1、函数与方程函数与方程 一、单选题 1（2021 全国高一课时练习）若12xx，是二次函数256yxx的两个零点，则1211xx的值为（ ） A12 B13 C16 D56 2（2020 全国高一课时练习）设函数2yx=与212xy的图象交点为00,x y，则0 x所在区间是（ ） A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4) 3（2020 全国高一课时练习）函数11yx 的零点是（ ） A(-1，0) Bx=0 C-1 D1 4（2018 湖北高一期中）已知函数( )xf xxe的部分函数值如下表所示： x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 ( )f x 0.6321
2、0.1065 0.2776 0.0897 0.007 那么函数( )f x的一个零点近似值（精确度为 0.1）为（ ） A0.45 B0.57 C0.78 D0.89 5（2021 湖北高一开学考试）函数( )lg(1)3f xxx零点所在的整区间是（ ） A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 6（2020 贵阳市清镇养正学校高一期中）已知定义在R上的函数 f x的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 f x 3.4 2.6 -3.7 则函数 f x一定存在零点的区间是（ ） A,1 B1,2 C2,3 D3, 7（2021 江西赣州市 高一期末） 若函数 2
3、4xf xx的零点所在区间为,1k kkZ， 则k的值是 （ ） A1 B2 C3 D4 8（2021 陕西西安市 西安中学高三其他模拟（理）函数3yx和212xy存在公共点00,P x y，则0 x的范围为（ ） A0,1 B1,2 C2,3 D3,4 9（2021 浙江高一期末）函数2lg55yxx的零点是1tanx和2tanx，则tan()（ ） A53 B52 C52 D53 10（2021 浙江高一期末）若关于 x 的方程94 340 xxa有实数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A4, B, 4 C8, D, 8 11 （2021 全国高三其他模拟） 若函数 4log1 ,13,
4、1xxxf xm x存在 2 个零点， 则实数m的取值范围为 （ ） A3,0 B1,0 C0,1 D3, 12（2021 广东梅州市 高三二模）设1x，2x，3x均为正数，且1212log0 xx，22212log0 xx，32312 log0 xx，则（ ） A123xxx B321xxx C312xxx D213xxx 13（2020 上海高一专题练习）若函数|1|( )2xf xm 的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是_ 14（2021 福建厦门市 高三二模）已知函数21,0,( )log,0 xxf xx x则函数 yff x的所有零点之和为_. 1（2020 天津高考真题）已知
5、函数3,0,( ),0.xxf xxx若函数2( )( )2()g xf xkxxkR恰有 4 个零点，则k的取值范围是（ ） A1,(2 2,)2 U B1,(0,2 2)2 U C(,0)(0,2 2)U D(,0)(2 2,)U 2（2020 全国高考真题（理）若242log42logabab，则（ ） A2ab B2ab C2ab D2ab 3 （2019 浙江高考真题） 已知, a bR，函数32,0( )11(1),032x xf xxaxax x，若函数( )yf xaxb恰有三个零点，则 A1,0ab B1,0ab C1,0ab D1,0ab 4（2019 全国高考真题（理）关
6、于函数( )sin |sin |f xxx有下述四个结论： f(x)是偶函数 f(x)在区间（2,）单调递增 f(x)在, 有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 5（2021 北京高考真题）已知函数( )lg2f xxkx，给出下列四个结论： 若0k ，则( )f x有两个零点； 0k ，使得( )f x有一个零点； 0k ，使得( )f x有三个零点； 0k ，使得( )f x有三个零点 以上正确结论得序号是_ 6（2019 江苏高考真题）设( ), ( )f x g x是定义在R上的两个周期函数，( )f x的周期为 4，( )g x的周期为 2
7、，且( )f x是奇函数.当2(0,x时，2( )1 (1)f xx，(2),01( )1,122k xxg xx， 其中0k .若在区间(0 9，上，关于x的方程( )( )f xg x有 8 个不同的实数根，则k 的取值范围是_. 函数与方程函数与方程 一、单选题 1（2021 全国高一课时练习）若12xx，是二次函数256yxx的两个零点，则1211xx的值为（ ） A12 B13 C16 D56 【答案】D 【分析】 解方程可得12=2,=3xx，代入运算即可得解. 【详解】 由题意，令2560 xx，解得=2x或3， 不妨设12=2,=3xx，代入可得1211115=+=236xx.
8、 故选：D. 2（2020 全国高一课时练习）设函数2yx=与212xy的图象交点为00,x y，则0 x所在区间是（ ） A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4) 【答案】B 【分析】 令 2212xf xx，利用零点存在性定理即可求解. 【详解】 令 2212xf xx，则 f (0)40，f (1)10， f (x)的零点在区间(1，2)内， 即函数2yx=与212xy的图象交点的横坐标01,2x 故选：B 3（2020 全国高一课时练习）函数11yx 的零点是（ ） A(-1，0) Bx=0 C-1 D1 【答案】C 【分析】 根据函数零点的定义，令0y ，即可求解. 【
9、详解】 由题意，函数11yx ，令0y ，即110 x，解得1x， 即函数的零点为1x. 故选：C. 4（2018 湖北高一期中）已知函数( )xf xxe的部分函数值如下表所示： x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 ( )f x 0.6321 0.1065 0.2776 0.0897 0.007 那么函数( )f x的一个零点近似值（精确度为 0.1）为（ ） A0.45 B0.57 C0.78 D0.89 【答案】B 【分析】 由表格数据结合零点存在性定理得出零点的近似值. 【详解】 根据给的数据知道方程的根在区间(0.5625,0.625)内，所以近似解为 0.57 故选
10、：B 5（2021 湖北高一开学考试）函数( )lg(1)3f xxx零点所在的整区间是（ ） A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 【答案】C 【分析】 直接利用零点存在性定理求解即可. 【详解】 因为函数 f x为单调递增函数， 且 210f ， 3lg20f 所以零点所在的区间是2,3， 故选：C 6（2020 贵阳市清镇养正学校高一期中）已知定义在R上的函数 f x的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 f x 3.4 2.6 -3.7 则函数 f x一定存在零点的区间是（ ） A,1 B1,2 C2,3 D3, 【答案】C 【分析】 由表中数据，结合
11、零点存在性定理可得出结果. 【详解】 由表可知(1) (2)0,(2) (3)0ffff， 由零点存在性定理可知 f（x）一定存在零点的区间是（2，3）， 故选：C. 7（2021 江西赣州市 高一期末） 若函数 24xf xx的零点所在区间为,1k kkZ， 则k的值是 （ ） A1 B2 C3 D4 【答案】A 【分析】 根据函数 24xf xx在 R 上递增，利用零点存在定理判断零点所在区间即可. 【详解】 因为函数 24xf xx在 R 上递增， 且 212 1 410,222420ff ， 所以函数的零点在区间1,2内， 又因为函数的零点在区间,1k kkZ内， 所以k的值是 1 故
12、选：A 8（2021 陕西西安市 西安中学高三其他模拟（理）函数3yx和212xy存在公共点00,P x y，则0 x的范围为（ ） A0,1 B1,2 C2,3 D3,4 【答案】B 【分析】 构造函数 2312xf xx，结合函数单调性和零点存在定理可选出正确答案. 【详解】 解：由题意知， 23102xfxx有解， 04,11,27fff， 因为 f x在R上连续且在R上单调递增，有 120ff，则解的范围为1,2， 故选:B. 9（2021 浙江高一期末）函数2lg55yxx的零点是1tanx和2tanx，则tan()（ ） A53 B52 C52 D53 【答案】D 【分析】 由已知
13、结合方程的根与系数 关系及两角和的正切公式即可求解 【详解】 解：由2lg550yxx可得2551xx， 即2540 xx， 由题意可得，tantan5，tantan4g， 故tantan55tan()1tantan143 故选：D 10（2021 浙江高一期末）若关于 x 的方程94 340 xxa有实数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A4, B, 4 C8, D, 8 【答案】D 【分析】 令3xt （0t ），则原方程等价于关于t的一元二次方程在0,t上有解，分离a，利用基本不等式和不等式的性质求值域即可. 【详解】 解：令3xt （0t ），则原方程等价于2440tat 在0,t上
14、有解. 则 a24tt4 （t+4t）4， 因为 t+4t4，所以24tt48当且仅当 t2，即 x3log 2时取等号 所以 a 的范围为（，8 故选：D. 【点睛】 思路点睛：本题考查有关二次函数的复合函数的问题，先换元转化为一元二次方程有解的问题，然后再根据有解问题进行参变分离解题. 11 （2021 全国高三其他模拟） 若函数 4log1 ,13,1xxxf xm x存在 2 个零点， 则实数m的取值范围为 （ ） A3,0 B1,0 C0,1 D3, 【答案】A 【分析】 分段函数 f(x)在(1，+)上单调递增，且有一个零点，在(-，1上用数形结合法探讨有一个零点即可得解. 【详解
15、】 因函数 f(x)在(1，+)上单调递增，且 f(2)=0，即 f(x)在(1，+)上有一个零点， 函数 4log1 ,13,1xxxf xm x存在 2 个零点，当且仅当 f(x)在(-，1有一个零点， x1 时，( )03xf xm ，即函数3xy 在(-，1上的图象与直线 y=m 有一个公共点， 在同一坐标系内作出直线 y=m 和函数3 (1)xyx 的图象，如图： 而3xy 在(-，1上单调递减，且有330 x ，则直线 y=m 和函数3 (1)xyx 的图象有一个公共点，30m . 故选：A 12（2021 广东梅州市 高三二模）设1x，2x，3x均为正数，且1212log0 xx
16、，22212log0 xx，32312 log0 xx，则（ ） A123xxx B321xxx C312xxx D213xxx 【答案】A 【分析】 根据题中条件，得到1x，2x，3x分别为函数2logyx与2xy ，2xy，2xy交点的横坐标，利用数形结合的方法，即可得出结果. 【详解】 由1212log0 xx，22212log0 xx，32312 log0 xx， 可得121log2xx ，222log2xx ，323log2xx， 因此1x，2x，3x分别为函数2logyx与2xy ，2xy，2xy交点的横坐标， 在同一直角坐标系中作出函数2logyx，2xy ，2xy，2xy的大致
17、图象如下： 由图象易知，123xxx. 故选：A. 13（2020 上海高一专题练习）若函数|1|( )2xf xm 的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是_ 【答案】01m 【分析】 将函数|1|( )2xf xm 的图象与x轴有交点，转化为函数|1|,12xmyy的图象有交点，利用数形结合法求解. 【详解】 因为函数|1|( )2xf xm 的图象与x轴有交点， 所以方程|1|12xm有根， 所以函数|1|,12xmyy的图象有交点， 在同一坐标系中作出|1|,12xmyy的图象，如图所示： 由图象知：01m， 所以实数m的取值范围是(0,1 14（2021 福建厦门市 高三二模）已知函
18、数21,0,( )log,0 xxf xx x则函数 yff x的所有零点之和为_. 【答案】12 【分析】 利用分段函数，分类讨论，即可求出函数 yff x的所有零点，从而得解 【详解】 解：0 x时，10 x ，1x，由( )1f x ，可得11 x或2log1x ，2x 或12x ； 0 x时，2log0 x ，1x ，由( )1f x ，可得1 1x 或2log1x ，0 x或2x； 函数 yff x的所有零点为2，12，0，2，所以所有零点的和为1120222 故答案为：12 一、单选题 1（2020 天津高考真题）已知函数3,0,( ),0.xxf xxx若函数2( )( )2()
19、g xf xkxxkR恰有 4 个零点，则k的取值范围是（ ） A1,(2 2,)2 U B1,(0,2 2)2 U C(,0)(0,2 2)U D(,0)(2 2,)U 【答案】D 【分析】 由(0)0g，结合已知，将问题转化为|2|ykx与( )( )|f xh xx有3个不同交点，分0,0,0kkk三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】 注意到(0)0g，所以要使( )g x恰有 4 个零点，只需方程( )|2|f xkxx恰有 3 个实根 即可， 令( )h x ( )|f xx，即|2|ykx与( )( )|f xh xx的图象有3个不同交点. 因为2,0( )( )1,0
20、xxf xh xxx， 当0k 时，此时2y ，如图 1，2y 与( )( )|f xh xx有1个不同交点，不满足题意； 当0k 时，如图 2，此时|2|ykx与( )( )|f xh xx恒有3个不同交点，满足题意； 当0k 时，如图 3，当2ykx与2yx=相切时，联立方程得220 xkx， 令0 得280k ，解得2 2k （负值舍去），所以2 2k . 综上，k的取值范围为(,0)(2 2,)U. 故选：D. 【点晴】 本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 2（2020 全国高考真题（理）若242log42logabab，则（ ） A2ab
21、B2ab C2ab D2ab 【答案】B 【分析】 设2( )2logxf xx，利用作差法结合( )f x的单调性即可得到答案. 【详解】 设2( )2logxf xx，则( )f x为增函数，因为22422log42log2logabbabb 所以( )(2 )f afb2222log(2log 2 )abab22222log(2log 2 )bbbb21log102 ， 所以( )(2 )f afb，所以2ab. 2( )()f af b22222log(2log)abab222222log(2log)bbbb22222logbbb， 当1b时，2( )()20f af b，此时2( )
22、()f af b，有2ab 当2b时，2( )()10f af b ，此时2( )()f af b，有2ab，所以 C、D 错误. 故选：B. 【点晴】 本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题. 3 （2019 浙江高考真题） 已知, a bR，函数32,0( )11(1),032x xf xxaxax x，若函数( )yf xaxb恰有三个零点，则 A1,0ab B1,0ab C1,0ab D1,0ab 【答案】C 【分析】 当0 x时，( )(1)yf xaxbxaxba xb最多一个零点；当0 x时，32321111( )(1)(1)32
23、32yf xaxbxaxaxaxbxaxb，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得 【详解】 当0 x时，( )(1)0yf xaxbxaxba xb，得1bxa；( )yf xaxb最多一个零点； 当0 x时，32321111( )(1)(1)3232yf xaxbxaxaxaxbxaxb， 2(1)yxax， 当1 0a ，即1a时，0y，( )yf xaxb在0，)上递增，( )yf xaxb最多一个零点不合题意； 当10a ，即1a 时，令0y 得1xa，)，函数递增，令0y得0 x，1)a ，函数递减；函数最多有 2 个零点； 根据题意函数( )yf xaxb恰
24、有 3 个零点函数( )yf xaxb在(,0)上有一个零点， 在0，)上有 2 个零点， 如图： 01ba且32011(1)(1)(1)032baaab ， 解得0b ，10a，310(116,)baa 故选C 【点睛】 遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及, a b两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底. 4（2019 全国高考真题（理）关于函数( )sin |sin |f xxx有下述四个结论： f(x)是偶函数 f(x)在区间（2,）单调递增 f(x)在, 有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C
25、D 【答案】C 【分析】 化简函数 sinsinf xxx，研究它的性质从而得出正确答案 【详解】 sinsinsinsin,fxxxxxf xf xQ为偶函数，故正确当2x时， 2sinf xx， 它在区间,2单调递减， 故错误 当0 x时， 2sinf xx， 它有两个零点：0 ；当0 x 时， sinsin2sinf xxxx，它有一个零点：，故 f x在, 有3个零点：0 ， 故错误 当2, 2xkkkN时， 2sinf xx； 当2,22xkkk N时， sinsin0f xxx，又 f x为偶函数， f x的最大值为2，故正确综上所述， 正确，故选 C 【点睛】 画出函数 sins
26、inf xxx的图象，由图象可得正确，故选 C 5（2021 北京高考真题）已知函数( )lg2f xxkx，给出下列四个结论： 若0k ，则( )f x有两个零点； 0k ，使得( )f x有一个零点； 0k ，使得( )f x有三个零点； 0k ，使得( )f x有三个零点 以上正确结论得序号是_ 【答案】 【分析】 由 0f x 可得出lg2xkx，考查直线2ykx与曲线 lgg xx的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【详解】 对于，当0k 时，由 lg20f xx，可得1100 x 或100 x ，正确； 对于，考查直线2ykx与曲线lg01yxx
27、相切于点, lgP tt， 对函数lgyx 求导得1ln10yx ，由题意可得2lg1ln10kttkt ，解得100100lgetkee ， 所以，存在100lg0kee ，使得 f x只有一个零点，正确； 对于，当直线2ykx过点1,0时，20k，解得2k ， 所以，当100lg2eke 时，直线2ykx与曲线lg01yxx有两个交点， 若函数 f x有三个零点，则直线2ykx与曲线lg01yxx有两个交点， 直线2ykx与曲线lg1yx x有一个交点，所以，100lg220ekek ，此不等式无解， 因此，不存在0k ，使得函数 f x有三个零点，错误； 对于，考查直线2ykx与曲线lg
28、1yx x相切于点,lgP tt， 对函数lgyx求导得1ln10yx ，由题意可得2lg1ln10kttkt，解得100lg100teeke， 所以，当lg0100eke时，函数 f x有三个零点，正确. 故答案为：. 【点睛】 思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围 6（2019 江苏高考真题）设( ), ( )f x g x是定义在R上
29、的两个周期函数，( )f x的周期为 4，( )g x的周期为 2，且( )f x是奇函数.当2(0,x时，2( )1 (1)f xx，(2),01( )1,122k xxg xx， 其中0k .若在区间(0 9，上，关于x的方程( )( )f xg x有 8 个不同的实数根，则k 的取值范围是_. 【答案】12,34. 【分析】 分别考查函数 f x和函数 g x图像的性质，考查临界条件确定 k 的取值范围即可. 【详解】 当0,2x时，2( )11 ,f xx即2211,0.xyy 又( )f x为奇函数， 其图象关于原点对称， 其周期为4， 如图， 函数( )f x与( )g x的图象，
30、 要使( )( )f xg x在0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可. 当1g( )2x 时，函数( )f x与( )g x的图象有2个交点； 当g( )(2)xk x时，( )g x的图象为恒过点2,0的直线， 只需函数( )f x与( )g x的图象有6个交点.当( )f x与( )g x图象相切时， 圆心1,0到直线20kxyk的距离为1， 即2211kkk， 得24k ， 函数( )f x与( )g x的图象有3个交点； 当g( )(2)xk x过点1,1（ ）时， 函数( )f x与( )g x的图象有6个交点， 此时1 3k， 得13k . 综上可知，满足( )( )f xg x在0,9上有8个实根的k的取值范围为1234，. 【点睛】 本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.
