1、湖北省宜昌市湖北省宜昌市 2021 年年中考数学冲刺模拟试卷中考数学冲刺模拟试卷 一、选择题一、选择题 1下列图案是我国几家银行的标志，其中是中心对称图形的为（ ） A B C D 2下列数据中，是近似数的为（ ） A一年有 12 个月 B药店每人限购 10 个口罩 C每间寝室住 3 人 D某校大约有 2000 名师生 3如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 4若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax5 Bx2 Cx5 Dx2 5如图，是一个正方体的表面展开图，则数字“2”所对的面是（ ） A1 B7 C快 D乐 6一批上衣的进价为每件 a 元，在进价的基础上提高 50
2、%后作为零售价，由于季节原因，打 6 折促销，则打折后每件上衣的价格为（ ） Aa 元 B0.9a 元 C0.92a 元 D1.04a 元 7如图，在ABC 中，CDE64，A28，DE 垂直平分 BC；则ABD（ ） A100 B128 C108 D98 8如图，以ABC 的顶点 B 为圆心，BA 的长为半径画弧，交 BC 边于点 D，连接 AD若B50，C35，则DAC 的度数是（ ） A15 B30 C50 D65 9如图，AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上若D50，则BAC 等于（ ） A25 B40 C50 D55 10 如图， 测得一商场自动扶梯的长为l， 自动扶梯与地面所成
3、的角为， 则该自动扶梯到达的高度h为 （ ） Alsin B Clcos D 11在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量 m 的某种气体，当改变容积 V 时，气体的密度 也随之改变， 与 V 在一定范围内满足 ，它的图象如图所示，则该气体的质量 m 为（ ） A1.4kg B5kg C7kg D6.4kg 二、填空题二、填空题 12化简： 13某公司招聘员工，对应聘者进行三项素质测试：创新能力、综合知识、语言表达，某应聘者三项得分分别为 70 分、80 分、90 分，如果将这三项成绩按照 5：3：2 计入总成绩，则他的总成绩为 分 14如图，将ABC 沿 BC 方向平移 3cm 得到DE
4、F，若ABC 的周长为 20cm，则四边形 ABFD 的周长为 15如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1.5，0） ，B（0，2） ，将ABO 顺着 x 轴的正半轴无滑动的滚动， 第一次滚动到的位置， 点 B 的对应点记作 B1； 第二次滚动到的位置， 点 B1的对应点记作 B2；第三次滚动到的位置， 点 B2的对应点记作 B3； ； 依次进行下去， 则点 B2020的坐标为 三、解答题三、解答题 16已知 m+2n，求代数式的值 17如图，直线 ab，AB 与 a、b 分别交于点 A、B，且 ACAB，AC 交直线 b 于点 C （1）若160，求2 的度数； （2）若 AC6，AB8，
5、求直线 a 与 b 的距离 18如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图 （也称赵爽弦图 ） ，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形较短的直角边为 a，较长的直角边为 b，试求（a+b）2的值 19学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示某班学生在一节数学课中的注意力指数 y 随上课时间 x（分钟）的变化图象如图上课开始时注意力指数为 30，第 2 分钟时注意力指数为 40，前 10分钟内注意力指数 y 是时间 x 的一次函数10 分钟以后注意力指数 y 是 x 的反比例函数 （1）
6、当 0 x10 时，求 y 关于 x 的函数关系式； （2）当 10 x40 时，求 y 关于 x 的函数关系式； （3）如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于 50，为了保证教学效果本节课讲完这道题不能超过多少分钟？ 20 为阻断新冠疫情向校园蔓延， 确保师生生命安全和身体健康， 教育部通知， 2020 年春季学期延期开学，利用网上平台， “停课不停学” ，某校对九年级全体学生数学线上学习情况进行调查，随机抽取部分学生的 4 月份诊断性测试成绩，按照从高分到低分记为 A、B、C、D 四个等级，根据调查的数据绘制成条形统计图和扇形统计图，请根据图中的信息，解答下列问题： （1） 该
7、校共抽查了 名同学的数学测试成绩， 扇形统计图中 A 等级所占的百分比 a ； （2）补全条形统计图； （3）若该校九年级共有 460 名同学，请估计该校九年级学生数学测试成绩优秀（测试成绩 B 级及以上为优秀，含 B 级）约有 名； （4）该校老师想从两男、两女共四位学生中随机选择两位了解平时线上学习情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率 21如图，在ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，E、F 分别是 BO、DO 的中点，G、H 分别是 AD、BC的中点，顺次连接 G、E、H、F （1）求证：四边形 GEHF 是平行四边形； （2）若 BD2AB 探究四边形 GE
8、HF 的形状，并说明理由； 当 AB2，ABD60时，求四边形 GEHF 的面积 22 A 公司和 B 公司是分别拥有 96 名和 100 名工人的小型企业， 为了缓解下岗人的再就业问题， 两企业 2018年 1 月都吸收了部分下岗人员并向银行贷款：A 公司吸收了 12 名下岗人员，得到的贷款额和两年的补贴费共 62.4 万元； B 公司也吸收了 12 名下岗人员， 但因贷款少， 两年的补贴费比 A 公司的补贴费少 20% 国家 对 吸 收 下 岗 人 员 的 企 业 按 季 度 （ 一 年 四 个 季 度 ） 给 予 补 贴 ， 每 季 度 补 贴 费 用 （1）2018 年 1 月 A 公
9、司得到的贷款是多少？ （2）2018 年 1 月 B 公司得到的贷款是多少？ （3）银行规定：企业还贷款，应每年一还，还本金和利息，若第一年没还，则第一年的本金和利息作为第二年的贷款本金计算， 以此类推， 假设两公司第一年都没有还贷款的本金和利息， 而是在两年后即 2020年 1 月才一次性还清本金和利息，B 公司还贷款的本金和利息比 A 公司少 12.1 万元，求企业贷款年利率 （利息本金年利率） 23如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，且 BCBO，D 是O 上一动点且在 AB 的上方，以CD 为边在 CD 的下方作正方形 CDFE，DF 和直径 AB 交于点 O，连接
10、 FO，DO，AD，延长 FO 交 AD于 H （1）如图 1，当 DF 经过 O 时，求ACD 的度数； （2）如图 2，若点 G 恰好是 OB 的中点，求证：OGDODC；求 tanDAB 的值 24如图所示，二次函数 yk（x1）2+2 的图象与一次函数 ykxk+2 的图象交于 A、B 两点，点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x、y 轴交于 C、D 两点，其中 k0 （1）求 A、B 两点的横坐标； （2）若OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值； （3）二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 E，是否存在实数 k，使得ODC2BEC，若存在，求出 k的值；若不存
11、在，说明理由 参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 1下列图案是我国几家银行的标志，其中是中心对称图形的为（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形故本选项正确； B、不是中心对称图形故本选项错误； C、不是中心对称图形故本选项错误； D、不是中心对称图形故本选项错误 故选：A 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 2下列数据中，是近似数的为（ ） A一年有 12 个月 B药店每人限购 10 个口罩
12、C每间寝室住 3 人 D某校大约有 2000 名师生 【分析】根据各个选项中的说法，可以判断其中的数据是近似数还是准确数 【解答】解：一年有 12 个月，这里的 12 是准确数，不是近似数，故选项 A 不符合题意； 药店每人限购 10 个口罩，这里的 10 是准确数，不是近似数，故选项 B 不符合题意； 每间寝室住 3 人，这里的 3 是准确数，不是近似数，故选项 C 不符合题意； 某校大约有 2000 名师生，这里的 2000 是近似数，故选项 D 符合题意； 故选：D 【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数的含义 3如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 【
13、分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：从左边看是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线 故选：C 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图 4若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax5 Bx2 Cx5 Dx2 【分析】根据分式有意义的条件可得 x50，再解即可 【解答】解：由题意得：x50， 解得：x5， 故选：C 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零 5如图，是一个正方体的表面展开图，则数字“2”所对的面是（ ） A1 B7 C快 D乐 【分析】根据几何体的展开图及应用展开图还原几何体的方法进
14、行求解即可得出答案 【解答】解：根据题意， 数字“2”所对的面是“7” 故选：B 【点评】本题主要考查了几何体的展开图的应用，熟练掌握几何体的展开图及应用展开图还原几何体的方法进行求解是解决本题的关键 6一批上衣的进价为每件 a 元，在进价的基础上提高 50%后作为零售价，由于季节原因，打 6 折促销，则打折后每件上衣的价格为（ ） Aa 元 B0.9a 元 C0.92a 元 D1.04a 元 【分析】根据题意，可以用含 a 的代数式表示出打折后每件上衣的价格，本题得以解决 【解答】解：由题意可得， 打折后每件上衣的价格为 a（1+50%）0.60.9a（元） ， 故选：B 【点评】本题考查列
15、代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式 7如图，在ABC 中，CDE64，A28，DE 垂直平分 BC；则ABD（ ） A100 B128 C108 D98 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案 【解答】解：DE 垂直平分 BC， BDDC， BDECDE64， ADB180646452， A28， ABD1802852100 故选：A 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，正确掌握相关定理是解题关键 8如图，以ABC 的顶点 B 为圆心，BA 的长为半径画弧，交 BC 边于点 D，连接 AD若B50，C35，则DAC 的度数是（
16、 ） A15 B30 C50 D65 【分析】根据三角形的内角和得出BAC180BC，根据等腰三角形两底角相等得出BADADB（180B）2，进而根据角的和差得出DACBACBAD30 【解答】解：B50，C35， BAC180BC95， ABBD， BADADB（180B）265， DACBACBAD956530， 故选：B 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键 9如图，AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上若D50，则BAC 等于（ ） A25 B40 C50 D55 【分析】求出ABC，证明ACB90即可解决问题 【解答】解：AB 是直径，
17、ACB90， ABCADC50， BAC905040， 故选：B 【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 10 如图， 测得一商场自动扶梯的长为l， 自动扶梯与地面所成的角为， 则该自动扶梯到达的高度h为 （ ） Alsin B Clcos D 【分析】利用三角函数的定义即可求解 【解答】解：sin， hlsin， 故选：A 【点评】本题考查了三角函数，正确理解三角函数的定义是关键 11在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量 m 的某种气体，当改变容积 V 时，气体的密度 也随之改变， 与 V 在一定范围内满足 ，它的图象如图所
18、示，则该气体的质量 m 为（ ） A1.4kg B5kg C7kg D6.4kg 【分析】由图象知点（5，1.4）在函数的图象上，根据待定系数法就可求得函数解析式求得 m 的值 【解答】解：， mV， 而点（5，1.4）在图象上， 代入得 m51.47（kg） 故选：C 【点评】本题考查了反比例函数的应用，关键是要由点的坐标求出函数的解析式 二、填空题二、填空题 12化简： x1 【分析】现将分子分母分解因式，然后约分即可 【解答】解：x1 故答案为：x1 【点评】本题考查了分式的约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系
19、数的约分 13某公司招聘员工，对应聘者进行三项素质测试：创新能力、综合知识、语言表达，某应聘者三项得分分别为 70 分、80 分、90 分，如果将这三项成绩按照 5：3：2 计入总成绩，则他的总成绩为 77 分 【分析】利用加权平均数的计算方法进行计算即可得出答案 【解答】解：他的总成绩为是77（分） 故答案为：77 【点评】此题考查了加权平均数的意义和计算方法，掌握计算方法是正确解答的关键 14如图，将ABC 沿 BC 方向平移 3cm 得到DEF，若ABC 的周长为 20cm，则四边形 ABFD 的周长为 26cm 【分析】利用平移的性质解决问题即可 【解答】解：由平移的性质可知：ADBE
20、CF3cm，ACDF， AB+BC+AC20cm， AB+BC+DF20cm， 四边形 ABFD 的周长AB+BC+CF+DF+AD20+626（cm） ， 故答案为 26cm 【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 15如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1.5，0） ，B（0，2） ，将ABO 顺着 x 轴的正半轴无滑动的滚动， 第一次滚动到的位置， 点 B 的对应点记作 B1； 第二次滚动到的位置， 点 B1的对应点记作 B2；第三次滚动到的位置， 点 B2的对应点记作 B3； ； 依次进行下去， 则点 B2020的坐标为 （4040， 0）
21、 【分析】先由点 A 和点 B 的坐标得出 OA、OB 的长，再由勾股定理得出 AB 的长，然后找出循环规律，则可求得答案 【解答】解：A（1.5，0） ，B（0，2） ， OA1.5，OB2， 在 RtAOB 中，AB2.5， 观察图形可得，点每 B 滚动 3 次，图形的形状与初始位置相同，且 B3的横坐标为：2+2.5+1.56， 202036731， B2020的横坐标为：6673+24040，纵坐标为 0 故答案为： （4040，0） 【点评】本题考查了规律型的点的坐标，数形结合并发现循环规律是解题的关键 三、解答题三、解答题 16已知 m+2n，求代数式的值 【分析】根据分式的混合运
22、算法则把原式化简，代入计算即可 【解答】解：原式（+） 2（m+2n） ， 当 m+2n时，原式2 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键 17如图，直线 ab，AB 与 a、b 分别交于点 A、B，且 ACAB，AC 交直线 b 于点 C （1）若160，求2 的度数； （2）若 AC6，AB8，求直线 a 与 b 的距离 【分析】 （1）由直线 ab，根据平行线的性质得出3160，再由 ACAB，根据垂直的定义即可得到结果； （2）过 A 作 ADBC 于 D，依据 SABCABACBCAD，即可求出 AD 【解答】解： （1）直线 ab， 3160， 又A
23、CAB， BAC90， 290330； （2）如图，过 A 作 ADBC 于 D，则 AD 的长即为直线 a 与 b 的距离 AC6，AB8， BC， SABCABACBCAD， AD， 直线 a 与 b 的距离为 【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离 18如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图 （也称赵爽弦图 ） ，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形较短的直角边为 a，较长的直
24、角边为 b，试求（a+b）2的值 【分析】先利用正方形的面积得到直角三角形的斜边的平方为 13，则 a2+b213，则利用大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积得到 2ab12，所以（a+b）2a2+2ab+b225 【解答】解：大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1， 直角三角形的斜边的平方为 13， 直角三角形较短的直角边为 a，较长的直角边为 b， a2+b213， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积， 4ab131，即 2ab12， （a+b）2a2+2ab+b213+1225 【点评】 本题考查了勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法有很多
25、种， 教材是采用了拼图的方法证明的 先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理 19学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示某班学生在一节数学课中的注意力指数 y 随上课时间 x（分钟）的变化图象如图上课开始时注意力指数为 30，第 2 分钟时注意力指数为 40，前 10分钟内注意力指数 y 是时间 x 的一次函数10 分钟以后注意力指数 y 是 x 的反比例函数 （1）当 0 x10 时，求 y 关于 x 的函数关系式； （2）当 10 x40 时，求 y 关于
26、 x 的函数关系式； （3）如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于 50，为了保证教学效果本节课讲完这道题不能超过多少分钟？ 【分析】 （1）根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式； （2）根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式； （3）分别令一次函数和反比例函数值大于等于 50 求得 x 的取值范围后相减即可得到答案 【解答】解： （1）当 0 x10 时，设 ykx+b 将（0，30） 、 （2，40）两点代入得：解得：k5，b30， 于是 y5x+30 （2）当 10 x40 时，设 y，将（10，80）代入得：m800 于是 y；
27、（3）当 0 x10 时，y5x+3050，解得：x4 （2）当 10 x40 时，y50；解得：x16 16412，所以，老师必须在 12 分钟以内讲完这道题 【点评】主要考查了函数的应用解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值 20 为阻断新冠疫情向校园蔓延， 确保师生生命安全和身体健康， 教育部通知， 2020 年春季学期延期开学，利用网上平台， “停课不停学” ，某校对九年级全体学生数学线上学习情况进行调查，随机抽取部分学生的 4 月份诊断性测试成绩，按照从高分到低分记为 A、B、C、D 四个
28、等级，根据调查的数据绘制成条形统计图和扇形统计图，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）该校共抽查了 100 名同学的数学测试成绩，扇形统计图中 A 等级所占的百分比 a 20% ； （2）补全条形统计图； （3）若该校九年级共有 460 名同学，请估计该校九年级学生数学测试成绩优秀（测试成绩 B 级及以上为优秀，含 B 级）约有 230 名； （4）该校老师想从两男、两女共四位学生中随机选择两位了解平时线上学习情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率 【分析】 （1）根据 C 级的人数是 40，所占的百分比，据此即可求得总人数；进而可求出扇形统计图中 A等级所占的百分比 a
29、 的值； （2）由（1）中的数据可求出 B 级的人数即可补全条形统计图； （3）用该校九年级的总人数乘以 A 级和 B 级所占的百分比即可得出答案； （4）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后利用概率公式求解 【解答】解： （1）本次抽样数学测试的学生人数是：40100%100（名） ； a100%20%， 故答案为：100，20%； （2）B 级的人数10020401030（名） ，补全条形统计图如图所示： （3）460230（名） ， 答：估计该校九年级学生数学测试成绩优秀（测试成绩 B 级及以上为优秀，含 B 级）约有 230 名
30、 故答案为：230； （4）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为 8， 所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是 【点评】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图以及用列表法或画树形图求随机事件的概率的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 21如图，在ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，E、F 分别是 BO、DO 的中点，G、H 分别是 AD、BC的中点，顺次连接 G、E、H、F （1）求证：四边形 GEHF 是平行
31、四边形； （2）若 BD2AB 探究四边形 GEHF 的形状，并说明理由； 当 AB2，ABD60时，求四边形 GEHF 的面积 【分析】 （1）由三角形中位线定理得 GFOA，GFOA，EHOC，EHOC，则 EHGF，EHGF，可得结论； （2）连接 GH，由（1）得四边形 GEHF 是平行四边形，再证四边形 ABHG 是平行四边形，得 ABGH，然后证 GHEF，即可得出结论； 由得 GHEFOBAB2，四边形 GEHF 是矩形，则EGF90，证ABO 是等边三角形，得OAAB2，再由勾股定理求出 GE，即可解决问题 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC， E
32、、F 分别为 BO、DO 的中点，G、H 分别是 AD、BC 的中点， GF 为AOD 的中位线，EH 为BOC 的中位线， GFOA，GFOA，EHOC，EHOC， EHGF，EHGF， 四边形 GEHF 是平行四边形； （2）解：四边形 GEHF 是矩形，理由如下： 连接 GH，如图所示： 由（1）得，四边形 GEHF 是平行四边形， 四边形 ABCD 是平行四边形， OBOD，ADBC，ADBC， G、H 分别是 AD、BC 的中点， AGBH，AGBH， 四边形 ABHG 是平行四边形， ABGH， E、F 分别是 BO、DO 的中点， BEOEOFDF， BD2EF， BD2AB，
33、EFAB， GHEF， 平行四边形 GEHF 是矩形； 由得：GHEFOBAB2，四边形 GEHF 是矩形， EGF90， ABD60， ABO 是等边三角形， OAAB2， 由（1）得：GFOA1， GE， 矩形 GEHF 的面积GEGF1 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形 GEHF 为平行四边形是解题的关键 22 A 公司和 B 公司是分别拥有 96 名和 100 名工人的小型企业， 为了缓解下岗人的再就业问题， 两企业 2018年 1 月都吸收了部分下岗人员并向银行贷款：A 公
34、司吸收了 12 名下岗人员，得到的贷款额和两年的补贴费共 62.4 万元； B 公司也吸收了 12 名下岗人员， 但因贷款少， 两年的补贴费比 A 公司的补贴费少 20% 国家 对 吸 收 下 岗 人 员 的 企 业 按 季 度 （ 一 年 四 个 季 度 ） 给 予 补 贴 ， 每 季 度 补 贴 费 用 （1）2018 年 1 月 A 公司得到的贷款是多少？ （2）2018 年 1 月 B 公司得到的贷款是多少？ （3）银行规定：企业还贷款，应每年一还，还本金和利息，若第一年没还，则第一年的本金和利息作为第二年的贷款本金计算， 以此类推， 假设两公司第一年都没有还贷款的本金和利息， 而是在
35、两年后即 2020年 1 月才一次性还清本金和利息，B 公司还贷款的本金和利息比 A 公司少 12.1 万元，求企业贷款年利率 （利息本金年利率） 【分析】 （1）设 A 公司得到的贷款是 x 万元，则两年内得到的补助为 x8 万元，依据贷款费+补助费62.4 万为等量关系列出方程，求出 x 的值即可 （2）设 B 公司得到的贷款是 y 万元，则两年内得到的补助为 y8 万元，依据宜兴公司两年内得到的补助华泰公司两年内得到的补助（120%）为等量关系列出方程求解 （3）设企业贷款年利率是 a，则 A 公司和 B 公司归还贷款及利息分别为：x（1+a）2万元、y（1+a）2万元，依据 B 公司归
36、还贷款及利息比 A 公司少 12.1 万元为等量关系列出方程求解即可 【解答】解： （1）设 A 公司得到的贷款是 x 万元，由题意，得： x+x862.4， 解得 x60， 答：A 公司得到的贷款是 60 万元； （2）设 B 公司得到的贷款是 y 万元，由题意，得： A 公司得到的补助是 62.4602.4 万元， y+y82.4（120%） ， 解得 y50， 答：B 公司得到的贷款是 50 万元； （3）设企业贷款年利率是 a由题意得： 60（1+a）250（1+a）212.1， 解得 a10%， 答：国家对吸收下岗人员的企业贷款年利率为 10% 【点评】本题主要考查一元二次方程和一元
37、一次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程，并求出方程的解 23如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，且 BCBO，D 是O 上一动点且在 AB 的上方，以CD 为边在 CD 的下方作正方形 CDFE，DF 和直径 AB 交于点 O，连接 FO，DO，AD，延长 FO 交 AD于 H （1）如图 1，当 DF 经过 O 时，求ACD 的度数； （2）如图 2，若点 G 恰好是 OB 的中点，求证：OGDODC；求 tanDAB 的值 【分析】 （1）在 RtODC 中，求出ACD 的值即可解决问题 （2）设 OGGBa，则 OBBCOD2a，可知 OD2OGOC
38、4a2，推出，由DOGCOD，即可证明DOGCOD 连接 BD，作 GMAD 于 M，GNDB 于 N只要证明BDGCDBADG，由 GMAD，GNDB，推出 GMGN，可知 SADG：SDGBADGM：DBGNAD+DBAG：GB3：1，推出tanDAC即可 【解答】 （1）解：如图 1 中， 四边形 EFDC 是正方形， ODC90， OBBCOD， OC2OD， sinACD， ACD30 （2）解：如图 2 中， 证明：设 OGGBa，则 OBBCOD2a， OD2OGOC4a2， ，DOGCOD， DOGCOD 连接 BD，作 GMAD 于 M，GNDB 于 N AB 是直径， AD
39、BGDC90， ADGCDB， DOGCOD， ODGDCB， ODOB， ODBOBD， ODG+BDGBDC+DCB， BDGCDBADG， GMAD，GNDB， GMGN， SADG：SDGBADGM：DBGNAD：DBAG：GB3：1， ， tanDAC 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形、圆周角定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，本题体现了数形结合的数学思想，学会添加常用辅助线，掌握用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题 24如图所示，二次函数 yk（x1）2+2 的图象与一次函数 ykxk+2 的图象交于 A、B 两点，点 B
40、 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x、y 轴交于 C、D 两点，其中 k0 （1）求 A、B 两点的横坐标； （2）若OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值； （3）二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 E，是否存在实数 k，使得ODC2BEC，若存在，求出 k的值；若不存在，说明理由 【分析】 （1）将二次函数与一次函数联立得：k（x1）2+2kxk+2，即可求解； （2）分 OAAB、OAOB 两种情况，求解即可； （3）求出 mk2k，在AHM 中，tank+tanBECk+2，即可求解 【解答】解： （1）将二次函数与一次函数联立得：k（x1）2+2kxk+2， 解得
41、：x1 和 2， 故点 A、B 的坐标横坐标分别为 1 和 2； （2）OA， 当 OAAB 时， 即：1+k25，解得：k2（舍去 2） ； 当 OAOB 时， 4+（k+2）25，解得：k1 或3； 故 k 的值为：1 或2 或3； （3）存在，理由： 当点 B 在 x 轴上方时， 过点 B 作 BHAE 于点 H，将AHB 的图形放大见右侧图形， 过点 A 作HAB 的角平分线交 BH 于点 M，过点 M 作 MNAB 于点 N，过点 B 作 BKx 轴于点 K， 图中：点 A（1，2） 、点 B（2，k+2） ，则 AHk，HB1， 设：HMmMN，则 BM1m， 则 ANAHk，AB，NBABAN， 由勾股定理得：MB2NB2+MN2， 即： （1m）2m2+（+k）2， 解得：mk2k， 在AHM 中，tank+tanBECk+2， 解得：k， 此时 k+20，则2k0，故：舍去正值， 故 k； 当点 B 在 x 轴下方时， 同理可得：tank+tanBEC（k+2） ， 解得：k或， 此时 k+20，k2，故舍去， 故 k 的值为：或 【点评】本题为二次函数综合应用题，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，其中（3） ，通过 tan2求出 tan，是此类题目求解的一般方法
