1、第五章一元函数的导数及其应用第五章一元函数的导数及其应用 章末复习课章末复习课 网络构建 核心归纳 1.对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和x0 的方式，导数是函数的增量 y 与自变量的增量 x 的比的极限，即 x0 时，yx趋于确定的常数. 函数 yf(x)在点 x0处的导数的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率. 2.曲线的切线方程 利用导数求曲线过点 P 的切线方程时应注意： (1)判断 P 点是否在曲线上； (2)如果曲线 yf(x)在 P(x0，f(x0)处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)，可得方程为 xx0；P 点坐标适合切线方程，
2、如果切线不平行于 y 轴，P 点处的切线斜率为 f(x0). 3.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键. 4.函数的单调性与导数 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间； (2)注意在某一区间内 f(x)0(或 f(x)0)是函数 f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件. 5.利用导数研究函数的极值要注意 (1)极值是一个局部概念，是仅对某一
3、点的左右两侧邻近区域而言的. (2)连续函数 f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个， 也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小. (3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号. 6.求函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值与最小值：在闭区间a，b上连续的函数 f(x)，在a，b上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数 f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)x3，x(1，1). (2)求函
4、数最值的步骤 一般地，求函数 yf(x)在a，b上最大值与最小值的步骤如下： 求函数 yf(x)在(a，b)内的极值； 将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 7.应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点 x0，使f(x0)0，则 f(x0)是函数的最值. 要点一 导数的几何意义及应用 导数几何意义的应用，主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点，常见类型有两种：一种是求“在某点处的切线方程”，此点一定为切点，先求导，再
5、求斜率，进而求出切线方程；另一种是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为 Q(x1，y1)，则切线方程为 yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点 P(x0，y0)得 y0y1f(x1)(x0 x1). 又已知 y1f(x1) 由求出 x1，y1的值，即求出了过点 P(x0，y0)的切线方程. 切线问题是高考的热点内容之一，在高考试题中既有选择题、填空题，也有综合性大题，难度一般为中等. 【例 1】 (1)已知 aR，设函数 f(x)axln x 的图象在点(1，f(1) 处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为_. (2)设曲线 yex在点(0，1)处的切线与曲
6、线 y1x(x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_. 解析 (1)由题意可知 f(x)a1x，所以 f(1)a1，因为 f(1)a，所以切点坐标为(1，a)，所以切线 l 的方程为 ya(a1)(x1)，即 y(a1)x1. 令 x0，得 y1，即直线 l 在 y 轴上的截距为 1. (2)由 yex，知曲线 yex在点(0，1)处的切线斜率 k1e01. 设 P(m，n)，又 y1x(x0)的导数 y1x2， 曲线 y1x(x0)在点 P 处的切线斜率 k21m2. 依题意 k1k21，所以 m1，从而 n1. 则点 P 的坐标为(1，1). 答案 (1)1 (2)(1，1) 【训
7、练 1】 曲线 f(x)exx1在 x0 处的切线方程为_. 解析 f(x)ex（x1）ex（x1）2ex（x2）（x1）2，所以曲线在 x0 处的切线斜率为 kf(0)2，又 f(0)1，则所求的切线方程为 y12x，即 2xy10. 答案 2xy10 要点二 应用导数求函数的单调区间 在区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果 f(x)0 恒成立，所以 f(x)在(0，)上单调递增； 当 a0 时，则当 x0，1a时，f(x)0； 当 x1a， 时，f(x)0；当 x6，2时，f(x)0， 故当 x6时，f(x)取得极大值
8、，为 f66 3. (2)f(x)1asin x. 当 x2，2时，1sin x1，即|sin x|1. 当|a|1 时，|asin x|0 恒成立，此时 f(x)在2，2上没有极值. 当 a1 时，aasin xa，1(a，a)， 所以 1asin x0，x2，2有解，设为 . 因为 yasin x 在2，2上单调递增， 所以当 x2， 时，f(x)0. 因此 f(x)在2，2上没有极大值. 当 a1 时，aasin x0；当 x，2 时，f(x)0，解得 x1e，令 f(x)0， 解得 0 x1e， 故 f(x)在0，1e上单调递减，在1e， 上单调递增， 故 f(x)minf1e1eln
9、 1e1e. (2)f(x)xln x， 当 x1 时，f(x)ax1 恒成立， 等价于 xln xax1(x1)恒成立， 等价于 aln x1x(x1)恒成立， 令 g(x)ln x1x，则 ag(x)min(x1)恒成立； g(x)1x1x2x1x2， 当 x1 时，g(x)0， g(x)在1，)上单调递增，g(x)ming(1)1， a1，即实数 a 的取值范围为(，1. (3)若关于 x 的方程 f(x)b 恰有两个不相等的实数根，即 yb 的图象和 yf(x)的图象在(0，)上有两个不同的交点， 由(1)知当 0 x1e时，f(x)1 时，f(x)0. f(x)在0，1e上单调递减，在1e， 上单调递增，f(x)minf1e1eln 1e1e； 故当1eb0 时，满足 yb 的图象和 yf(x)的图象在(0，)上有两个不同的交点， 即若关于 x 的方程 f(x)b 恰有两个不相等的实数根，则1eb0 x2 或 x1，由 f(x)01x2， f(x)在(，1)和(2，)上单调递增，在(1，2)上单调递减， f(x)极大值f(1)52a，f(x)极小值f(2)2a. f(x)恰有一个零点，52a0， 即 a52， 所以 a 的取值范围为(，2)52， .
