1、2021-2022 学年学年北京市大兴区北京市大兴区九年级第一学期期中数学试卷九年级第一学期期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 16 分，每题分，每题 2 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1方程 x25x20 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A1，5，2 B1，5，2 C1，5，2 D0，5，2 2若点 A（3，2）与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标为（ ） A（3，2） B（3，2） C（3，2） D（3，2） 3若点（0，a），（4，b）都在二次函数 y（x2）2的图象上，则 a 与 b 的大小
2、关系是（ ） Aab Bab Cab D无法确定 4用配方法解方程 x2+4x10 时，原方程应变形为（ ） A（x+2）25 B（x+2）23 C（x2）23 D（x2）25 5如图，RtABC 中，C90，AC4，BC3，以点 B 为中心，将ABC 旋转到DBE，使点 E 恰好在 AB 上，则 AE 的长为（ ） A1 B2 C3 D4 6数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接 AB，再作出 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 C，交于点 D，测出 AB，CD 的长度，即可计算得出轮子的半径现测出 AB40cm，CD10cm，
3、则轮子的半径为（ ） A50cm B35cm C25cm D20cm 7如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x2，与 x 轴的一个交点为（1，0），则下列说法中不正确的是（ ） Aa0，c0 B4a+b0 C方程 ax2+bx+c0 的实数为 x11，x23 D不等式 ax2+bx+c0 的解集为 1x3 8如图，AB 是半圆 O 的直径，小宇按以下步骤作图： （1）分别以 A，B 为圆心，大于 AO 长为半径作弧，两弧交于点 P，连接 OP 与半圆交于点 C； （2）分别以 A，C 为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧交于点 Q，连接 OQ 与半圆
4、交于点 D； （3）连接 AD，BD，BC，BD 与 OC 交于点 E 根据以上作图过程及所作图形，下列结论： BD 平分ABC；BCOD；CEOE 所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 16 分，每题分，每题 2 分）分） 9利用圆弧，可以设计出很多有趣的图案，如图是小宇设计的三幅图案，所有中心对称图形的序号是 10将抛物线 yx2向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的表达式为 11如图，在O 中，连接 AC，CD，则 AC 2CD（填“”，“”或“”） 12一元二次方程 x2+2x+c0 有两个相等实数根，则 c 13如图，AB 是半圆 O 的直径，点
5、C，D 在半圆 O 上，若BOC80，则BDC 的度数为 14如图，在平面直角坐标系 xOy 中，AOB 可以看作是将DCE 绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是 15某公司 8 月份销售额为 200 万元，10 月份销售额为 320 万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额平均每月的增长率为 x，则可列方程为 16在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 yax2+bx，其中 a+b0下列结论： 若这个函数的图象经过点（2，0），则它必有最大值； 若这个函数的图象经过第三象限的点 P，则必有 a0； 若 a0，则方程 ax2+bx0 必有一根大于 1； 若 a0，则当x1 时，必有 y 随
6、 x 的增大而增大 结合图象判断，所有正确结论的序号是 三、解答题（共三、解答题（共 68 分，第分，第 17-21 题，每题题，每题 5 分，第分，第 22 题题 6 分，第分，第 23 题题 5 分，第分，第 24-26 题，每题题，每题 6 分，第分，第27-28 题，每题题，每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17解方程：x26x7 18如图，已知 ABAC，CA 平分BCD，E 在 BC 上，且BAECAD90求证：CDBE 19已知 a 是方程 x22x10 的一个根，求代数式（a2）2+（a+1）（a1）的值 20如
7、图，A，B 是O 上的两点，C 是的中点求证：AB 21下面是小宇设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程： 已知：MON 求作：射线 OP，使得 OP 平分MON 作法：如图， 在射线 OM 上任取一点 A，以 A 为圆心，OA 长为半径作圆，交 OA 的延长线于点 B； 以 O 为圆心，OB 长为半径作弧，交射线 ON 于点 C； 连接 BC，交A 于点 P，作射线 OP 射线 OP 就是要求作的角平分线 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明 证明：OB 是A 的直径，点 P 在A 上， OPB90 （ ）（填推理的依据） OPBC OBOC， OP
8、 平分MON （ ）（填推理的依据） 22已知关于 x 的一元二次方程 x2mx+2m40 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个实数根为负数，求正整数 m 的值 23在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 yx2+mx+n 的对称轴为直线 x2，且经过点 A（0，3） （1）求这个二次函数的解折式，并画出它的图象； （2）将这个二次函数的图象沿 y 轴向下平移，请回答：当向下平移 个单位时，所得到的新的函数图象与 x 轴的两个交点之间的距离为 4 24如图，RtABC 中，C90，AC6，BC8动点 P，Q 分别从 A，C 两点同时出发，点 P 沿边AC 向 C 以每秒 3 个
9、单位长度的速度运动，点 Q 沿边 BC 向 B 以每秒 4 个单位长度的速度运动，当 P，Q到达终点 C，B 时，运动停止设运动时间为 t（s） （1）当运动停止时，t 的值为 设 P，C 之间的距离为 y，则 y 与 t 满足 （选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系”） （2）设PCQ 的面积为 S， 求 S 的表达式（用含有 t 的代数式表示）； 求当 t 为何值时，S 取得最大值，这个最大值是多少？ 25已知 AB 是O 的直径，C 为O 上一点，连接 BC，过点 O 作 ODBC 于 D，交于点 E，连接 AE，交 BC 于 F （1）如图 1，求证：BAC2E （
10、2）如图 2，连接 OF，若 OFAB，DF1，求 AE 的长 26在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx22mx+m21 （1）求抛物线的顶点坐标（用含有 m 的式子表示） （2）若这条抛物线过点（m2，y1），（m+n，y2），且 y1y2，结合图象，求 n 的取值范围； （3）直线 yx+b 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，过点 B 作垂直于 y 轴的直线 l 交这条抛物线于点 P，Q，若OAP 和OAQ 中有且仅有一个为钝角三角形，结合图象，求 m 的取值范围 27在ABC 中，ABAC，BAC，D 为平面内一点，且满足 ADAB，以点 A 为中心，将线段
11、 AD 逆时针旋转 180，得到线段 AE （1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，恰有 AEBC，连接 DE 交 AC 于 F，求证：F 为 DE 中点； （2）连接 BE，CD，取 BE 的中点 G，连接 AG， 当点 D 在ABC 内时，如图 2，用等式表示 AG 与 CD 的数量关系，并证明； 令 90，若当 A，D，G 三点共线时，恰有AGB120，直接写出此时的值 28在平面直角坐标系 xOy 中，已知线段 AB 和图形 W，如果对于给定的角 （090），存在线段AB 上一点 C，使得将线段 AB 绕点 C 顺时针旋转 角之后，所得到的线段与图形 W 有公共点，则称图形 W
12、是线段 AB 的 联络图形 例如，如图中的正方形即为线段 AB 的 90联络图形 已知点 A（1，0）， （1） 若点B的坐标为 （3， 0） ， 直线y1是线段AB的联络图形， 则可能是下列选项中的 （填序号）： 15 30 54 （2）若点 B 的坐标为（t，0），直线 yx+是线段 AB 的 60联络图形，求 t 的取值范围； （3）若第一象限内的点 B 满足 AB2，点 P（m，0），Q（m1，），若存在某个点 B，以及某个，使得线段 PQ 是线段 AB 的 联络图形，直接写出 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 16 分，每题分，每题 2 分）第分）第 1
13、-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1方程 x25x20 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A1，5，2 B1，5，2 C1，5，2 D0，5，2 【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可 解：方程 x25x20 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 1，5，2， 故选：A 2若点 A（3，2）与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标为（ ） A（3，2） B（3，2） C（3，2） D（3，2） 【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点（横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数）可得答案 解：点 A（3，2）与点 B 关于原点对称，
14、 点 B 的坐标为（3，2）， 故选：B 3若点（0，a），（4，b）都在二次函数 y（x2）2的图象上，则 a 与 b 的大小关系是（ ） Aab Bab Cab D无法确定 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线 x2，然后比较两个点离直线 x2 的远近得到 a、b 的大小关系 解：y（x2）2， 抛物线开口向上，对称轴是直线 x2， 点（0，a），（4，b）离直线 x2 一样近， ab， 故选：C 4用配方法解方程 x2+4x10 时，原方程应变形为（ ） A（x+2）25 B（x+2）23 C（x2）23 D（x2）25 【分析】常数项移到方程右边，两边配上一次项系数一半
15、的平方，写成完全平方式即可得 解：x2+4x10， x2+4x1， 则 x2+4x+41+4，即（x+2）25， 故选：A 5如图，RtABC 中，C90，AC4，BC3，以点 B 为中心，将ABC 旋转到DBE，使点 E 恰好在 AB 上，则 AE 的长为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由勾股定理得出 AB 的长，再由旋转的性质得 BEBC3，即可求得结果 解：C90，AC4，BC3， AB5， DEB 由ABC 旋转所得， BEBC3， AEABBE532， 故选：B 6数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接 AB，再
16、作出 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 C，交于点 D，测出 AB，CD 的长度，即可计算得出轮子的半径现测出 AB40cm，CD10cm，则轮子的半径为（ ） A50cm B35cm C25cm D20cm 【分析】由垂径定理，可得出 BC 的长；连接 OB，在 RtOBC 中，可用半径 OB 表示出 OC 的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长 解：设圆心为 O，连接 OB RtOBC 中，BCAB20cm， 根据勾股定理得： OC2+BC2OB2，即： （OB10）2+202OB2， 解得：OB25； 故轮子的半径为 25cm 故选：C 7如图，在平面直角坐标
17、系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x2，与 x 轴的一个交点为（1，0），则下列说法中不正确的是（ ） Aa0，c0 B4a+b0 C方程 ax2+bx+c0 的实数为 x11，x23 D不等式 ax2+bx+c0 的解集为 1x3 【分析】由开口方向和与 y 轴的交点位置判定选项 A，由对称轴为直线 x2 判定选项 B，由图象与 x 轴的交点判定选项 C 和选项 D 解：A、开口向下，与 y 轴的交点在 y 轴负半轴上， a0，c0，故选项 A 正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线 x2， 2， b+4a0，故选项 B 正确，不符合题意； C、函数图象与 x
18、 轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线 x2， 函数图象与 x 轴的另一个交点为（3，0）， 方程 ax2+bx+c0 的实数为 x11，x23，故选项 C 正确，不符合题意； D、由图象可知，函数图象在 x 轴下方部分对应的 x 取值范围为 x1 或 x3， 不等式 ax2+bx+c0 的解集为 x1 或 x3，故选项 D 错误，符合题意 故选：D 8如图，AB 是半圆 O 的直径，小宇按以下步骤作图： （1）分别以 A，B 为圆心，大于 AO 长为半径作弧，两弧交于点 P，连接 OP 与半圆交于点 C； （2）分别以 A，C 为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧交于点 Q，连接 OQ 与
19、半圆交于点 D； （3）连接 AD，BD，BC，BD 与 OC 交于点 E 根据以上作图过程及所作图形，下列结论： BD 平分ABC；BCOD；CEOE 所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】由作图可知，OP 垂直平分线段 AB，OQ 平分AOC，利用平行线的判定，相似三角形的性质一一判断即可 解：由作图可知，OP 垂直平分线段 AB，OQ 平分AOC， AODCOD， ， ABDCBD， BD 平分ABC，故正确； OPAB， AOCBOC90， AODAOC45， OBOC， OBC45， AODOBC45， ODBC，故正确， ODBC， ODECBE， ， BCOBOD，
20、 CEOE，故正确， 正确结论的序号是 故选：D 二、填空题（共二、填空题（共 16 分，每题分，每题 2 分）分） 9利用圆弧，可以设计出很多有趣的图案，如图是小宇设计的三幅图案，所有中心对称图形的序号是 【分析】根据中心对称图形定义结合所给图形即可判断 解：根据中心对称图形定义结合所给图形可知：、是中心对称图形， 故答案为：、 10将抛物线 yx2向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的表达式为 yx23 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可 解：将抛物线 yx2向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的表达式为 yx23， 故答案为：yx23 11如图，在O 中，连接 AC，C
21、D，则 AC 2CD（填“”，“”或“”） 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到 ABBCCD，根据三角形三边关系得到 ACAB+BC，即可得到 AB2CD 解：， ABBCCD， ACAB+BC， AB2CD， 故答案为： 12一元二次方程 x2+2x+c0 有两个相等实数根，则 c 1 【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于 c 的方程，可求得 c 的值 解： 一元二次方程 x2+2x+c0 有两个相等实数根， 0，即 224c0，解得 c1， 故答案为：1 13如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C，D 在半圆 O 上，若BOC80，则BDC 的度数为 140 【分析】根据圆周
22、角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论 解：BOC80， ABOC40， BDC180A18040140， 故答案为：140 14如图，在平面直角坐标系 xOy 中，AOB 可以看作是将DCE 绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是 （2，2） 【分析】根据旋转中心到对应点距离相等，可知旋转中心是 OC、BE 的垂直平分线的交点 解：如图，旋转中心是 OC、BE 的垂直平分线的交点， 旋转中心的坐标为（2，2）， 故答案为：（2，2） 15某公司 8 月份销售额为 200 万元，10 月份销售额为 320 万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额平均每月的增长率为 x，则可列方程为 200（1+
23、x）2320 【分析】设该商店销售额平均每月的增长率为 x，根据该商店今年 8 月份及 10 月份的销售额，即可得出关于 x 的一元二次方程 解：设该商店销售额平均每月的增长率为 x， 依题意，得：200（1+x）2320， 故答案为：200（1+x）2320 16在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 yax2+bx，其中 a+b0下列结论： 若这个函数的图象经过点（2，0），则它必有最大值； 若这个函数的图象经过第三象限的点 P，则必有 a0； 若 a0，则方程 ax2+bx0 必有一根大于 1； 若 a0，则当x1 时，必有 y 随 x 的增大而增大 结合图象判断，所有正确结论的序号
24、是 【分析】根据抛物线经过原点和点（1，a+b），然后根据二次函数的性质即可判断 解：二次函数 yax2+bx 的图象经过原点和（2，0），且 x1 时，ya+b0， 抛物线开口向下，函数必有最大值，故正确； 当顶点在第一象限，则 a0，当顶点在第三象限，则 a0，故错误； 若 a0，则抛物线顶点在第一象限，开口向下， 抛物线与 x 轴的一个交点的横坐标大于 1， 方程 ax2+bx0 必有一根大于 1，故正确； 若 a0，则抛物线顶点在 x 轴的下方，开口向上， 二次函数 yax2+bx 的图象经过原点和（1a+b），且 a+b0， 抛物线的对称轴， 当x1 时，必有 y 随 x 的增大而增
25、大，故正确； 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 68 分，第分，第 17-21 题，每题题，每题 5 分，第分，第 22 题题 6 分，第分，第 23 题题 5 分，第分，第 24-26 题，每题题，每题 6 分，第分，第27-28 题，每题题，每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17解方程：x26x7 【分析】移项后，再将左边因式分解得出（x7）（x+1）0，继而得 x70 或 x+10，再进一步求解即可 解：x26x7， x26x70， （x7）（x+1）0， 则 x70 或 x+10， 解得 x17，x21 18如图
26、，已知 ABAC，CA 平分BCD，E 在 BC 上，且BAECAD90求证：CDBE 【分析】由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出BACD，证明ABEACD（ASA），由全等三角形的性质得出 BECD 【解答】证明：ABAC， BACB， CA 平分BCD， ACBACD， BACD， 在ABE 和ACD 中， ， ABEACD（ASA）， BECD 19已知 a 是方程 x22x10 的一个根，求代数式（a2）2+（a+1）（a1）的值 【分析】将 xa 代人方程，得到 a22a4，然后整体代人即可 解：a 是方程 x22x10 的一个实数根， a22a1， 原式a24a+4+a21 2
27、a24a+3 2（a22a）+3 21+3 5 20如图，A，B 是O 上的两点，C 是的中点求证：AB 【分析】连接 OC证明AOCBOC（SAS），可得结论 【解答】证明：连接 OC C 是的中点， ， AOCBOC， 在AOC 和BOC 中， ， AOCBOC（SAS）， AB 21下面是小宇设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程： 已知：MON 求作：射线 OP，使得 OP 平分MON 作法：如图， 在射线 OM 上任取一点 A，以 A 为圆心，OA 长为半径作圆，交 OA 的延长线于点 B； 以 O 为圆心，OB 长为半径作弧，交射线 ON 于点 C； 连接 BC，交A 于点 P，
28、作射线 OP 射线 OP 就是要求作的角平分线 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明 证明：OB 是A 的直径，点 P 在A 上， OPB90 （ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据） OPBC OBOC， OP 平分MON （ 等腰三角形的三线合一 ）（填推理的依据） 【分析】（1）根据要求作出图形即可 （2）利用圆周角定理，等腰三角形的性质证明即可 【解答】（1）解：如图，射线 OP 即为所求； （2）证明：OB 是A 的直径，点 P 在A 上， OPB90 （直径所对的圆周角是直角）， OPBC OBOC， OP 平分MON （等腰三角形的三
29、线合一） 故答案为：直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的三线合一 22已知关于 x 的一元二次方程 x2mx+2m40 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个实数根为负数，求正整数 m 的值 【分析】（1）证明0 即可； （2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可 【解答】（1）证明：（m）24（2m4） m28m+16 （m4）2 （m4）20， 方程总有两个实数根 （2）解：用因式分解法解此方程 x2mx+2m40， 可得（x2）（xm+2）0， 解得 x12，x2m2， 若方程有一个根为负数，则 m20， 故 m2 23在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 yx2+mx
30、+n 的对称轴为直线 x2，且经过点 A（0，3） （1）求这个二次函数的解折式，并画出它的图象； （2）将这个二次函数的图象沿 y 轴向下平移，请回答：当向下平移 3 个单位时，所得到的新的函数图象与 x 轴的两个交点之间的距离为 4 【分析】 （1）利用对称轴公式和点 A（0，3）得到关于 m、n 的二元一次方程组，然后求得 m 与 n 的值，从而得到二次函数的解析式，最后再画出函数图象； （2） 将函数利用交点之间的距离为4得到平移后图象与x轴的交点坐标， 然后求得平移后的函数解析式，最后得到平移的距离 解：（1）对称轴为直线 x2， 2， m4， 将点 A（0，3）代入函数解析式，得
31、n3， 二次函数的解析式为 yx24x+3， 作出函数图象如下， （2）平移后函数图象的对称轴为直线 x2，与 x 轴的交点间的距离为 4， 平移后函数图象与 x 轴的交点为（4，0），（0，0）， 平移后函数的解析式为 yx（x4）x24x， 平移前的函数解析式为 yx24x+3， 函数图象向下平移了 3 个单位， 故答案为：3 24如图，RtABC 中，C90，AC6，BC8动点 P，Q 分别从 A，C 两点同时出发，点 P 沿边AC 向 C 以每秒 3 个单位长度的速度运动，点 Q 沿边 BC 向 B 以每秒 4 个单位长度的速度运动，当 P，Q到达终点 C，B 时，运动停止设运动时间为
32、 t（s） （1）当运动停止时，t 的值为 2 设 P，C 之间的距离为 y，则 y 与 t 满足 一次函数关系 （选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系”） （2）设PCQ 的面积为 S， 求 S 的表达式（用含有 t 的代数式表示）； 求当 t 为何值时，S 取得最大值，这个最大值是多少？ 【分析】（1）由已知可得，当运动停止时，t 的值为 63842， 由已知可得 CP63t，即 y3t+6，即可得到答案； （2）由已知可得：CP3t+6，CQ4t，即可得 S6t2+12t； 由 S6t2+12t6（t1）2+6，即可得 t1 时，S 的值最大为 6 解：（1）AC6，
33、BC8，点 P 沿边 AC 向 C 以每秒 3 个单位长度的速度运动，点 Q 沿边 BC 向 B以每秒 4 个单位长度的速度运动， 当运动停止时，t 的值为 63842， 故答案为：2； 由已知可得；AP3t， 而 AC3， CP63t， y3t+6，是一次函数， 故答案为：一次函数关系； （2）由已知可得：CP3t+6，CQ4t， S（3t+6）4t6t2+12t； S6t2+12t6（t1）2+6， 且60， t1 时，S 的值最大为 6 25已知 AB 是O 的直径，C 为O 上一点，连接 BC，过点 O 作 ODBC 于 D，交于点 E，连接 AE，交 BC 于 F （1）如图 1，求
34、证：BAC2E （2）如图 2，连接 OF，若 OFAB，DF1，求 AE 的长 【分析】（1）证明 OEAC，推出CAFAEO，由 OAOE，推出OAEE，可得结论； （2）证明BEAOE30，求出 EF，AF，可得结论 【解答】（1）证明：如图 1 中， AB 是直径， ACB90， OEBC， ODBACB90， OEAC， CAFAEO， OAOE， AEOOAE， BAC2E； （2）解：如图 2 中， OFAB，OAOB， FAFB， FABFBA， CAFEAB， CAB2ABC， ACB90， CAB+B90， BEAOE30， AOE120， FOEE30， FOEF， FD
35、OE， EFOF2DF2，AF2OF4， AEAF+EF4+26 26在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx22mx+m21 （1）求抛物线的顶点坐标（用含有 m 的式子表示） （2）若这条抛物线过点（m2，y1），（m+n，y2），且 y1y2，结合图象，求 n 的取值范围； （3）直线 yx+b 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，过点 B 作垂直于 y 轴的直线 l 交这条抛物线于点 P，Q，若OAP 和OAQ 中有且仅有一个为钝角三角形，结合图象，求 m 的取值范围 【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得； （2）函数开口向上，对称轴是直线 xm，根据离对称轴
36、距离越远，函数值越大可得出|m2m|m+nm|， 整理得|n|2，解得 n2 或 n2； （3）当OAP 和OAQ 中有且仅有一个为钝角三角形时，则或，分别求解即可 解：（1）抛物线 yx22mx+m21（xm）21， 抛物线的顶点坐标为（m，1）； （2）yx22mx+m21（xm）21， 函数开口向上，xm 时函数取得最小值， 离对称轴距离越远，函数值越大， 抛物线过点（m2，y1），（m+n，y2），且 y1y2， |m2m|m+nm|， |n|2， n2 或 n2； （3）把点 A（3，0）代入 yx+b 的表达式并解得：b3， 则 B（0，3），直线 AB 的表达式为：yx+3， 如
37、图， 在直线 y3 上，当AOP90时，点 P 与 B 重合， 当 y3 时，yx22mx+m213， 则 xm2， 则点 P（m2，3），Q（m+2，3） 若OAP 和OAQ 中有且仅有一个为钝角三角形， 则或， 解得：2m1 或 2m5， m 的取值范围是：2m1 或 2m5 27在ABC 中，ABAC，BAC，D 为平面内一点，且满足 ADAB，以点 A 为中心，将线段 AD 逆时针旋转 180，得到线段 AE （1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，恰有 AEBC，连接 DE 交 AC 于 F，求证：F 为 DE 中点； （2）连接 BE，CD，取 BE 的中点 G，连接 AG，
38、 当点 D 在ABC 内时，如图 2，用等式表示 AG 与 CD 的数量关系，并证明； 令 90，若 当 A，D， G 三点共线时，恰有 AGB 120，直接写出 此时的值 【分析】（1）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理可得BC90，利用平行线性质可得EAFC90，再由旋转性质可得出DACC，利用 AAS 证明AEFCDF，即可得出结论； （2）如图 2，延长 AG 至 H，使 GHAG，连接 EH，证明ABGHEG（SAS），ACDEHA（SAS），利用全等三角形性质即可得出结论； 如图 3，延长 AD 至 F，使 GFAG，连接 EF，设 AGa，则 EG2a，运用勾股定理可得出 AD
39、AEa，进而得出 DG（1）a，再由AGBFGE（SAS），ACDEFA（SAS），推出 CD2a，即可求得答案 【解答】（1）证明：如图 1，ABAC，BAC， BC90， AEBC， EAFC90， 由旋转得：DAE180，AEAD， DACDAEEAF180（90）90， DACC， ADDC， AEAC， 在AEF 和CDF 中， ， AEFCDF（AAS）， EFDF， F 为 DE 中点； （2）CD2AG 证明：如图 2，延长 AG 至 H，使 GHAG，连接 EH， 点 G 是 BE 的中点， BGEG， 在ABG 和HEG 中， ， ABGHEG（SAS）， ABEH，ABG
40、HEG， ABEH， BAE+AEH180， CADBACBADBAD， CAEDAECAD180（BAD）1802+BAD， BAEBAC+CAE+1802+BAD180+BAD， BAE+CAD180+BAD+BAD180， AEHCAD， 在ACD 和EHA 中， ， ACDEHA（SAS）， CDAH， AH2AG， CD2AG 如图 3，延长 AD 至 F，使 GFAG，连接 EF， A，D，G 三点共线，AGB120， AGE180AGB18012060， ADAE，DAE90， AEG30， 设 AGa，则 EG2a， AEa， ADAEa， DGADAGaa（1）a， 点 G
41、是 BE 的中点， BGGE， 在AGB 和FGE 中， ， AGBFGE（SAS）， EFAB，ABGFEG， ABEF， BAE+AEF180， BAE+DACBAC+CAE+DACBAC+DAE180， AEFDAC， ABAC， EFAC， 在ACD 和EFA 中， ， ACDEFA（SAS）， CDAF， AF2AG2a， CD2a， 28在平面直角坐标系 xOy 中，已知线段 AB 和图形 W，如果对于给定的角 （090），存在线段AB 上一点 C，使得将线段 AB 绕点 C 顺时针旋转 角之后，所得到的线段与图形 W 有公共点，则称图形 W 是线段 AB 的 联络图形 例如，如图
42、中的正方形即为线段 AB 的 90联络图形 已知点 A（1，0）， （1）若点 B 的坐标为（3，0），直线 y1 是线段 AB 的 联络图形，则 可能是下列选项中的 （填序号）： 15 30 54 （2）若点 B 的坐标为（t，0），直线 yx+是线段 AB 的 60联络图形，求 t 的取值范围； （3）若第一象限内的点 B 满足 AB2，点 P（m，0），Q（m1，），若存在某个点 B，以及某个，使得线段 PQ 是线段 AB 的 联络图形，直接写出 m 的取值范围 【分析】 （1） 当绕 A 点旋转时 有最小值， 求出此时 30， 当绕 AB 中点旋转时， 有最大值为 90，根据 的取值判
43、断即可； （2）求出直线 yx+与 x 轴和 y 轴的交点 C 和 D，连接 AC，由勾股定理得出 ACCD，且CAD60，要使直线 yx+是线段 AB 的 60联络图形，则 ABAC，即可求出 t 的取值范围； （3）当 B 点在 PQ 上且 ABPQ 时求出 m 的最大值，当 B 点在 y 轴上，且线段 AB 在直线 PQ 上时求出m 的最小值，即可得出 m 的取值范围 解：（1）如下图，将线段 AB 绕 A 点逆时针旋转，使点 B 落到直线 y1 上的 B点，过 B点作 BDAB 于 D， A（1，0），B（3，0）， ABAB312，BD1， BDAB， 在 RtABD 中，BAD30
44、， 即若直线 y1 是线段 AB 的 联络图形， 最小取值为 30， 如下图，将线段 AB 绕 AB 中点逆时针旋转 90， 此时点 B 刚好落到直线 y1 上的 B点， 即若直线 y1 是线段 AB 的 联络图形， 最大取值为 90， 3090， 故答案为：； （2）设直线 yx+与 x 轴和 y 轴的交点分别为 C 点和 D 点， 在直线 yx+中，当 x0 时，y，当 y0 时，x3， C（0，），D（3，0）， OC，OD3， 在 RtOCD 中，tanOCD， OCD60， 连接 AC，如下图， A（1，0）， OA1， 在 RtOCA 中，tanOCA， OCA30，AC2OA2， ACDOCD+OCA60+3090， 故 ACCD， 直线 yx+是线段 AB 的 60联络图形， ABAC， 即 AB2， t1； （3）当 ABPQ 时，如下图， 过点 Q 作 QCx 轴于点 C， P（m，0），Q（m1，）， CP1，QC， 在 RtPCQ 中，tanQPC， QPC60， 在 RtAPB 中，sinAPB， AP， OPOA+AP+1； 当点 B 在 y 轴上时，如下图， 在 RtAOB 中，cosOAB， OAB60， 当 m1 时，线段 AB 在直线 PQ 上， 综上，m 的取值范围为 1m+1
