1、导数研究根的个数问题大题优练12优选例题例1已知函数，（）（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）定义域为，令，解得当时，在上恒成立，在上单调递增；当时，若时，；若时，在上单调递增，在上单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）令，则，过点作的切线，设切点为，则切线斜率，解得，切线斜率，若有两个零点，则与有两个不同的交点，如下图所示：由图象可知：当时，与有两个不同的交点，即若函数有两个零点，的取值范围为例2已知函数（1）讨论的单调性；（2）设函数，若在上有且只有一个零点，求m的取值范围【答案】（1
2、）当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）或【解析】（1），若，则，在R上单调递增；若，令，则当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）由题意知，则，易知在上单调递增，且若，则，在上单调递增，在上有且只有一个零点，即，当时，在上有且只有一个零点；若，则，存在，使，即，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，又，在上有且只有一个零点，即把代入上式可知，因为，从而综上，当或时，在上有且只有一个零点例3已知函数（1）当时，一次函数对任意，恒成立，求的表达式；（2）讨论关于x的方程解的个数【答案】（1）；（2）见
3、解析【解析】（1）当时，函数，可设，则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，又因为，所以，设，因为，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以，解得，所以，又由，可得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，取得最大值，最大值为，所以，综上（2）由方程，整理可得，即，可得，令，可得，即，设，可得当时，可得，此时单调递减，又由，所以此时函数在上只有一个零点，即方程只有一个零点；当可得，令，则（i）当时，即时，可得，即，此时单调递增，又由，所以此时函数在上只有一个零点，即方程只有一个零点；（ii）当时，即时，此时，即方程有两解，且，不妨设，则当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调
4、递减，当时，函数取得极大值，当，函数取得极小值，又因为，所以，当时，所以在上有唯一的解因为时，当时，可得，所以且，解得，所以在上恰有一根，所以可得函数在上恰有三根，综上可得，当或时，方程恰有一根；当时，方程恰有三根模拟优练1已知函数在处取得极值（1）求实数的值；（2）若函数在内有零点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1），在处取得极值，所以经验证时，在处取得极值（2）由（1）知，所以极值点为，将，在内的取值列表如下：012/-0+/极小值由此可得，在内有零点，只需，所以2已知函数（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范
5、围【答案】（1）；（2）【解析】（1）函数的定义域为，所以曲线在点处的切线的斜率又，所以切线的方程为，即，所以切线与两坐标轴的交点坐标分别为，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积（2）方程，即，因为，所以分离参数得记，则，记，则，记，显然，所以函数在上单调递减，故当时，所以当时，函数在上单调递减，而，所以函数在上有且仅有一个零点所以当时，即，函数单调递增；当时，即，函数单调递减，所以当时，而，由题意，原方程在上有两个不同的解，即在上有两个不同的解，即直线与函数的图象有两个不同的交点，数形结合可得实数的取值范围为3已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若函数在上恰有两个不同的零点，求实
6、数t的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，函数定义域为，又，所求切线方程为，即（2）函数在上恰有两个不同的零点，等价于在上恰有两个不同的实根，等价于在上恰有两个不同的实根，令，则，当时，在递减；当时，在递增，故，又，即4已知函数，其中（1）若存在唯一极值点，且极值为0，求的值；（2）讨论在区间上的零点个数【答案】（1）或；（2）答案见解析【解析】（1）由已知，可得若，则当时，恒成立，在上单调递增，与存在极值点矛盾；若，则由，得当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，存在唯一极小值点，或（2）当时，在上恒成立，在上单调递增，（i）当时，；（ii）当时，由零点存在性定理，知在上有
7、1个零点；当时，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，（i）当时，此时在上有1个零点；（ii）当时，此时在上无零点；（iii）当时，（a）当，即时，在上有1个零点；（b）当，即时，在上有2个零点；当时，在上恒成立，在上单调递减，在上有1个零点，综上，当时，在上无零点；当或或时，在上有1个零点；当时，在上有2个零点5已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，求函数在区间上的零点的个数（附：对于任意，都有）【答案】（1）在，上单调递减，在上单调递增；（2）存在三个零点【解析】（1）的定义域为，设，当，即，即，当且仅当，时，所以在上单调递减；当，即时，令，得，且所以当时，；当时，所以在，上单调递减；在上单调递增（2）由（1）知，当时，在和上单调递减，在上单调递增，又，所以，又在上单调递增，所以，令，则令，则单调递增，由，得，从而可知，当时，单调递减，；所以，所以在上单调递增，故，即，又因为，在上单调递减，所以，故在区间上有一个零点，设为，则又，得，而，所以是的另一个零点故当时，函数在区间上存在三个零点
