上式2222 2 1 22=22110 ； 当1tan3 时，上式=2211212233=210113 . 综上，2sin 2.410 【点睛】 本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题. 18 （2018 全国高考真题（理）已知sincos1，cossin0，则sin_ 【答案】12 【详解】 因为， 所以， 因为， 所以， 得， 即， 解得， 故本题正确答案为
