1、（新高考）2020-2021学年高三3月月考数学试卷（B）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数(为虚数单位，)为纯虚数，则的值为（ ）
2、ABC3D52已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）ABCD3已知直线与，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4已知正三角形的边长为4，是边上的动点（含端点），则的取值范围是（ ）ABCD5圆上任意一点到直线的距离大于的概率为（ ）ABCD6函数与 (且)在同一坐标系中的图象可能是（ ）ABCD7有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死，至少需要（ ）A4秒钟B5秒钟C6秒钟D7秒钟8多项式展开式中的系数为（ ）ABCD二、多项选择题：本题共4小题
3、，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是（ ）A与一定不垂直B二面角的正弦值是C的面积是D点到平面的距离是常量10设表示不超过的最大整数，给出以下命题，其中正确的是（ ）A若，则BC若，则可由解得的范围是D若，则函数的值域为11曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是（ ）A对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB椭圆上一点处的曲率半径的最大值为aC椭圆上
4、一点处的曲率半径的最小值为D对于椭圆上一点处的曲率半径随着a的增大而减小12定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，其中，则下列不等式中一定成立的有（ ）ABCD第卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_种不同的放法14下列说法：线性回归方程必过；命题“，”的否定是“，”；相关系数越小，表明两个变量相关性越弱；在一个列联表中，由计算得，则有的把握认为这两个变量间有关系其中正确的说法是_(把你认为正确的结论都写在横线上）本题可参考独立性检验临界值表：15设实数x、y满足约束条件，则目
5、标函数的最大值为_16在中，则_；点是上靠近点的一个三等分点，记，则当取最大值时，_四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知数列的前项和为，且，（1）求；（2）设，求使得成立的最小正整数18（12分）已知中角，所对的边分别为，满足（1）求；（2）若点为上一点，平分交于点，求19（12分）如图在三棱锥中，为正三角形，为的重心，（1）求证：平面平面；（2）在棱上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在说明理由20（12分）某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽取盒作为样本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好
6、由测量结果得到如下频率分布直方图：（1）求a，并试估计这盒产品的该项指标值的平均值；（2）由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值服从正态分布，计算该批产品该项指标值落在上的概率；国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、优良、优秀三个等级，其中为优良，不高于为合格，高于为优秀，在的条件下，设该公司生产该产品万盒的成本为万元，市场上各等级每盒该产品的售价(单位：元)如表，求该公司每万盒的平均利润等级合格优良优秀售价附：若，则，21（12分）在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，直线，相交于点且它们的斜率之积是，记动点的轨迹为曲线
7、（1）求曲线的方程；（2）过点作直线交曲线于两点，且点位于轴上方，记直线，的斜率分别为证明：为定值；设点关于轴的对称点为，求面积的最大值22（12分）已知函数，（1）若恒成立，求a的取值集合；（2）若，且方程有两个不同的根x1，x2，证明：（新高考）2020-2021学年高三3月月考数学试卷（B）答案第卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】A【解析】，因为该复数为纯虚数，所以，所以，故选A2【答案】B【解析】由题意，集合，可得，因为，所以，解得，故选B3【答案】B【解析】若，则，解得，则可得“”是“”的必要不充分条件，即
8、“”是“”的必要不充分条件，故选B4【答案】B【解析】以中点为原点，且令A在轴正半轴上，建立如图坐标系，则，设，则，所以，由，知，故的取值范围是，故选B5【答案】C【解析】设圆心为，圆心到直线的距离，如图，取，过作交圆于，可知满足条件的点在劣弧上（不包括A，B），在中，所以，即，因为符合条件的点所在弧长所对圆心角为，由几何概型可知，故选C6【答案】A【解析】当时，有图象如下：当时，有图象如下：故选A7【答案】B【解析】1秒时，新被杀死的病毒为1个，自身新增长3个；2秒时，新被杀死的病毒为3个，自身新增长个；3秒时，新被杀死的病毒为个，自身新增长个；以此类推n秒时，新被杀死的病毒为个，自身新增长
9、个，故累计杀死病毒数为，由，得，解得正整数，故选B8【答案】C【解析】原式，所以展开式中含的项包含中项为，和中的项为，这两项的系数和为，故选C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9【答案】BCD【解析】对A，当与重合时，故A错误；对B，由于是棱上的动点，是棱上的一条线段，故平面也是平面，平面，则，则即为二面角的平面角，则，则，故B正确；对C，由于是棱上的动点，是棱上的一条线段，且，则，的距离即为三角形的高，平面，则即为三角形的高，故C正确；对D，由于是棱上的动点，是棱上的一条线段，则平面，则
10、点到平面的距离为常量，故D正确，故选BCD10【答案】ABD【解析】由题意时，A设，则，若，则，即，A正确；B由的定义，时，同理时，时，时，B正确；C，若，则，满足题意，但也满足题意，C错；D，定义域是，则，即，是奇函数；设，则，时，时，函数的值域为，D正确，故选ABD11【答案】AC【解析】圆：，曲率半径为，A正确；在椭圆上，B错误，C正确；，令，在上随增大而增大，D错误，故选AC12【答案】ABC【解析】由，知，令，则，在上单调递减，即，当时，；当时，A：，有，所以；B：由上得成立，整理有；C：由，所以，整理得；D：令且时，有，所以无法确定，的大小，即无法确定与的大小，故选ABC第卷三、填
11、空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】535【解析】四个盒子放球的个数如下：1号盒子：0，12号盒子：0，1，23号盒子：0，1，2，34号盒子：0，1，2，3，4结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法：5=1+4：种5=2+3：种5=1+1+3：种5=1+2+2：种5=1+1+1+2：种5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种，故答案为53514【答案】【解析】线性回归方程必过，故正确；命题“，”的否定是“，”，故错误；相关系数r绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故错误；在一个列联表中，由计算得，则有的把握认为这两个变量间有关系，故正确，故答案为15【答案】【解析】不等
12、式组对应的可行域如图阴影部分所示，表示的几何意义为可行域中的动点到直线的距离，由，可得，同理，到直线的距离为，到直线的距离为，故，故答案为16【答案】，【解析】因为，所以，即，又因为，所以设，则，由正弦定理可得，又，由，得因为，所以，因为，所以，所以当时，取得最大值，此时，所以，答案为，四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）；（2）100【解析】（1）由，得，则有，即，又因为，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以（2）由，得，所以，由，解得，故使得不等式成立的最小正整数18【答案】（1）；（2）【解析】（1），（2），在中，设，由余弦
13、定理得，即，解得(舍负)在中，由正弦定理得，19【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【解析】（1）设，则，在中，由余弦定理，得因为，所以因为，所以平面因为平面，所以平面平面（2）如图所示：取的中点，连接，则点在上，在平面内过点作的平行线交于点因为，平面，平面，所以平面因为为的重心，所以，又，所以，所以在棱上存在点，使得直线平面，此时20【答案】（1），；（2）； (万元)【解析】（1）由，解得，则平均值，即这200盒产品的该项指标值的平均值约为200（2）由题意可得，则，则该批产品指标值落在上的概率为设每盒该产品的售价为X元，由可得X的分布列为X102030P则每盒该产品的平均售价为，故每万盒的平均利润为 (万元)21【答案】（1）；（2）证明见解析；【解析】（1）设点坐标为，则直线的斜率分别为，依题意知，化简得（2）设直线的方程为，则，又，消得，得，因此，故为定值坐标为，则直线方程为，令，解得，即直线恒过点，故，当，即时，等号成立，此时面积最大值为22【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）令，当，恒成立，在R上单调递增，当，不合题意，故舍去；当，则，故当，单调递减；当，；单调递增，故，令，故在递增，在递减，故，即，即，故，即，故a的取值集合为（2）方程有两个不同的根x1，x2，不妨令，若证，即证，令，即证，令，因为，故，故单调递增，得证
