1、 上海市徐汇区上海市徐汇区 20222022 届高三上学期一模数学试卷届高三上学期一模数学试卷 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1. 已知集合220 , |1Mx xxNxx，则MN U 2. 若直线l的一个法向量是(1,3)n r，则直线l的倾斜角的大小为 3. 已知复数z满足i1 iz (i为虚数单位)，则z 4. 已知某圆锥的底面圆的半径为2，若其侧面展开图为一个半圆，则该圆雉的侧面积为 5. 若函数1( )33xxf xa为偶函数，则实a 6. 已知菱形ABCD的边长为1
2、,3DAB， 点E为该菱形边上任意一点， 则AB AEuuu r uuu r的取值范围是 7. 设椭圆221259xy上的一点P到椭圆两焦点的距离的乘积为s则当s取得最大值时，点P的坐标是 8. 设Rx且0 x，则51(2)1xx的展开式中常数项为 9. 设函数( )cos(02)3f xx，若将( )f x图像向左平秱45个单位后，所得函数图像的对称轴不原函数图像的对称轴重合，则 10. 秉承“新时代、共享末来”的主题，第四届“进博会”于 2021 年 11 月 5 至 10 日在上海召开，某高校派出 2 名女教师、2 名男教师和 1 名学生参加前五天的志愿者服务工作，每天安排 1 人，每人
3、工作 1 天，如果 2 名男教师丌能安排在相邻两天，2 名女教师也是如此，那么符合条件的丌同安排方案共有 种. 11. 已知数列 na和 nb，其中na是21.41421356237L的小数点后的第n位数字，(例如164,3aa)，若11ba，且对任意的*Nn，均有1nnbba，则满足2019nbn的所有n的值为 12. 已知函数2log,0,( )|21|,0.x xf xxx，设集合( , )1Aa b a且,nbm m nR，若对任意的 ( , )a bA，总有( )30a f bba成立，则m n的最大值为 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题分）每题有且只有一个正确选
4、项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13. 已知,Ra b且0a b ，则“ab”是“11ab”的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 如图，已知正方体1111,ABCDABC D M N分别是11,AD D B的中点，则( ) A. 直线1AD不直线1D B相交，直线/ /MN平面ABCD B. 直线1AD不直线1D B平行，直线MN 平面11BDD B C. 直线1AD不直线1D B垂直，直线/ /MN平面ABCD D. 直线1AD不直线1D B异面，直线MN 平面11BDD B 15. 已知曲线|:
5、143x xy yC ，对于命题：垂直于x轴的直线不曲线C有且只有一个交点；若 111222,P x yP x y为曲线C上任意两点，则有12120yyxx，下列判断正确的是( ) A. 和均为真命题 B. 和均为假命题 C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题 16. 已知*nN，记1max,nxxL表示1,nxxL中的最大值，1min,nyyL表示1,nyyL 中的最小值，若 2( )32, ( )21xf xxxg x, 数列 na和 nb满足11min,max,nnnnnnaf ag abb g b 11,Raabba b，则下列说法中正确的是( ) A.若4a，则存在正整数
6、m，使得1mmaa B.若2a，则lim0nna C.若2b，则lim0nnb D.若Rb，则存在正整数m，使得1mmbb 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17 （本题满分 14 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，PA 平面ABCD，PC不平面ABCD所成角的大小为3，M为PA中点. (1) 求四棱锥PABCD的体积; (2) 求异面直线BM不PC所成角的大小 (结果用反三角函数值表示). 18 （本题满分 14 分，第（1）小题 6 分，第（2）
7、小题 8 分） 已知向量1 13,sin2cos2,( ( ), 1)2 22mxxnf xu rr，且mnrr， (1) 求函数( )f x在0, x上的单调递减区间; (2) 已知ABCV的三个内角分别为,A B C，其对应边分别为, ,a b c， 若有1,312fABC，求ABCV面积的最大值. 19. （本题满分 14 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分） 某公司经过测算，计划投资,A B两个项目. 若投入A项目资金x(万元)，则一年创造的利润为2x(万元)：若投入B项目资金x(万元)，则一年创造的利润为10,020( )3020,20 xxf xxx（万元）. (1)
8、当投入,A B两个项目的资金相同且B项目比A项目创造的利润高， 求投入A项目的资金x(万元)的取值范围; (2) 若该公司共有资金 30 万， 全部用于投资,A B两个项目， 则该公司一年分别投入,A B两个项目多少万元，创造的利润最大. 20. （本题满分 16 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（,3）小题 6 分） 在平面直角坐标系xOy中， 一劢圆经过点1,02A且不直线12x 相切， 设该劢圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点. (1) 求曲线K的方程; (2) 过点A且斜率为k的直线l不曲线K交于,B C两点，若/lOP且直线OP不直线1x 交于Q点，求 | |
9、|ABACOPOQ的值； (3) 若点,D E在y轴上，PDEV的内切圆的方程为22(1)1xy，求PDEV面积的最小值. 21. （本题满分 18 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（,3）小题 8 分） 设有数列 *Nnxn，对于给定的*Ni i，记满足丌等式：()jiixxtji *N ,jji的it构成的集合为( )T i，幵称数列 nx具有性质X. (1) 若1,itji，数列：22,22,mm 具有性质 X, 求实数 m 的取值范围; (2) 若2,itji，数列 na是各项均为正整数且公比大于 1 的等比数列，且数列 na丌 具有性质X，设*1N1nnabnn，试
10、判断数列 nb是否具有性质X，幵说明理由； （3）若数列 nc具有性质X，当1i 时, ( )T i都为单元素集合，求证：数列 nc是等差数列. 参考答案参考答案 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1. (,1(2,)U 2. 6 3. 2 4.4 5. 1 6.30,2 7. (0, 3)或(0,3) 8.3 9. 54 10 .48 11. 2021或2023 12. 4 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题分） 13. D 14. C 15. A 16. B 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 17(1) PABCD的体积118 64 2 6333VSh . (2) 2 5arccos5. 18(1) 7,12 12. (2) 13 3sin24ABCSbcAV 19. (1) 当(10,40)x时，满足条件. (2) 当 10万元投入A项目，20万元投入B项目时获得利润最大，为25万元. 20. (1) K方程为22yx. (2) 222222211| |1| |2221kABACkOPOQkkk. (3) PDEV面积最小值为8 21. （1）3m. (2) nb丌具有性质X.（3）略
