1、首 页 末 页 第一部分第一部分 数与代数数与代数 第二章第二章 代数式代数式 考考 点点 管管 理理 中中 考考 再再 现现 课课 时时 作作 业业 归归 类类 探探 究究 第第4 4课时课时 因式分解因式分解 首 页 末 页 考考 点点 管管 理理 1因式分解的概念因式分解的概念 因式分解：因式分解：把一个多项式化为几个把一个多项式化为几个 的形式，像这样的式子变形叫做的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式因式分解与整式乘法互这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式因式分解与整式乘法互为逆变形为逆变形 注意：注意：因式分解分解的是多项式，分解的
2、结果是积的形式因式分解分解的是多项式，分解的结果是积的形式 整式的积整式的积 首 页 末 页 2因式分解的方法因式分解的方法 公因式：公因式：一个多项式的各项都含有的公共的一个多项式的各项都含有的公共的 ，叫做这个多项式各项的公，叫做这个多项式各项的公因式因式 注意：注意：公因式的系数是各项系数的最大公约数，字母取各项相同的字母，且相同公因式的系数是各项系数的最大公约数，字母取各项相同的字母，且相同字母的次数字母的次数“就低不就高就低不就高” 提公因式法：提公因式法：一般地，如果多项式的各项有一般地，如果多项式的各项有 ，可以把这个公因式提取，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成因式相乘的形
3、式，即出来，将多项式写成因式相乘的形式，即mambmc 因式因式 公因式公因式 m(abc) 首 页 末 页 注意：注意：提公因式时，若有一项全部被提出，括号内的项应保留提公因式时，若有一项全部被提出，括号内的项应保留1，而不是，而不是0. 公式法：公式法：平方差公式：平方差公式：a2b2 ；完全平方公式：；完全平方公式：a2 2abb2 . 二次三项式型：二次三项式型：x2(pq)xpq 方法：方法：分解因式时，首先应考虑是否有公因式，如果有公因式，一般要先提公因分解因式时，首先应考虑是否有公因式，如果有公因式，一般要先提公因式，再考虑是否能用公式法分解式，再考虑是否能用公式法分解 (ab)
4、(ab) (ab)2 (xp)(xq) 首 页 末 页 中中 考考 再再 现现 12019 株洲株洲下列各选项中因式分解正确的是下列各选项中因式分解正确的是( ) Ax21(x1)2 Ba32a2aa2(a2) C2y24y2y(y2) Dm2n2mnnn(m1)2 D 【解析】【解析】 选项选项A是平方差公式应该是是平方差公式应该是(x1)(x1)，错误；选项，错误；选项B公因式应该是公因式应该是a，错误；选项，错误；选项C提取公因式提取公因式2y后，括号内各项都要变号，错误故选后，括号内各项都要变号，错误故选D. 首 页 末 页 22019 岳阳岳阳分解因式：分解因式：axay 【解析】【
5、解析】 提公因式提公因式a可得可得axaya(xy) 32019 怀化怀化分解因式：分解因式：a2b2 【解析】【解析】 a2b2(ab)(ab) 42019 永州永州分解因式：分解因式：x22x1 . 【解析】【解析】 x22x1是完全平方式，是完全平方式，x22x1(x1)2. a(xy) (ab)(ab) (x1)2 首 页 末 页 52019 张家界张家界分解因式：分解因式：x2yy 【解析】【解析】 本题考查了分解因式，本题考查了分解因式，x2yyy(x1)(x1) 62019 长沙长沙am29a 【解析】【解析】 先提取公因式先提取公因式a，再应用平方差公式进行因式分解，再应用平方
6、差公式进行因式分解am29aa(m3)(m3) 7分解因式分解因式：x2y4y3 【解析】【解析】 x2y4y3y(x4y2)y(x2y)(x2y) y(x1)(x1) a(m3)(m3) y(x2y)(x2y) 首 页 末 页 归归 类类 探探 究究 类型之一类型之一 因式分解因式分解 2019 齐齐哈尔齐齐哈尔因式分解：因式分解：a212a4(a1) 【解析】【解析】 先将前三项结合，构成完全平方公式，再提取公因式先将前三项结合，构成完全平方公式，再提取公因式(a1)完成因式分完成因式分解解 解：解：a212a4(a1)(a1)24(a1)(a1)(a14)(a1)(a3) 首 页 末 页
7、 12019 潍坊潍坊下列因式分解正确的是下列因式分解正确的是( ) A3ax26ax3(ax22ax) Bx2y2(xy)(xy) Ca22ab4b2(a2b)2 Dax22axaa(x1)2 【解析】【解析】 选项选项A.3ax26ax3ax(x2)；选项；选项B.x2y2(xy)(xy)；选项；选项C不能分解因式；选项不能分解因式；选项D正确故选正确故选D. D 首 页 末 页 22019 菏泽菏泽将将a3bab进行因式分解，正确的是进行因式分解，正确的是 ( ) Aa(a2bb) B.ab(a1)2 Cab(a1)(a1) D.ab(a21) 【解析】解析】 a3babab(a21)a
8、b(a1)(a1)故选故选C. C 首 页 末 页 3分解因式分解因式： (1)2019 广元广元a34a ； (2)2019 眉山眉山3a36a23a ； (3)2019 威海威海2x22x12 ； (4)2019 南京南京(ab)24ab ； (5)2019 广安广安3a43b4 ； (6)2019 宜宾宜宾b2c22bca2 a(a2)(a2) 3a(1a)2 2 x122 (ab)2 3(a2b2)(ab)(ab) (bca)(bca) 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 (1)因式分解时有公因式的一般要先提公因式，再考虑是否能用公式法因式分解时有公因式的一般要先提公因式，再考虑是否能用
9、公式法或其他方法继续分解或其他方法继续分解 (2)提公因式时，若括号内合并后的项有公因式可以再次提取；注意符号的变换提公因式时，若括号内合并后的项有公因式可以再次提取；注意符号的变换yx(xy)，(yx)2(xy)2等等 (3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点 (4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 首 页 末 页 类型之二类型之二 因式分解的运用因式分解的运用 2018 苏州苏州若若ab4，ab1，则，则(a1)2(b1)2的值为的值
10、为 . 12 【解析】【解析】 先化简，再整体代入先化简，再整体代入(a1)2(b1)2(ab)(ab2)4312. 首 页 末 页 42019 原创原创已知已知mn12，mn2，则，则m2n2 ，m2n2 . 【解析】【解析】 mn12，mn2，m2n2(mn)(mn)12224. mn14 mn2 mn214 1222235，m2n2 mn22mn12223574. 24 74 首 页 末 页 52019 常德常德若若x2x1，则，则3x43x33x1的值为的值为 . 【解析】【解析】 x2x1， 3x43x33x13x2(x2x)3x13x23x13(x2x)1314. 【点悟】【点悟】
11、 (1)因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题、证明问题、简化计因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题、证明问题、简化计算问题等算问题等 (2)两数的和、差、平方和、平方差、积都与乘法公式有联系，解此类有关的代入两数的和、差、平方和、平方差、积都与乘法公式有联系，解此类有关的代入求值问题时，一般先因式分解，再通过整体代入法进行求值求值问题时，一般先因式分解，再通过整体代入法进行求值 4 首 页 末 页 类型之三类型之三 因式分解的开放创新题因式分解的开放创新题 2019 随州随州若一个两位数十若一个两位数十位和个位上的数字分别为位和个位上的数字分别为m，n，我们可将这，我们可将这个两位数记
12、为个两位数记为 mn ，易知，易知 mn 10mn，同理，一个三位数、四位数等均可以用，同理，一个三位数、四位数等均可以用此种记法，如此种记法，如abc100a10bc. 首 页 末 页 【基础训练】【基础训练】 (1)解方程填空：解方程填空： 若若 2x x3 45，则，则x ；若若 7y y8 26，则，则y ；若若 t93 5t813t1，则，则t . 【能力提升】【能力提升】 (2)交换任意一个两位数交换任意一个两位数 mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数的个位数字与十位数字，可得到一个新数 nm，则，则 mnnm一定能被一定能被 整除，整除，mnnm一定能被一定能被 整除，整除，
13、mn nmmn一定能一定能被被 整除整除(请从大于请从大于5的整数中选择合适的数填空的整数中选择合适的数填空) 2 4 7 11 9 10 首 页 末 页 【探索发现】【探索发现】 (3)北京时间北京时间2019年年4月月10日日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚，数学中也存在有趣的黑洞现象：任选力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚，数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按
14、大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数数得到一个新数(例如若选的数为例如若选的数为3,2,5，则用，则用532235297)，再将这个新数按上，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数卡普雷卡尔黑洞数” 该该“卡普雷卡尔黑洞数卡普雷卡尔黑洞数”为为 ； 设任选的三位数为设任选的三位数为abc(不妨设不妨设abc)，试说明其
15、均可产生该，试说明其均可产生该“黑洞数黑洞数” 495 首 页 末 页 解：解：(1)mn10mn， 2xx320 x10 x311x2345，解得，解得x2，同理可得，同理可得y4，t7. (2)mnnm10mn10nm11(mn)，故一定被，故一定被11整除；整除； 同理同理mnnm一定被一定被9整除；整除； mn nmmn一定能被一定能被10整除整除 首 页 末 页 (3)反复运算可得反复运算可得495； abc， 第一次运算得到第一次运算得到100a10bc(100c10ba)99(ac)，可以看出结果必为，可以看出结果必为99的倍数，的倍数， abc，ab1，bc1， 即即ab1c2
16、， 首 页 末 页 ac2,9ac， ac9， 则则ac2,3,4,5,6,7,8,9， 第一次运算得到的第一次运算得到的99(ac)可以是可以是198,297,396,495,594,693,792,891，再让这些数，再让这些数字依据字依据“卡普卡普雷卡尔黑洞数雷卡尔黑洞数”的推算规则进行运算，分别可以得到：的推算规则进行运算，分别可以得到：981189792,972279693,963369594,954459495,954459495，以后均重复，以后均重复运算，故任选三位数均可产生运算，故任选三位数均可产生“黑洞数黑洞数”495. 首 页 末 页 课课 时时 作作 业业 (70分分)
17、 一、选择题一、选择题(每题每题5分，共分，共20分分) 12019 无锡无锡分解因式分解因式4x2y2的结果是的结果是( ) A(4xy)(4xy) B.4(xy)(xy) C(2xy)(2xy) D.2(xy)(xy) 【解析】【解析】 本题考查了公式法分解因式，本题考查了公式法分解因式，4x2y2(2xy)(2xy)故选故选C. C 首 页 末 页 22019 泸州泸州把把2a28分解因式，结果正确的是分解因式，结果正确的是( ) A2(a24) B.2(a2)2 C2(a2)(a2) D.2(a2)2 【解析】【解析】 2a282(a24)2(a2)(a2)故选故选C. C 首 页 末
18、 页 32019 原创原创把多项式把多项式x2axb分解因式，得分解因式，得(x1)(x3)，则，则a，b的值分别是的值分别是( ) A2,3 B.2，3 C2,3 D.2，3 B 首 页 末 页 4已知已知14m214n2nm2，则，则1m1n 的值等于的值等于( ) A1 B.0 C1 D.14 【解析】【解析】 由题意，得由题意，得 14m2m1 14n2n1 0，即，即 12m12 12n120.m2，n2.1m1n12121. C 首 页 末 页 二、填空题二、填空题(每题每题5分，共分，共25分分) 52019 黄冈黄冈分解因式：分解因式：3x227y2 【解析】【解析】 3x22
19、7y23(x29y2)3(x3y)(x3y) 62018 株洲株洲分解因式分解因式：a2(ab)4(ab) 【解析】【解析】 a2(ab)4(ab)(ab)(a24)(ab)(a2)(a2) 72019 广州广州分解因式分解因式：x2y2xyy . 【解析】【解析】 原式原式y(x22x1)y(x1)2. 3(x3y)(x3y) (ab)(a2)(a2) y(x1)2 首 页 末 页 82019 金华金华当当x1，y13时，代数式时，代数式x22xyy2的值是的值是 . 49 【解析】【解析】 当当x1，y13时，时，x22xyy2(xy)2 23249. 92019 徐州徐州若若ab2，则代
20、数式，则代数式a22abb2的值为的值为 . 4 首 页 末 页 三、解答题三、解答题(共共25分分) 10(10分分)2018 大庆大庆已知：已知：x2y212，xy3，求，求2x22xy的值的值 解：解：x2y2(xy)(xy)12. xy3， xy4. 由由，得，得2x7. 2x22xy2x(xy)7428. 首 页 末 页 11(15分分)2018 临安区临安区阅读下列题目的解题过程：阅读下列题目的解题过程： 已知已知a，b，c为为ABC的三边，且满足的三边，且满足a2c2b2c2a4b4，试判断，试判断ABC的形状的形状 解：解：a2c2b2c2a4b4，(A) c2(a2b2)(a
21、2b2)(a2b2)(B) c2a2b2.(C) ABC是直角三角形是直角三角形 首 页 末 页 问：问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ； (2)错误的原因：错误的原因： ； (3)本题正确的结论为：本题正确的结论为： C 没有考虑没有考虑ab的情况的情况 ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形 首 页 末 页 (15分分) 12(5分分)2018 黄冈黄冈若若a1a 6，则，则a21a2的值为的值为 . 【解析】【解析】 a21a2a21a22 a1a2 a1
22、a a1a22 ( 6)22 8. 8 首 页 末 页 13(10分分)2017 大庆大庆已知非零实数已知非零实数a，b满足满足ab3，1a1b32，求代数式，求代数式a2bab2的值的值 解：解：1a1babab32，ab3，ab2. a2bab2ab(ab)236. 首 页 末 页 (15分分) 14(15分分)2017 河北河北【发现】【发现】 任意五个连续整数的平方和是任意五个连续整数的平方和是5的倍数的倍数 【验证】【验证】 (1)(1)202122232的结果是的结果是5的几倍？的几倍？ (2)设五个连续整数的中间一个数为设五个连续整数的中间一个数为n，写出这五个连续整数的平方和，
23、并说明其，写出这五个连续整数的平方和，并说明其是是5的倍数的倍数 【延伸】【延伸】 任意三个连续整数的平方和被任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由除的余数是几呢？请写出理由 首 页 末 页 解：解：【验证】【验证】 (1)(1)20212223215,15 53，即，即(1)202122232的结果是的结果是5的的3倍倍 (2)设五个连续整数的中间一个数为设五个连续整数的中间一个数为n，则其余的四个整数分别是，则其余的四个整数分别是n2，n1，n1，n2， 它们的平方和为它们的平方和为(n2)2(n1)2n2(n1)2(n2)2n24n4n22n1n2n22n1n24n45n210， 5n2105(n22)， 又又n是整数，是整数，n22是整数是整数 这五个连续整数的平方和是这五个连续整数的平方和是5的倍数的倍数 首 页 末 页 【延伸】【延伸】 设三个连续整数的中间一个数为设三个连续整数的中间一个数为n，则其余的两个整数是，则其余的两个整数是n1，n1， 它们的平方和为它们的平方和为(n1)2n2(n1)2n22n1n2n22n13n22， n是整数，是整数，n2是整数是整数 任意三个连续整数的平方和被任意三个连续整数的平方和被3除的余数都是除的余数都是2. 首 页 末 页 谢谢观看！谢谢观看！
