1、2021-2022学年广东省深圳市南山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡上）1. 把一元二次方程y22（y1）3y化成一般形式，正确的是（ ）A. y2y20B. y25y20C. y2y10D. y22y102. 若，则的值为（）A. 1B. C. D. 3. 下列说法正确的有（ ）个菱形对角线相等；对角线互相垂直的四边形是菱形；有两个角是直角的四边形是矩形；正方形既是菱形又是矩形；矩形的对角线相等且互相垂直平分A. 1B. 2C. 3D. 44. 如图，在ABC中，ACB90°，D是AB边的中点，CEAB于点E若CE5，CD6，则
2、ABC的面积是（）A. 60B. 50C. 40D. 305. 把方程x24x10转化成（x+m）2n的形式，则m，n的值是（）A 2，3B. 2，5C. 2，3D. 2，56. 如图，是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ）A. B. C. D. 7. 如图，已知点D为ABC边AB上一点，AD：AB2：3，过点D作BC的平行线交AC于点E，若AE6，则EC的长度是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一.设彩条的宽为cm，根据题意可列方程（ ）A. B. C.
3、 D. 9. 如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（ ）A 22B. 24C. 26D. 2810. 如图，已知，分别为正方形的边，的中点，与交于点，为的中点，则下列结论：，其中正确结论的有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个二、填空题（请把正确答案填写在答题卡上）11. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是_个12. 已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，则AC_cm
4、（结果保留根号）13. 若0，则_14. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC12，BD16，则OE的长为_15. 如图，在等腰中，点在的延长线上，点在边上，则的值是_三、解答题16. 用适当的方法解方程：（1）（x2）29；（2）x26x90；（3）2x2+3x10；（4）（2x+3）24（2x+3）17. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知ABC三个顶点分别为A(2，1)、B(1，2)，C(4，4)（1）画出ABC关于x轴对称的A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC位似，且位似比
5、为2，并写出A2，B2，C2的坐标18. 某校开设了书画、器乐、戏曲、棋类四类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（1）本次随机调查抽取了多少名学生？（2）补全条形统计图中“书画”“戏曲”的空缺部分；（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择“戏曲”课程的学生有多少名；（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用列表或画树状图的方法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的概率（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母，表示）19. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，AB
6、BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分ABC，过点D作DEBC交BC的延长线于点E，连接OE（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若BE5，OE3，求线段DE的长20. 已知关于x的一元二次方程x2（k+1）x+2k30（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2（k+1）x+2k30的两个实数根，求k的值21. 今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年
7、在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个为了减少库存，商场决定降价销售经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？22. （1）如图1，RtABC与RtADE，ADEABC90°，连接BD，CE求证：（2）如图2，四边形ABCD，BADBCD90°，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？小明在完成本题中，如
8、图3，使用了“旋转放缩”技巧，即将ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB5，连接BE，BF求BE+BF的最小值2021-2022学年广东省深圳市南山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡上）1. 把一元二次方程y22（y1）3y化成一般形式，正确的是（ ）A. y2y20B. y25y20C. y2y10D. y22y10【答案】A【解析】【分析】把一
9、元二次方程去括号、移项、合并同类项得到一般式即可【详解】解：y22（y1）3y，去括号得，y22y23y，移项得，y22y2-3y0，合并同类项得，y2-y20，故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是熟练运用等式的性质和整式的运算法则进行计算2. 若，则的值为（）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】，=，故选D3. 下列说法正确的有（ ）个菱形的对角线相等；对角线互相垂直的四边形是菱形；有两个角是直角的四边形是矩形；正方形既是菱形又是矩形；矩形的对角线相等且互相垂直平分A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据菱形的判定与性质、矩形的判
10、定与性质进行解答【详解】解：菱形的对角线不一定相等，故错误；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；有三个角是直角的四边形是矩形，故错误；正方形既是菱形又是矩形，故正确；矩形的对角线相等，但不一定互相垂直平分，故错误；故选A【点睛】本题考查了菱形和矩形判定与性质注意：正方形是一特殊的矩形，也是一特殊的菱形4. 如图，在ABC中，ACB90°，D是AB边的中点，CEAB于点E若CE5，CD6，则ABC的面积是（）A. 60B. 50C. 40D. 30【答案】D【解析】【分析】根据直角三角形的性质得到AB2CD，求得AB12，根据三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：在ABC中，A
11、CB90°，D是AB边的中点，AB2CD，CD6，AB12，CEAB于点E，CE5，ABC的面积ABCE×12×530，故选D【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5. 把方程x24x10转化成（x+m）2n的形式，则m，n的值是（）A. 2，3B. 2，5C. 2，3D. 2，5【答案】D【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案【详解】解：x24x10，x24x1，则x24x+41+4，即（x2）25，m2，n5，故选：D【点
12、睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的集中常用方法：直接开方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程特点选择合适、简便的方法是解题关键6. 如图，是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案【详解】解：A、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；B、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；C、当时，即，再由，可得出，故此选项不合题意；D、当时，无法得出，故此选项符合题意故选：D【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键7. 如图，已知点D为AB
13、C边AB上一点，AD：AB2：3，过点D作BC的平行线交AC于点E，若AE6，则EC的长度是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由在ABC中，DEBC，即可得ADEABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AC的长，然后AC-AE即可求得答案【详解】解：在ABC中，DEBC，ADE=B，AED=C，ADEABC，AD：AB=2：3，AE=6，AC=AE=9,EC=AC-AE=9-6=3故选C【点睛】本题考查平行截三角形相似三角形的判定与性质，掌握三角形相似三角形的判定与性质是解题关键8. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩
14、条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一.设彩条的宽为cm，根据题意可列方程（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设彩条的宽为xcm，根据要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一，可列方程【详解】解：设彩条的宽度是x cm，则，故选：B【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题9. 如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（ ）A. 22B. 24C. 26D.
15、28【答案】D【解析】【分析】利用得到，所以则，解得，从而得到，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积【详解】解：如图，设最小的三角形底边长为m,FH=3m，DE=4m,则FH：DE=3:4图中所有三角形均相似，设，则， ，解得，四边形DBCE的面积 故选D【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质，关键是得出FH：DE=3:410. 如图，已知，分别为正方形的边，的中点，与交于点，为的中点，则下列结论：，其中正确结论的有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质可得，然后利用SAS即可证出，根据全等三角形的性质可得：，根据直角三
16、角形的性质和三角形的内角和，即可判断；根据中线的定义即可判断；设正方形的边长为，根据相似三角形的判定证出，列出比例式，即可判断；过点作于，易证AMNAFB，列出比例式，利用勾股定理求出ME、MF和MB即可判断【详解】解：在正方形中，、分别为边，的中点，在和中，故正确;是的中线，故错误;设正方形的边长为，则，在中，即，解得：，故正确；如图，过点作于，AMNAFB，即，解得，根据勾股定理，故正确.综上所述，正确的结论有共3个故选：B【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质和勾股定理是
17、解决此题的关键二、填空题（请把正确答案填写在答题卡上）11. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是_个【答案】9【解析】【分析】用球的总数乘以白球的概率，即可求得白球数量【详解】解：袋子中的白球数为：（个）故答案为：9【点睛】本题考查了概率的知识点，熟知概率的公式是解题的关键12. 已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，则AC_cm（结果保留根号）【答案】55【解析】【分析】根据黄金比值是列式计算即可【详解】解：点C是线段AB的黄金分割点，ACBC，ACAB（55
18、）cm，故答案为：55【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比13. 若0，则_【答案】【解析】【分析】设k，可得a2k，b3k，c4k，再代入求值即可得到答案【详解】设k，则a2k，b3k，c4k，故答案为：【点睛】本题考查了比例的性质、代数式求值，熟练掌握比例的性质，巧妙设参是解题关键14. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC12，BD16，则OE的长为_【答案】10【解析】【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD20，证出平行四边形OCED
19、为矩形，得OECD10即可【详解】解：DEAC，CEBD，四边形OCED为平行四边形，四边形ABCD是菱形，ACBD，OAOCAC6，OBODBD8，DOC90，CD10，平行四边形OCED为矩形，OECD10，故答案为：10【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键15. 如图，在等腰中，点在延长线上，点在边上，则的值是_【答案】【解析】【分析】过点P作交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证，再证，可得，再利用平行线分线段成比例得，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论【详解】如图：过点
20、P作交DC延长线于点E，在和中故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解题关键是正确作出辅助线，列出比例式三、解答题16. 用适当的方法解方程：（1）（x2）29；（2）x26x90；（3）2x2+3x10；（4）（2x+3）24（2x+3）【答案】（1）x1=5，x2=1；（2）x1=3+，x2=3-；（3），；（4）x1=，x2=【解析】【分析】（1）利用直接开平方法得出x2=±3，然后解一元一次方程即可；（2）利用配方法得出x26x+9=9+9，然后化为直接开平方法求解即可；（3）利用公式解法得出，计算0，然后代入公式计算即
21、可；（4）利用因式分解法得出（2x+3）（2x+3-4）=0，然后转化为2x+3=0或2x1=0，再解一元一次方程即可【详解】解：（1）（x2）29，解：两边开方得：x2=±3，解得：x1=5，x2=1；（2）x26x90，解：移项得：x26x=9，配方得：x26x+9=9+9，即（x3）2=18，开方得：x3=±，原方程的解是：x1=3+，x2=3-；（3）2x2+3x10，解：，0代入公式得，；（4）（2x+3）24（2x+3），解：（2x+3）（2x+3-4）=0，（2x+3）（2x-1）=0，2x+3=0或2x1=0，x1=，x2=【点睛】本题主要考查了解一元二次方
22、程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键17. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知ABC三个顶点分别为A(2，1)、B(1，2)，C(4，4)（1）画出ABC关于x轴对称的A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC位似，且位似比为2，并写出A2，B2，C2的坐标【答案】（1）A1B1C1为所求作，画图见详解 ；（2）A2（4，-2），B2（-2，-4），C2（8，-8），A2B2C2为所求作，画图见详解【解析】【分析】（1）利用关于x轴
23、对称的点的坐标的特征，分别写出A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1的坐标，然后分别描点，依次连接这三点即得符合要求的三角形；（2）根据位似图形在x轴下方，结合位似比2，把A、B、C的横纵坐标分别乘-2，即得到A2、B2、C2的坐标，描点得到A2B2C2【详解】解（1）ABC三个顶点分别为A(2，1)、B(1，2)，C(4，4)ABC关于x轴对称A1B1C1，A(2，1)、B(1，2)，C(4，4)关于x轴对称轴坐标为A1（-2，-1），B1（1，-2），C1（-4,-4），在平面直角坐标系中描出A1（-2，-1），B1（1，-2），C1（-4,-4），顺次连结A1B1， B1C1，
24、C1A1， 如下图，A1B1C1为所求作； （2）A2B2C2与ABC位似，且位似比为2，ABC三个顶点分别为A(2，1)、B(1，2)，C(4，4)A(2，1)、B(1，2)，C(4，4)的位似点坐标为A2（-2×（-2）,1×（-2）即（4，-2），B2（1×（-2），2×（-2）即（-2，-4），C2（-4×（-2），4×（-2）即（8，-8）在平面直角坐标系中描点A2（4，-2），B2（-2，-4），C2（8，-8），顺次连结A2B2， B2C2，C2A2，如下图，A2B2C2为所求作【点睛】本题考查了利用轴对称变换和位似变换
25、作图；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比为k或为-k18. 某校开设了书画、器乐、戏曲、棋类四类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（1）本次随机调查抽取了多少名学生？（2）补全条形统计图中“书画”“戏曲”的空缺部分；（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择“戏曲”课程学生有多少名；（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用列表或画树状图的方法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的概率（书画、器乐、戏曲
26、、棋类可分别用字母，表示）【答案】（1）200名；（2）见解析；（3）320名；（4）【解析】【分析】（1）根据统计图及题意可由棋类的人数和百分比进行求解即可；（2）由（1）及题意可得“书画”和“戏曲”的人数，进而问题可求解；（3）根据题意可直接进行求解；（4）由题意可得出树状图，然后问题可求解【详解】解：（1）由图可得：（名）；答：本次随机调查抽取了200名学生（2）由题意得：选择“书画”课程的学生有（名），选择“戏曲”课程的学生有（名），补全条形统计图如图所示：（3）由题意及统计图可得：（名）；答：全校选择“戏曲”课程的学生有320名（4）画树状图如下：由树状图，知共有12种等可能出现的结
27、果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的结果有2种，所以（恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程）【点睛】本题主要考查概率及扇形统计图，熟练掌握概率的求法及扇形统计图是解题的关键19. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABBC，对角线AC，BD交于点O，BD平分ABC，过点D作DEBC交BC的延长线于点E，连接OE（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若BE5，OE3，求线段DE的长【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由平行线的性质和角平分线得出ADBABD，证出ADAB，由ABBC得出ADBC，即可得出结论；（2）根据直角三角形的性质求出BD，在RtBDE中，由勾股定理即可求解【详
28、解】（1）证明：ADBC，ADBCBD，BD平分ABC，ABDCBD，ADBABD，ADAB，ABBC，ADBC，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，又ABBC，四边形ABCD是菱形；（2）解：DEBCBDE是直角三角形，四边形ABCD是菱形O点是BD的中点BD=2OE=6DE= 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键20. 已知关于x的一元二次方程x2（k+1）x+2k30（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC
29、、BC为方程x2（k+1）x+2k30的两个实数根，求k的值【答案】（1）见解析；（2）k=3【解析】【分析】（1）先根据题意求出的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式的关系即可得出答案；（2）根据ABC的两边AC、BC的长是这个方程的两个实数根，则3是方程的一个根，代入方程即可求出k的值【详解】解：（1）=(k+1)24×1×(2k3)=k2+2k+18k+12=(k-3)2+4，无论k为何实数，(k-3)20，(k-3)2+40，无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）AC、BC为方程x2(k+1)x+2k3=0的两个实数根，由（1）可得，ACBC，ABC为
30、等腰三角形，AC=AB=3或BC=AB=3，方程x2(k+1)x+2k30必有一根为x=3，323(k+1)+2k3=0，解得k=3【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根21. 今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件（1）这两
31、年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个为了减少库存，商场决定降价销售经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？【答案】（1）；（2）单价应降低15元【解析】【分析】（1）设平均每年下降的百分率为，由题意，列式计算即可（2）单价应降低元，计算即可，注意为了减少库存，方程的解要舍去其中一个【详解】（1）解：设平均每年下降的百分率为根据题意有：即或解得：，（舍）答：平均每年下降的百分率为（2）设单价应降低元据题意有： 即或 解得：
32、 为了减少库存（舍）答：如果每天盈利1150元，单价应降低15元【点睛】本题考查一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，根据相关知识点解题是关键22. （1）如图1，RtABC与RtADE，ADEABC90°，连接BD，CE求证：（2）如图2，四边形ABCD，BADBCD90°，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以
33、CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB5，连接BE，BF求BE+BF的最小值【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据已知条件直接证明，再证明，从而可得，设，则,根据勾股定理求得,求得，即可得证；（2）根据题意可知，设则,求得,分别求得,根据，即可求得；（3）根据（2）的方法，旋转放缩,缩小为原来的，使得的落点为,的落点为，过点作于点,交的延长线于点，作点关于的对称点,连接,则,当点三点共线时，取等于号，接下来根据相似的性质分别求得各边的长度，最后根据勾股定理求得即可求得最小值【详解】（1）ADEABC90°，即设，则,（2）BADBCD90°，且将ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D点C落点为点E， ， 三点共线，设则（3）如图，设,将绕点逆时针旋转，并缩小为原来的，使得的落点为,的落点为，过点作于点,交的延长线于点，作点关于的对称点,连接则，当点三点共线时，取等于号由作图知:， 且,，AB5, 四边形是矩形在中在中，四边形是矩形,四边形是矩形,在中，的最小值为【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，旋转放缩法构造相似三角形，线段和最值问题，勾股定理，正确的作出图形和辅助线是解题的关键
