1、首 页 末 页 第二部分第二部分 图形与几何图形与几何 第七章第七章 三角形三角形 思思 维维 导导 图图 考考 点点 管管 理理 中中 考考 再再 现现 课课 时时 作作 业业 归归 类类 探探 究究 第第2121课时课时 三角形的基础知识三角形的基础知识 首 页 末 页 思思 维维 导导 图图 首 页 末 页 考考 点点 管管 理理 1三角形的有关概念及分类三角形的有关概念及分类 定定 义：义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形叫做由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形叫做 注注 意：意：(1)三条线段；三条线段；(2)不在同一直线上；不在同一直线上；(3)首尾
2、顺次相接首尾顺次相接 三角形三角形 首 页 末 页 分分 类：类：(1)按边分：按边分： 三角形三角形 三边都不相等的三角形三边都不相等的三角形等腰三角形等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形等边三角形 (2)按角分：按角分： 三角形三角形 斜三角形斜三角形 锐角三角形锐角三角形钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形 首 页 末 页 2三角形的角平分线三角形的角平分线 定定 义：义：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的间的线段叫做三角形的 表达方式：表达
3、方式：如图如图 角平分线角平分线 首 页 末 页 (1)AD是是ABC的角平分线；的角平分线； (2)AD平分平分BAC，交，交BC于点于点D； (3)BADDAC12BAC； (4)BAC2BAD2DAC. 特特 性：性：三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的 规规 律：律：(1)三角形两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上；三角形两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上； (2)三角形的内心到三边的距离三角形的内心到三边的距离 内心内心 相等相等 首 页 末 页 3三角形的高线三角形的高线 定定 义：义：从三角形的一个顶点向它
4、的对边所在的直线作从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作 ，顶点和垂足，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高之间的线段叫做三角形的高线，简称高 表达方式：表达方式：如图如图 垂线垂线 首 页 末 页 (1)AD是是ABC的高；的高； (2)AD垂直于垂直于BC，垂足为，垂足为D； (3)ADBADC90 . 特特 性：性：三角形的三条高所在的直线相交于一点三角形的三条高所在的直线相交于一点,这一点叫做三角形的这一点叫做三角形的 规规 律：律：锐角三角形三条高的交点在三角形的锐角三角形三条高的交点在三角形的 ；钝角三角形三条高的；钝角三角形三条高的交点在三角形的交点在三角形的 ；直角三
5、角形的两条高线恰好是它的两条直角边，因此；直角三角形的两条高线恰好是它的两条直角边，因此三条高的交点在三条高的交点在 垂心垂心 内部内部 外部外部 直角顶点上直角顶点上 首 页 末 页 4三角形的中线三角形的中线 定定 义：义：在三角形中，连接一个顶点和它对边在三角形中，连接一个顶点和它对边 的线段叫做三角形的中的线段叫做三角形的中线线 表达方式：表达方式：如图如图 中点中点 首 页 末 页 (1)AM是是ABC的中线；的中线； (2)AM是是ABC中中BC边上的中线；边上的中线； (3)点点M是是BC的中点；的中点； (4)BMMC12BC； (5)BC2BM2MC； (6)SABMSACM
6、12SABC. 首 页 末 页 特特 性：性：三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的 规规 律：律：(1)三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等(等底同高等底同高)的三角的三角形；形； (2)三角形的重心把三角形的中线分成的两部分的比为三角形的重心把三角形的中线分成的两部分的比为21. 重心重心 首 页 末 页 5三角形的中位线三角形的中位线 定定 义：义：连接三角形两边连接三角形两边 的线段叫做三角形的中位线的线段叫做三角形的中位线 定定 理：理：三角形的中位线三角形的中位线 第三边，且等于第三边
7、，且等于 注注 意：意：正确理解三角形的中线和中位线的概念，三角形的中线平分三角形的正确理解三角形的中线和中位线的概念，三角形的中线平分三角形的面积，三角形的中位线分得三角形两部分的面积比为面积，三角形的中位线分得三角形两部分的面积比为13. 中点中点 平行于平行于 第三边的一半第三边的一半 首 页 末 页 6三角形三边的关系三角形三边的关系 关关 系：系：(1)三角形任意两边之和三角形任意两边之和 第三边；第三边； (2)三角形任意两边之差三角形任意两边之差 第三边第三边 注注 意：意：三角形的三边关系揭示了三条线段构成一个三角形的条件，要注意理三角形的三边关系揭示了三条线段构成一个三角形的
8、条件，要注意理解解“任意任意”两字的含义两字的含义 大于大于 小于小于 首 页 末 页 7三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理及推论 定定 理：理：三角形的内角和等于三角形的内角和等于 . 推推 论：论：(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； (2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角； (3)直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角 ； (4)三角形的外角和等于三角形的外角和等于 . 180 互余互余 360 首 页 末 页 中中 考考 再再 现现 12018 长沙长沙下列
9、长度的三条线段，能组成三角形的是下列长度的三条线段，能组成三角形的是( ) A4 cm,5 cm,9 cm B8 cm,8 cm,15 cm C5 cm,5 cm,10 cm D6 cm,7 cm,14 cm B 首 页 末 页 【解析】【解析】 三三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边A选选项中项中459，两边之和等于第三边，两边之和等于第三边，A错误；错误；B选项中选项中8815，B正确；正确；C选项选项中中5510，两边之和等于第三边，两边之和等于第三边，C错误；错误；D选项中选项中6714，两边之和小于第，两边之和
10、小于第三边，三边，D错误故选错误故选B. 首 页 末 页 22017 株洲株洲如图，在如图，在ABC中，中，BACx，B2x，C3x，则，则BAD的的度数是度数是( ) A145 B.150 C155 D.160 B 首 页 末 页 32017 郴州郴州小明把一副含小明把一副含45 ，30 角的直角三角板按如下图的方式摆放，其中角的直角三角板按如下图的方式摆放，其中CF90 ，A45 ，D30 ，则，则等于等于( ) B A180 B.210 C360 D.270 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，如答图，1D， 4F， 1D4F2D3F2330 90 210 .故选故选B. 首 页
11、末 页 42019 益阳益阳如图，直线如图，直线ABCD，OAOB，若，若1142 ，则，则2 . 52 【解析】【解析】 OAOB， O90 . 1142 ， OCD1O142 90 52 . ABCD， 2OCD52 . 首 页 末 页 52019 吉林吉林如图，如图，E为为ABC边边CA延长线上的一点，过点延长线上的一点，过点E作作EDBC.若若BAC70 ，CED50 ，则，则B . 60 【解析】【解析】 EDBC，CCED50 . B180 BACC180 70 50 60 . 首 页 末 页 62019 长沙长沙如图，要测量池塘两岸相对的如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距
12、离，可以在池塘外选两点间的距离，可以在池塘外选一点一点C，连接，连接AC，BC，分别取，分别取AC，BC的中点的中点D，E，测得，测得DE50 m，则，则AB的长的长是是 m. 100 【解析】【解析】 点点D，E分别是分别是AC，BC的中点，的中点， DE是是ABC的中位线，的中位线， AB2DE250100(m) 首 页 末 页 归归 类类 探探 究究 类型之一类型之一 三角形的三边关系三角形的三边关系 2019 淮安淮安下列长度的下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是根小木棒不能搭成三角形的是( ) A2 cm,3 cm,4 cm B.1 cm,2 cm,3 cm C3 cm,4 cm,
13、5 cm D.4 cm,5 cm,6 cm B 【解析】【解析】 123，长度为长度为1 cm,2 cm,3 cm的的3根小木棒不能搭成三角形故根小木棒不能搭成三角形故选选B. 首 页 末 页 12019 金华金华若长度分别为若长度分别为a,3,5的三条线段能组成一个三角形，则的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是的值可以是( ) A1 B.2 C3 D.8 【解析】【解析】 根据三角形的三边关系，得根据三角形的三边关系，得2a8.故选故选C. C 首 页 末 页 类型之二类型之二 三角形的内角和定理的运用三角形的内角和定理的运用 2019 赤峰赤峰如图，点如图，点D在线段在线段BC的延长
14、线上，的延长线上，DEAB于点于点E，交，交AC于点于点F.若若A35 ，D15 ，则，则ACB的度数为的度数为( ) B A65 B.70 C75 D.85 【解析】【解析】 DEAB，A35 ， AFECFD55 ， ACBDCFD15 55 70 .故选故选B. 首 页 末 页 22019 原创原创如图所示，如图所示，ACD是是ABC的外角，的外角，ABC的角平分线与的角平分线与ACD的角平分线交于点的角平分线交于点A1，A1BC的角平分线与的角平分线与A1CD的角平分线交于点的角平分线交于点 A2，An1BC的角平分线与的角平分线与An1CD的角平分线交于点的角平分线交于点An. 设设
15、A， 则则A1 ，An . 2 2n 首 页 末 页 【解析】【解析】 A1B是是ABC的角平分线，的角平分线， A1C是是ACD的角平分线，的角平分线， A1BC12ABC，A1CD12ACD. A1A1CDA1BC 12(ACDABC) 首 页 末 页 12A. 又又A，A12. 同理可得同理可得A212A122， ， An2n. 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 本题中的结论可以作为规律记住：三角形一个内角的角平分线与一个本题中的结论可以作为规律记住：三角形一个内角的角平分线与一个外角的角平分线构成的夹角等于第三个内角的一半外角的角平分线构成的夹角等于第三个内角的一半 首 页 末 页 类
16、型之三类型之三 三角形中位线性质的运用三角形中位线性质的运用 2019 株洲株洲如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90 ，CM是斜边是斜边AB上的中上的中线，线，E，F分别为分别为MB，BC的中点，若的中点，若EF1，则，则AB . 4 【解析】【解析】 E，F分别为分别为MB，BC的中点，的中点，EF1， CM2EF2. ACB90 ，CM是斜边是斜边AB上的中线，上的中线， AB2CM4. 首 页 末 页 32018 达州达州如图，如图，ABC的周长为的周长为19，点，点D，E在边在边BC上，上，ABC的平分线垂的平分线垂直于直于AE，垂足为，垂足为N，ACB的平分线垂直于的平分线垂
17、直于AD，垂足为，垂足为M.若若BC7，则，则MN的长的长度为度为( ) A.32 B.2 C52 D.3 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 BN平分平分ABC，BNAE， NBANBE，BNABNE. 在在BNA和和BNE中，中， ABNEBN，BNBN，ANBENB， BNABNE. 首 页 末 页 BABE. BAE是等腰三角形是等腰三角形 同理同理CAD是等腰三角形，是等腰三角形， 点点N是是AE的中点，点的中点，点M是是AD的中点的中点 MN是是ADE的中位线的中位线 首 页 末 页 BECDABAC19BC19712， DEBECDBC1275. MN12DE52.故选故选C.
18、 【点悟】【点悟】 三角形的中位线定理在证明两线平行关系和计算两线段数量关系时有三角形的中位线定理在证明两线平行关系和计算两线段数量关系时有着重要应用，因此，题目中有着重要应用，因此，题目中有“中点中点”，要学会寻找或构造中位线，从而为解题，要学会寻找或构造中位线，从而为解题创造条件创造条件 首 页 末 页 课课 时时 作作 业业 (58分分) 一、选择题一、选择题(每题每题6分，共分，共30分分) 12019 自贡自贡已知三角形的两边长分别为已知三角形的两边长分别为1和和4，第三边长为整数，则该三角形，第三边长为整数，则该三角形的周长为的周长为( ) A7 B.8 C9 D.10 C 首 页
19、 末 页 【解析【解析】 由三角形三边关系可知，第三边由三角形三边关系可知，第三边x的取值范围是的取值范围是41x14，即，即3x5. 第三边长为整数，第三边长为整数，x4， 该三角形周长为该三角形周长为1449.故选故选C. 首 页 末 页 22019 眉山眉山如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC，交，交BC于点于点D，B30 ，ADC70 ，则，则C的度数是的度数是( ) A50 B.60 C70 D.80 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 ADC70 ，B30 ， BADADCB70 30 40 . AD平分平分BAC， BAC2BAD80 ， C180 BBAC180
20、30 80 70 .故选故选C. 首 页 末 页 32019 枣庄枣庄将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30 角的三角板的角的三角板的一条直角边和含一条直角边和含45 角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则的度数是的度数是 ( ) A45 B.60 C75 D.85 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 在直角三角形中，可得在直角三角形中，可得1A90 . A45 ，145 ，2145 . B30 ，2B75 .故选故选C. 首 页 末 页 42018 苏州苏州如图，在如图，在ABC中，延长中，延长BC
21、至点至点D，使，使CD12BC，过，过AC的中点的中点E作作EFCD(点点F位于点位于点E右侧右侧)，且，且EF2CD，连接，连接DF.若若AB8，则，则DF的长为的长为( ) B A3 B.4 C2 3 D.3 2 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，取如答图，取BC的中点的中点G，连接，连接EG. E是是AC的中点，的中点， EG是是ABC的中位线，的中位线， EG12AB1284. 设设CDx，则，则EF2x. 首 页 末 页 BC2x，BGCGx， EF2xDG. EFCD， 四边形四边形EGDF是平行四边形，是平行四边形， DFEG4.故选故选B. 首 页 末 页 52019
22、杭州杭州在在ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则中，若一个内角等于另两个内角的差，则( ) A必有一个内角等干必有一个内角等干30 B必有一个内角等于必有一个内角等于45 C必有一个内角等于必有一个内角等于60 D必有一个内角等于必有一个内角等于90 【解析】【解析】 ABC180 ，ACB， 2C180 ，C90 ， ABC是直角三角形故选是直角三角形故选D. D 首 页 末 页 二、填空题二、填空题(每题每题6分，共分，共18分分) 62018 江绥江绥三角形的三边长分别为三角形的三边长分别为3,2a1,4，则，则a的取值范围是的取值范围是 . 1a4 【解析】【解析】 三角形的三边
23、长分别为三角形的三边长分别为3,2a1,4， 432a143.解得解得1a4. 首 页 末 页 72019 原创原创如图，在如图，在RtABC中，中，C90 ，D为为AB的中点，的中点，DEAC于点于点E.A30 ，AB10，则，则DE的长度是的长度是 . 25 首 页 末 页 【解析】【解析】 D为为AB的中点，的中点，AB10， AD5. DEAC于点于点E，A30 ， DE12AD2.5. 首 页 末 页 82019 江西江西如图，在如图，在ABC中，点中，点D是是BC上的点，上的点，BADABC40 ，将，将ABD沿着沿着AD翻折得到翻折得到AED，则，则CDE . 20 首 页 末
24、页 【解析】【解析】 BADABC40 ， ADCBADABC40 40 80 . 将将ABD沿着沿着AD翻折得到翻折得到AED， ADEADB180 ADC180 80 100 . CDEADEADC100 80 20 . 首 页 末 页 三、解答题三、解答题(10分分) 9(共共10分分)2019 扬州改编扬州改编已知已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是是正整数，若一个三角形的三边长分别是n2，n8,3n，求满足条件的，求满足条件的n的值的值 解：解：若若n23n，n83n. 解得解得 n10，n4.即即4n10. 正整数正整数n有有6个：个：4,5,6,7,8,9； 首 页 末 页
25、 若若n2n8，3nn8. 解得解得 n2，n4. 即即2n4， 正整数正整数n有有2个：个：3和和4； 综上所述，满足条件的综上所述，满足条件的n的值有的值有3,4,5,6,7,8,9. 首 页 末 页 (22分分) 10(10分分)如图，在如图，在ABC中，中，BD，CE是是ABC的中线，的中线，BD与与CE相交于点相交于点O，点点F，G分别是分别是BO，CO的中点，连接的中点，连接AO.若若AO6 cm，BC8 cm，则四边形，则四边形DEFG的周长是的周长是( ) A A14 cm B.18 cm C24 cm D.28 cm 首 页 末 页 【解析】【解析】 在在ABC中，中，E，D
26、分别是分别是AB，AC的中点，的中点， EDBC，且，且ED12BC4 cm， 同理可得同理可得FG12BC4 cm， EF12AO3 cm， DG12AO3 cm. 四边形四边形DEFG的周长为的周长为2(34)14 cm.故选故选A. 首 页 末 页 11(12分分)2018 宜昌宜昌如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90 ，A40 ，ABC的的外角外角CBD的平分线的平分线BE交交AC的延长线于点的延长线于点E. (1)求求CBE的度数；的度数； (2)过点过点D作作DFBE，交，交AC的延长线于点的延长线于点F，求，求F的度数的度数 首 页 末 页 解：解：(1)在在RtABC中
27、，中，ACB90 ，A40 ， CBDAACB130 . BE是是CBD的平分线，的平分线， CBE12CBD65 . (2)ACB90 ，CBE65 ， CEB90 65 25 . DFBE， FCEB25 . 首 页 末 页 (20分分) 12(20分分)如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，若中，若A90 ，AB33，AD3，点，点M，N分别为线段分别为线段BC，AB上的动点上的动点(含端点，但点含端点，但点M不与不与点点B重合重合)，点，点E，F分别为分别为DM，MN的中点，求的中点，求EF长度的最大值长度的最大值 首 页 末 页 解：解：如答图，连接如答图，连接DN. E，F分别为分别为DM，MN的中点，的中点， EF12DN. DN最长时，最长时，EF最长，最长， 易知点易知点N与点与点B重合时，重合时，DN最长，最长， A90 ，AB3 3，AD3， DNDB 32 3 3 26. EF长度的最大值为长度的最大值为3. 首 页 末 页 谢谢观看！谢谢观看！
