1、 7.2正弦、余弦 专项练习一、单选题1（2021·广西桂林·中考真题）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角的正弦值是（）ABCD2（2021·山东滨州·中考真题）如图，是的外接圆，CD是的直径若，弦，则的值为（ ）ABCD3（2021·云南·中考真题）在中，若，则的长是（ ）ABC60D804（2020·河南·中考真题）如图，在中，边在轴上，顶点的坐标分别为和将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（ ）ABCD5（2020·江苏扬州·中考真题
2、）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）ABCD6（2021·湖北宜昌·中考真题）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）ABCD7（2021·福建·中考真题）如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D若，则等于（ ）ABCD8（2021·广东广州·中考真题）如图，在中，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（ ）ABCD9（2019·湖北宜昌·中考真题）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶
3、点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）ABCD10（2021·四川泸州·中考真题）在锐角ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立在ABC中，若A=75°，B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）ABCD二、填空题11（2020·江苏扬州·中考真题）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长_cm12（2021·浙江·中考真题）如图，已知在中，则的值是_13（2021·辽宁本溪·中考真题）如图，由边长
4、为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C和点D，则_14（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在矩形中，垂足为点若，则的长为_15（2020·山东滨州·中考真题）如图，是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F，G，H，ED与相交于点M，则sinMFG的值为_16（2020·广西·中考真题）如图，在RtABC中，C90°，AB13，AC5，则cosA的值是_17（2020·湖北襄阳·中考真题）在O中，若弦垂直平分半径，则弦所对的圆周角等于_°18（2020
5、3;山东潍坊·中考真题）如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F若，则_19（2020·山东菏泽·中考真题）如图，在中，点为边的中点，连接，若，则的值为_20（2020·江苏苏州·中考真题）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线过点作，交射线于点，过点作，交于点设，则_21（2021·甘肃武威·中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，则_22（2021·江苏常州
6、83;中考真题）如图，在中，点D、E分别在、上，点F在内若四边形是边长为1的正方形，则_三、解答题23（2021·湖南湘潭·中考真题）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北湘江的下游宋家桥万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作，用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼的高
7、度（结果保留整数，）24（2021·湖北武汉·中考真题）如图，是的直径，是上两点，是的中点，过点作的垂线，垂足是连接交于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的值25（2021·湖北荆门·中考真题）如图，在中，点E在BC边上，过A，C，E三点的交AB边于另一点F，且F是弧AE的中点，AD是的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点 （1）求证：四边形CDMF为平行四边形；（2）当时，求的值26（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若（1）求证：
8、是的切线；（2）若的半径为8，求的长27（2021·江苏无锡·中考真题）如图，已知锐角中，（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则_（如需画草图，请使用图2）参考答案1D【分析】作PMx轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解【详解】解：作PMx轴于点M，P（3，4），PM=4，OM=3，由勾股定理得：OP=5，故选：D【点拨】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜边之比2A【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角等于90
9、6;和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到ABC=ADC，从而可以得到cosABC的值【详解】解：连接AD，如右图所示，CD是O的直径，CD=10，弦AC=6，DAC=90°，AD=8，cosADC=，ABC=ADC，cosABC的值为，故选：A【点拨】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出cosADC的值，利用数形结合的思想解答3D【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解【详解】解：ABC=90°，sinA=，AC=100，BC=1
10、00×3÷5=60，AB=80，故选D【点拨】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键4B【分析】先画出落在上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解的长度，结合正方形的性质，从而可得答案【详解】解：由题意知： 四边形为正方形， 如图，当落在上时， 由 故选 【点拨】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键5A【分析】首先根据圆周角定理可知，ABC，在RtACB中，根据锐角三角函数的定义求出ABC的正弦值【详解】和ABC所对的弧长都是，根据圆周角定理知，ABC，在RtACB中，AB=根
11、据锐角三角函数的定义知，sinABC，=，故选A【点拨】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题6B【分析】作ADBC于D，利用勾股定理求出AB的长，再根据公式计算即可【详解】解：作ADBC于D，由图可知：AD=3，BD=3，在RtABD中， =，故选：B【点拨】此题考查求角的余弦值，勾股定理求边长，正确构建直角三角形并熟记余弦值公式是解题的关键7D【分析】连接OC，CP，DP是O的切线，根据定理可知OCP90°，CAPPAD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求CAD=
12、COP，在RtOCP中求出即可【详解】解：连接OC，CP，DP是O的切线，则OCP90°，CAPPAD，CAD=2CAP，OA=OCOACACO，COP2CAOCOPCADOC=3在RtCOP中，OC=3，PC=4OP=5= 故选：D【点拨】本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解8C【分析】由勾股定理求出，并利用旋转性质得出，则可求得，再根据勾股定理求出，最后由三角形函数的定义即可求得结果【详解】解：在中，由勾股定理得：绕点A逆时针旋转得到，在中，由勾股定理得故选：C【点拨】本题考查了求角的三角形函数值，掌握三角形函数的概念并利用勾股定理及旋转的性质求解是解
13、题的关键9D【分析】过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值【详解】如图，过作于，则，AC5故选D【点拨】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键10A【分析】方法一：先求出C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式S圆=方法二：设ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作ODAB于D，由三角形内角和可求C=60°，由圆周角定理可求AOB=2C=120°，由等腰三角形性质，OAB=OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=【详解】解:方法一：A=75°，B=45°，C=18
14、0°-A-B=180°-75°-45°=60°，有题意可知，S圆=方法二：设ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作ODAB于D，A=75°，B=45°，C=180°-A-B=180°-75°-45°=60°，AOB=2C=2×60°=120°，OA=OB，OAB=OBA=，ODAB，AB为弦，AD=BD=，AD=OAcos30°，OA=，S圆=故答案为A【点拨】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理
15、，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键11【分析】根据正六边形的性质，可得ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案【详解】解：如图：作BDAC于D由正六边形，得ABC=120°，AB=BC=a，BCD=BAC=30°由AC=3，得CD=cosBCD=，即，解得a=，故答案为：【点拨】本题考查正多边形和圆，利用正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数12【分析】在直角三角形中
16、，锐角的正弦=锐角的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案【详解】解： ， 故答案为：【点拨】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键13【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，再利用正切的定义求解即可【详解】解：，故答案为：【点拨】本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键143【分析】在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题【详解】解：在中，在矩形中，故答案为：3【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键1
17、5【分析】如图（见解析），先根据正方形内切圆的性质得出圆心O的位置，再根据正方形的性质、圆的切线的性质可得，从而可得四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形，又根据矩形的性质可得，设正方形ABCD的边长为，从而可得，然后在中，根据正弦三角函数的定义可得，最后根据圆周角定理可得，由此即可得出答案【详解】如图，连接EG、HF由正方形内切圆的性质得：EG与HF的交点即为圆心O四边形ABCD是正方形由圆的切线的性质得：四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形，设正方形ABCD的边长为，则的半径为在中，由圆周角定理得：则故答案为：【点拨】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、正弦三角函数、正方形的性质
18、等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键16【分析】根据余弦的定义解答即可.【详解】解：在RtABC中，cosA，故答案为：.【点拨】此题考查解直角三角形，正确掌握三角函数的计算公式是解题的关键.17120°或60°【分析】根据弦垂直平分半径及OB=OC证明四边形OBAC是矩形，再根据OB=OA，OE=求出BOE=60°，即可求出答案.【详解】设弦垂直平分半径于点E，连接OB、OC、AB、AC，且在优弧BC上取点F，连接BF、CF，OB=AB，OC=AC，OB=OC，四边形OBAC是菱形，BOC=2BOE，OB=OA，OE=,cosBOE=，BOE=60&
19、#176;，BOC=BAC=120°，BFC=BOC=60°， 弦所对的圆周角为120°或60°，故答案为：120°或60°.【点拨】此题考查圆的基本知识点：圆的垂径定理，同圆的半径相等的性质，圆周角定理，菱形的判定定理及性质定理，锐角三角函数，熟练掌握圆的各性质定理是解题的关键.18【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE，BC=AD=8，证得RtEGFRtEAG，求得，再利用勾股定理得到DE的长，即可求解【详解】矩形中，GC=4，CE =3，C=90，GE=，根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，AGB=A
20、GF，EGC=EGF，GFE =C=90，BG=GF=GC=4，BC=AD=8，AGB+AGF+EGC+EGF=180，AGE=90，RtEGFRtEAG，即，DE=，故答案为：【点拨】本考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键19【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DC=DB，DCB=B，根据锐角三角函数的定义即可求解【详解】ACB=90°，BC=4，CD=3，点D是AB边的中点，DC=DB，DCB=B，AB=2CD=6，故答案为：【点拨】本题考查了直角三角形的
21、性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和三角函数的定义是解题的关键20【分析】连接AB交OD于点H，过点A作AGON于点G，根据等腰三角形的性质得OHAB，AH=BH，从而得四边形ABED是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG的值，进而即可求解【详解】连接AB交OD于点H，过点A作AGON于点G，由尺规作图步骤，可得：OD是MON的平分线，OA=OB，OHAB，AH=BH，DEAB，四边形ABED是平行四边形，AB=DE=12，AH=6，OH=，OBAG=ABOH，AG=，=故答案是：【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，平行四边
22、形的判定和性质定理，勾股定理，锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键216【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 再利用锐角三角函数依次求解即可得到答案【详解】解： 是边的中点， 矩形， 故答案为：【点拨】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键22【分析】连接AF，CF，过点F作FMAB，由，可得FM=1，再根据锐角三角函数的定义，即可求解【详解】解：连接AF，CF，过点F作FMAB，四边形是边长为1的正方形，C=90°，AB=， FM=1，BF=，故答案是：【点拨
23、】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握”等积法“是解题的关键23米【分析】利用俯角定义，结合正弦、正切的定义、含30°角的直角三角形的性质，分别解得的长，再计算AD的长即可【详解】解：在中，中，（米）答：万楼主楼的高度为米【点拨】本题考查解直角三角形，涉及俯角问题、含30°角的直角三角形，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键24（1）见解析；（2）【分析】（1）连接交于点由点是的中点，根据垂径定理DG=BG，可证四边形是矩形，可得即可（2）连接，设，设，可得证明可得，即解得， 可求，在中，由勾股定理得，解得，根据余弦三角函数定义求即可【详解】1）证明：连接
24、交于点点是的中点，BD为弦，OC为半径，DG=BG，是的直径，四边形是矩形，ECOC，又OC为半径，是的切线（2）解：连接，设，设，由（1）得，,是的直径，解得，（不符合题意，舍去），在中，由勾股定理得，解得，【点拨】本题考查圆的切线判定，直径所对圆周角性质，垂径定理，三角形相似判定与性质，勾股定理，余弦三角函数定义，利用相似三角形的性质与勾股定理构造方程是解题关键25（1）见解析；（2）【分析】（1）连接，证明，即可得到结论；（2）证明得，设，那么，根据勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可【详解】解：（1）证明：连接，则， ，F是的中点， ，；，即，四边形CDMF是平行四边形（2）由（1）
25、可知：四边形ACDF是矩形，由，BM/CD，设，那么，在中，在中，在中，【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键26（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OE，证明OEEF即可；（2）由证得，运用正弦的概念可得结论【详解】解：（1）证明：连接OE，如图，OA=OEOAE=OEAEF=PF，EPF=PEFAPH=EPF，APH=EPF，AEF=APHCDAB，AHC=90°OAE+APH=90°OEA+AEF=90°OEF=90°OEEFOE是的半径EF是圆的切线，（2）CDAB是直角三角形
26、设，则 由勾股定理得， 由（1）得，是直角三角形 ，即 解得，【点拨】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键27（1）见详解；（2）【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤，即可作的平分线，作出AC的中垂线交CD于点O，再以点O为圆心，OC为半径，画圆，即可；（2）连接OA，根据等腰三角形的性质得AD=BD=，CDAB，利用勾股定理求出OD，BC，进而即可求解【详解】解：（1）如图所示：（2）连接OA，的平分线，AD=BD=，CDAB，的半径为5，OD=，CD=CO+OD=5+=，BC=，故答案是：【点拨】本题主要考查尺规基本作图，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，理解三角形外接圆的圆心是三角形各条边中垂线的交点，是解题的关键
