1、2021 年四川省南充市中考数学诊断试卷年四川省南充市中考数学诊断试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的. 1若3a1，则 a 的值是（ ） A B C3 D3 2为舒解中小微企业困难，助力企业健康发展，高坪区严格实施减收失业保险费、积极发放稳岗补贴等政策，对不裁员、少裁员的企业，返还失业保险费，其中中小微企业返还率 100%截至 3 月 29 日，全区715 户企业阶段性降费，惠及职工 10400 人将 10400
2、用科学记数法表示为（ ） A1.04103 B1.04104 C10.5104 D0.104105 3一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A四棱锥 B四棱柱 C三棱锥 D三棱柱 4下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 B（a3）2a6 C2a6a22a3 D（a+b）2a2+b2 5下列说法正确的是（ ） A一个游戏中奖的概率是，则做 100 次这样的游戏一定会中奖 B为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式 C一组数据 0，1，2，1，1 的众数和中位数都是 1 D若甲组数据的方差 S甲20.2，乙组数据的方差 S乙20.5，则乙组数据比甲组数据稳定 6如图，在A
3、BC 中，BAC90，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交 AD 于点 G，交 BE于点 H，下面说法不正确的是（ ） ASABESBCE BAFGAGF CBHCH DFAG2ACF 7如图，在菱形 ABCD 中，B45，AEBC 于点 E，延长 BC 至 B使 EBBE连接 AB交 CD 于点 F，ABa，则 BF 的长度为（ ） A B C（）a D 8已知关于 x 的不等式组仅有三个整数解，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 Ca1 Da1 9如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC3，将一个无限大的直角尺 MON 的直角顶点 O 与 BC边上的中点 D
4、重合并绕点 D 旋转，分别交 AB、AC 所在的直线于 E、F，连接 EF，若 BE1，则 EF 的长度为（ ） A B C或 D无法确定 10如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴的交点 B 在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x2 下列结论：abc0；9a+3b+c0；若点 M（，y1），点 N（，y2）是函数图象上的两点，则y1y2；a 其中正确结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 11计算 （1）（ab）
5、 12有大小、形状、颜色完全相同的 5 个乒乓球，每个球上分别标有数字 1，2，3，4，5 中的一个，将这 5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是 13如图，数学活动课上，小明用边长为 20cm 的正五边形纸片材料制作圆锥，他以 D 为圆心，DC 为半径作扇形 DEC，将该扇形围成圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 cm 14已知实数 a23a10，则代数式 a2a1 的值为 15抛物线 yx2+mx+（m1）与 x 轴交于点 A（x1，0），B（x2，0），x1x2，与 y 轴交于点 C，且满足x12+x22+x1x27，则ABC
6、 的面积为 16如图，边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，CE1，将DCE 沿 DE 折叠得DFE，再将DCE 按顺时针方向绕点 D 旋转 90 度，连接 EG、FG，则下列说法：GEFAGE；GF5；tanFGB；FGBADG；其中正确结论为 （填序号） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 9 个小题，共个小题，共 86 分分 17计算：+6tan30 18如图，点 E，F 在 BC 上，BECF，ABDC，BC，求证：AFDE 19随着扶贫工作的深入，全国近 800 万脱贫家庭子女接受了职业教育培训通过“授人以渔”的职业技能教育“智”拔穷根，实现了一人稳定就业
7、，全家基本脱贫的扶贫目标某市以就业为导向，量身定做培训“菜单”，采取多种方式，实现培训就业一体化，着力提高培训的针对性和实效性，拟制了下列四种方式：A：劳动技能培训班；B：岗位+劳务机构+培训；C：互联网+职业技能培训；D：帮带培训该市某职业技术培训中心对前来报名参加 2021 年第一期培训的学员选择的培训方式绘制成了两幅不完整的统计图，根据图中信息解答下列各题： （1）参加该职业技术培训中心 2021 年第一期培训的学员共有多少人？ （2）请你将条形统计图 2 补充完整； （3） 培训结束时， 该培训中心决定在方式 B 中选出优秀男学员 2 名， 在方式 C 中选出优秀女学员 2 名，现从这
8、 4 名优秀学员中选择 2 名作劳动技能展示，请用列举法（画树状图或列表）求出抽到的两名学员都是男学员的概率 20已知 x1，x2是一元二次方程 4kx24kx+k+20 的两个实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）求使的值为整数的实数 k 的最大整数值 21如图，一次函数 yx+4 的图象与反比例函数 y（k 为常数且 k0）的图象交于 A（1，a），B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求此反比例函数的表达式； （2）若点 P 在 x 轴上，且 SACPSBOC，求点 P 的坐标 22如图，在ABC 中，O 为 AC 上一点，以点 O 为圆心，OC 为半径做圆，与 BC 相切于点 C，
9、过点 A 作ADBO 交 BO 的延长线于点 D，且AODBAD （1）求证：AB 为O 的切线； （2）若 BC6，tanABC，求 AD 的长 232020 年一场突如其来的新冠病毒在全球蔓延，我国政府以人为本，领导全国人民打了一场卓越的抗疫阻击战，取得了阶段性的成果在疫情期间，某市政府对销售防疫产品的商店进行补贴，该市规定销售某一消毒液销售价不高于 45 元/件可获政府补贴金 5 元/件，已知这种产品的成本价为 30 元/件每天销售量 y（件）与销售单价 x（元/件）之间存在一次函数关系，如图所示 （1）求这种产品每天的销售量（单位：件）与销售单价 x（单位：元/件）之间的函数关系 （2
10、）这种产品销售单价定为多少元时，商店每天的销售利润既最大，又能获得政府补贴？商店共获利多少元？ 24如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 上一点，过点 D 作 DPCE 于点 P，连接 DE 交 AP 于点 F，若点P 恰好为 CE 的中点时 （1）求证：ABP 是直角三角形； （2）若 BC3，BE1，求的值； （3）如图，在（2）的条件下，如果点 G、Q 分别为 DP、DE 上的动点，求 GF+GQ 的最小值 25如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（4，0）、B（0，4）、C其对称轴 l 交 x轴于点 D，交直线 AB 于点 F，交抛物线于点 E （1）
11、求抛物线的解析式； （2）点 P 为直线 l 上的动点，求PBC 周长的最小值； （3）点 N 为直线 AB 上的一点（点 N 不与点 F 重合），在抛物线上是否存在一点 M，使以点 E、F、N、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 M 的坐标，不存在，说明理由 参考答案参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的. 1若3a1，则 a 的值是（ ） A B C3 D3 【分析】根据等式的性质解决此题 解：3
12、a1， 等式两边同时除以3，得 a 故选：A 2为舒解中小微企业困难，助力企业健康发展，高坪区严格实施减收失业保险费、积极发放稳岗补贴等政策，对不裁员、少裁员的企业，返还失业保险费，其中中小微企业返还率 100%截至 3 月 29 日，全区715 户企业阶段性降费，惠及职工 10400 人将 10400 用科学记数法表示为（ ） A1.04103 B1.04104 C10.5104 D0.104105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时
13、，n是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：将 10400 用科学记数法表示为：1.04104 故选：B 3一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A四棱锥 B四棱柱 C三棱锥 D三棱柱 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形 解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体， 由俯视图为三角形，可得为棱柱体， 所以这个几何体是三棱柱； 故选：D 4下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 B（a3）2a6 C2a6a22a3 D（a+b）2a2+b2 【分析】根据同类项的知识可以判断 A，根据幂的乘方可以判断 B，根据单项式除以单项式可以判
14、断 C，根据完全平方公式可以判断 D 解：a2和 a3不是同类项，不能合并，故选项 A 不符合题意； （a3）2a6，故选项 B 符合题意； 2a6a22a4，故选项 C 不符合题意； （a+b）2a2+2ab+b2，故选项 D 不符合题意； 故选：B 5下列说法正确的是（ ） A一个游戏中奖的概率是，则做 100 次这样的游戏一定会中奖 B为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式 C一组数据 0，1，2，1，1 的众数和中位数都是 1 D若甲组数据的方差 S甲20.2，乙组数据的方差 S乙20.5，则乙组数据比甲组数据稳定 【分析】根据概率、方差、众数、中位数的定义对各选项进行判断
15、即可 【解答】A、一个游戏中奖的概率是，则做 100 次这样的游戏有可能中奖一次，该说法错误，故本选项错误； B、为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用抽样调查的方式，该说法错误，故本选项错误； C、这组数据的众数是 1，中位数是 1，故本选项正确； D、方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，则甲组数据比乙组稳定，故本选项错误； 故选：C 6如图，在ABC 中，BAC90，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交 AD 于点 G，交 BE于点 H，下面说法不正确的是（ ） ASABESBCE BAFGAGF CBHCH DFAG2ACF 【分析】根据三角形中线定义和三角
16、形面积公式可对 A 选项进行判断；根据等角的余角相等得到ABCDAC，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对 B 选项进行判断；根据等角的余角相等得到BADACB，再根据角平分线的定义可对 D 选项进行判断 解：BE 是中线得到 AECE， SABESBCE，所以 A 选项的说法正确； BAC90，AD 是高， ABCDAC， CF 是角平分线， ACFBCF， AFGFBC+BCF，AGFGAC+ACF， AFGAGF，所以 B 选项的说法正确； BAD+DAC90，DAC+ACB90， BADACB， 而ACB2ACF， FAG2ACF，所以 D 选项的说法正确 故选：C 7如图，在菱形
17、 ABCD 中，B45，AEBC 于点 E，延长 BC 至 B使 EBBE连接 AB交 CD 于点 F，ABa，则 BF 的长度为（ ） A B C（）a D 【分析】根据已知先求出 AE 的长，可证ABB是等腰直角三角形，得到 CB2BEBC，根据平行线的性质可得FCB是等腰直角三角形，即可得出 BF 的长度 解：在边长为 a 的菱形 ABCD 中，B45，AE 为 BC 边上的高， AEABa， EBBE，AEBC， ABAB， BB45， ABB是等腰直角三角形， AEBEEB， CB2BEBCaa， ABCD， FCBB45， 又BB45， FCB是等腰直角三角形， BFCFCBa，
18、故选：D 8已知关于 x 的不等式组仅有三个整数解，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 Ca1 Da1 【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解集是整数，可得答案 解：由 x2a3， 由 2x3（x2）+5，解得：2a3x1， 由关于 x 的不等式组仅有三个整数： 解得：22a31， 解得a1， 故选：A 9如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC3，将一个无限大的直角尺 MON 的直角顶点 O 与 BC边上的中点 D 重合并绕点 D 旋转，分别交 AB、AC 所在的直线于 E、F，连接 EF，若 BE1，则 EF 的长度为（ ） A B C或 D无法确定 【分
19、析】分点 E 在线段 AB 上和点 E 在线段 AB 的延长线上，通过 ASA 证明BDEADF，得出 AFBE，再利用勾股定理即可 解：分两种情况讨论： 如图，连接 AD，延长 ED 至 M，使 EDDM，连接 MC，MF， ABAC，BAC90，D 为 BC 中点， BDADCD，ADBC，EFFM，B1245， 又DEDF， BDEADF， 在BDE 与ADF 中， ， BDEADF（ASA）， AFBE1， 在 RtAEF 中，由勾股定理得： EF， 如图，连接 AD， 则BDEADF，FAD90+45135，EBD135， FADEBD， 又ADBD， 在EBD 与FAD 中， ，
20、EBDFAD（ASA）， AFBE1， 又AEAB+BE4， EF， 综上所述，EF或， 故选：C 10如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴的交点 B 在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x2 下列结论：abc0；9a+3b+c0；若点 M（，y1），点 N（，y2）是函数图象上的两点，则y1y2；a 其中正确结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案 解：由开口可知：a0， 对称轴 x0， b0， 由抛物线与 y 轴的交点可知：c0， abc0，故正确； 抛物
21、线与 x 轴交于点 A（1，0）， 对称轴为 x2， 抛物线与 x 轴的另外一个交点为（5，0）， x3 时，y0， 9a+3b+c0，故正确； 由于2， 且（，y2）关于直线 x2 的对称点的坐标为（，y2）， ， y1y2，故正确， 2， b4a， x1，y0， ab+c0， c5a， 2c3， 25a3， a，故正确 故选：D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 11计算 （1）（ab） 【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的 解：原式（） ， 故答案为： 12有大小、形状、颜色完全相同的 5 个乒乓球，每
22、个球上分别标有数字 1，2，3，4，5 中的一个，将这 5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是 【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可 解：列表得： （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （1，4） （2，4） （3，4） （5，4） （1，3） （2，3） （4，3） （5，3） （1，2） （3，2） （4，2） （5，2） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） 一共有 20 种情况，这两个球上的数字之和为偶数的 8 种情况， 这两个球上的数字之和为偶数的概率是 13如图，数学活动课上，小明用边
23、长为 20cm 的正五边形纸片材料制作圆锥，他以 D 为圆心，DC 为半径作扇形 DEC，将该扇形围成圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 4 cm 【分析】利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出圆锥底面圆的周长，然后根据圆的周长公式即可得到答案 解：多边形 ABCDE 是正五边形， CDE72， DE20cm， 的长为：8cm 设这个圆锥底面圆的半径为 rcm， 2r8， r4， 这个圆锥底面圆的半径是 4cm， 故答案为：4 14已知实数 a23a10，则代数式 a2a1 的值为 6 【分析】根据 a23a10 进行适当的变形后代入原式即可求出答案 解：由题意可知：a23a
24、10，a0， a3，a2a2a+1， 原式（2a+1）1 2a+11 2（a） 23 6， 故答案为：6 15抛物线 yx2+mx+（m1）与 x 轴交于点 A（x1，0），B（x2，0），x1x2，与 y 轴交于点 C，且满足x12+x22+x1x27，则ABC 的面积为 1 或 6 【分析】利用抛物线与 x 轴的交点问题，x1、x2为方程 x2+mx+（m1）0 的两根，利用根与系数的关系得到 x1+x2m，x1x2m1，则 m2（m1）7，解得 m13，m22，当 m3 时确定 A（2，0），B（1，0），C（0，2），利用三角形面积公式可计算出 SABC1；当 m2 时确定 A（1，0
25、），B（3，0），C（0，3），利用三角形面积公式可计算出 SABC6 解：抛物线 yx2+mx+（m1）与 x 轴交于点 A（x1，0），B（x2，0）， x1、x2为方程 x2+mx+（m1）0 的两根， x1+x2m，x1x2m1， x12+x22+x1x27， （x1+x2）2x1x27， m2（m1）7， 整理得 m2m60，解得 m13，m22， 当 m3 时，解方程 x2+3x+20，解得 x12，x21，则 A（2，0），B（1，0）， 此时 C（0，2）， SABC（1+2）21； 当 m2 时，解方程 x22x30，解得 x11，x23，则 A（1，0），B（3，0）， 此
26、时 C（0，3）， SABC（3+1）36； 综上所述，ABC 的面积为 1 或 6 故答案为 1 或 6 16如图，边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，CE1，将DCE 沿 DE 折叠得DFE，再将DCE 按顺时针方向绕点 D 旋转 90 度，连接 EG、FG，则下列说法：GEFAGE；GF5；tanFGB；FGBADG；其中正确结论为 （填序号） 【分析】 由旋转的性质和折叠的性质可得 DEDG， DEG90， DECDGA， CEDFED，由等腰三角形的性质可求GEFAGE，故正确；由勾股定理可求 DE 的长，由面积法可求 OC 的长，由锐角三角函数可求 CM，M
27、F 的长，即可求 GN，FN 的长，由勾股定理可求 GF5，故正确；由锐角三角函数可求 tanFGB， 故正确； 由锐角三角函数可求 tanADG，可得ADGFGB，故错误，即可求解 解：将DCE 沿 DE 折叠得DFE， DCEDFE， DCDF，CEEF1，CEDFED， 将DCE 按顺时针方向绕点 D 旋转 90 度， DEDG，DEG90，DECDGA， DEGDGE45，DGADEF， GEFAGE，故正确； 如图，连接 CF，交 DE 于点 O，过点 F 作 MNDC 于 M，交 AB 于 N， DC4，CE1， DE， 将DCE 沿 DE 折叠得DFE， DECF，COFO， D
28、CO+ECO90ECO+CEO， DCOCEO， SDCEDCCEDEOC， CO， CF， cosCEOcosDCF， ， ， CM， tanCEOtanDCF， ， MF4MC， MNDC，ABCDCB90， 四边形 BCMN 是矩形， MCBN，BCMN4， NF，GNABBN+AG， tanFGB，故正确； GF2FN2+GN225， GF5，故正确； tanADG， ADGFGB，故错误， 故答案为： 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 9 个小题，共个小题，共 86 分分 17计算：+6tan30 【分析】先分别化简负整数指数幂，绝对值，零指数幂，代入特殊角三角函数值，然后去
29、括号，先算乘法，最后算加减 解：原式2（1）+61 2+1+21 2+ 18如图，点 E，F 在 BC 上，BECF，ABDC，BC，求证：AFDE 【分析】利用 SAS 定理证明ABFDCE，根据全等三角形的性质证明结论 【解答】证明：BECF， BE+EFCF+EF，即 BFCE， 在ABF 和DCE 中， ， ABFDCE（SAS） AFDE 19随着扶贫工作的深入，全国近 800 万脱贫家庭子女接受了职业教育培训通过“授人以渔”的职业技能教育“智”拔穷根，实现了一人稳定就业，全家基本脱贫的扶贫目标某市以就业为导向，量身定做培训“菜单”，采取多种方式，实现培训就业一体化，着力提高培训的针
30、对性和实效性，拟制了下列四种方式：A：劳动技能培训班；B：岗位+劳务机构+培训；C：互联网+职业技能培训；D：帮带培训该市某职业技术培训中心对前来报名参加 2021 年第一期培训的学员选择的培训方式绘制成了两幅不完整的统计图，根据图中信息解答下列各题： （1）参加该职业技术培训中心 2021 年第一期培训的学员共有多少人？ （2）请你将条形统计图 2 补充完整； （3） 培训结束时， 该培训中心决定在方式 B 中选出优秀男学员 2 名， 在方式 C 中选出优秀女学员 2 名，现从这 4 名优秀学员中选择 2 名作劳动技能展示，请用列举法（画树状图或列表）求出抽到的两名学员都是男学员的概率 【分
31、析】（1）由 C 方式人数及其所占百分比可求得参加该职业技术培训中心 2021 年第一期培训的学员人数； （2）总人数减去 A、C、D 人数和求出 B 对应人数，从而补全图形； （3）列表得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 解：（1）参加该职业技术培训中心 2021 年第一期培训的学员共有 6030%200（人）； （2）B 方式的人数为 200（20+60+40）80（人）， 补全条形图如下： （3）列表得： 男 1 男 2 女 1 女 2 男 1 男 2 男 1 女 1 男 1 女 2 男 1 男 2 男 1 男 2 女 1 男 2 女 2 男 2 女 1
32、 男 1 女 1 男 2 女 1 女 2 女 1 女 2 男 1 女 2 男 2 女 2 女 1 女 2 由表格可知，共有 12 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中抽到的两名学员都是男学员的有2 种结果， 所以抽到的两名学员都是男学员的概率为 20已知 x1，x2是一元二次方程 4kx24kx+k+20 的两个实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）求使的值为整数的实数 k 的最大整数值 【分析】（1）根据已知可知，方程有两个实数根，那么0，解不等式即可； （2） 根据一元二次方程的根与系数的关系可得2， 根使的值为整数，以及 k 的范围即可确定 k 的最大整数值 解：（1）x1、
33、x2是一元二次方程 4kx24kx+k+20 的两个实数根， b24ac16k244k（k+2）32k0，且 4k0， 解得 k0； （2）x1+x21，x1x2， 原式2244， k0 解得 k1，3，6 实数 k 的最大整数值为1 21如图，一次函数 yx+4 的图象与反比例函数 y（k 为常数且 k0）的图象交于 A（1，a），B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求此反比例函数的表达式； （2）若点 P 在 x 轴上，且 SACPSBOC，求点 P 的坐标 【分析】（1）利用点 A 在 yx+4 上求 a，进而代入反比例函数 y求 k （2）联立方程求出交点，设出点 P 坐标表示三角形
34、面积，求出 P 点坐标 解：（1）把点 A（1，a）代入 yx+4，得 a3， A（1，3） 把 A（1，3）代入反比例函数 y k3， 反比例函数的表达式为 y （2）联立两个函数的表达式得 解得 或 点 B 的坐标为 B（3，1） 当 yx+40 时，得 x4 点 C（4，0） 设点 P 的坐标为（x，0） SACPSBOC 解得 x16，x22 点 P（6，0）或（2，0） 22如图，在ABC 中，O 为 AC 上一点，以点 O 为圆心，OC 为半径做圆，与 BC 相切于点 C，过点 A 作ADBO 交 BO 的延长线于点 D，且AODBAD （1）求证：AB 为O 的切线； （2）若
35、BC6，tanABC，求 AD 的长 【分析】 （1） 作 OEAB， 先由AODBAD 求得ABDOAD， 再由BCOD90及BOCAOD 求得OBCOADABD，最后证BOCBOE 得 OEOC，依据切线的判定可得； （2）先求得EOAABC，在 RtABC 中求得 AC8、AB10，由切线长定理知 BEBC6、AE4、OE3，继而得 BO3，再证ABDOBC 得，据此可得答案 解：（1）过点 O 作 OEAB 于点 E， ADBO 于点 D， D90， BAD+ABD90，AOD+OAD90， AODBAD， ABDOAD， 又BC 为O 的切线， ACBC， BCOD90， BOCAO
36、D， OBCOADABD， 在BOC 和BOE 中， ， BOCBOE（AAS）， OEOC， OEAB， AB 是O 的切线； （2）ABC+BAC90，EOA+BAC90， EOAABC， tanABC、BC6， ACBCtanABC8， 则 AB10， 由（1）知 BEBC6， AE4， tanEOAtanABC， ， OE3，OB3， ABDOBC，DACB90， ABDOBC， ，即， AD2 232020 年一场突如其来的新冠病毒在全球蔓延，我国政府以人为本，领导全国人民打了一场卓越的抗疫阻击战，取得了阶段性的成果在疫情期间，某市政府对销售防疫产品的商店进行补贴，该市规定销售某一消
37、毒液销售价不高于 45 元/件可获政府补贴金 5 元/件，已知这种产品的成本价为 30 元/件每天销售量 y（件）与销售单价 x（元/件）之间存在一次函数关系，如图所示 （1）求这种产品每天的销售量（单位：件）与销售单价 x（单位：元/件）之间的函数关系 （2）这种产品销售单价定为多少元时，商店每天的销售利润既最大，又能获得政府补贴？商店共获利多少元？ 【分析】（1）设出一次函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据每天利润等于单件产品的利润乘以销售量列出函数关系式，再根据函数性质求最大值，并比较函数取最大值时 x 的取值与国家规定，从而得出最大利润 解：（1）设 ykx+b， 图
38、象过（40，20）与（50，10）， ， 解得：， yx+60； （2）设销售利润为 W 元， W（x30）y（x30）（x+60）x2+90 x1800（x45）2+225， 10， 当 x45 时，W 有最大值，最大值为 225， 45 元没有高于 45， 可以获补贴， x45 时，y15， 补贴总额：15575（元）， 共获利 225+75300（元） 这种产品销售单价定为 45 元时，商店每天的销售利润既最大，又能获得政府补贴，商店共获利 300元 24如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 上一点，过点 D 作 DPCE 于点 P，连接 DE 交 AP 于点 F，若点P 恰好为
39、 CE 的中点时 （1）求证：ABP 是直角三角形； （2）若 BC3，BE1，求的值； （3）如图，在（2）的条件下，如果点 G、Q 分别为 DP、DE 上的动点，求 GF+GQ 的最小值 【分析】（1）通过证明DBEAPB，利用全等三角形对应角相等即可得出结论； （2）过点 F 作 FNAB 于点 N，利用平行线的性质和相似三角形的性质得出的值，利用高相等的三角形的面积比等于底的比可求结论； （3）过点 F 作 FMCD 于点 M，交 DP 于点 G，过点 G 作 GQDE 于点 Q，则 GF+GQ 最小，利用GQGF，可得 GQ+GFFM，过点 E 作 EHCD 于点 H，利用相似三角形
40、的性质列出比例式即可求得FM 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ABCD DCEBEC DPCE，点 P 为 CE 的中点， DP 是 CE 的垂直平分线， DCDE DCEDEC，DCAB EBC90，点 P 为 CE 的中点， BP 为斜边上的中线， BPPEPC， CEBPBE PEDPBE 在DPE 和APB 中， ， DPEAPB（SAS） DPEAPB DPEC， DPE90， APB90， ABP 为直角三角形 解：（2）过点 F 作 FNAB 于点 N，如图， BC3，BE1， EC， PCPBPEEC DPECBE90，DEPCEB， DEPCEB，
41、DE5 ABDE5 AEABBE4 APBCBE90，ABPCEB， APBCBE， FANAPB90，FANBAP， FANBAP， 设 FNx，则 NA3x，EN43x FNAB，DAAB， FNAD， FNEDAE， 解得：x EN4 EF DFDEEF5 ； 解：（3）过点 F 作 FMCD 于点 M，交 DP 于点 G，过点 G 作 GQDE 于点 Q，则 GF+GQ 最小，如图， 在DPE 和DPC 中， ， DPEDPC（SAS）， EDPCDP， GQDE，GMCD， GQGM GF+GQGF+GMFM 过点 E 作 EHCD 于点 H，则 EHBC3， EHCD，FMCD，
42、FMEH， ， FM 即 GF+GQ 的最小值为 25如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（4，0）、B（0，4）、C其对称轴 l 交 x轴于点 D，交直线 AB 于点 F，交抛物线于点 E （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为直线 l 上的动点，求PBC 周长的最小值； （3）点 N 为直线 AB 上的一点（点 N 不与点 F 重合），在抛物线上是否存在一点 M，使以点 E、F、N、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 M 的坐标，不存在，说明理由 【分析】（1）把点 A（4，0）、B（0，4）代入抛物线 yx2+bx+c 中，求得 b 和 c 即
43、可； （2）作点 B 关于直线 l 的对称轴 B，连接 BC 交 l 于一点 P，点 P 即为使PBC 周长最小的点，由对称可知，PBPB，即PBC 周长的最小值为：BC+CB （3）设 M（m，m2+3m+4），当 EF 为边时，则 EFMN，则 N（m，m+4），所以 NMEF，即|m2+3m+4 （m+4） |， 求出 m 的值， 代入即可； 当 EF 为对角线时， EF 的中点为 （，） ，由中点坐标公式可求得点 N 的坐标，再由点 N 是直线 AB 上一点，可知3+m+4m23m+，解得 m的值即可 解：（1）把点 A（4，0）、B（0，4）代入抛物线 yx2+bx+c 中， 得，解
44、得， 抛物线的解析式为：yx2+3x+4， （2）由抛物线解析式可知，l：x，C（1，0）， 如图，作点 B 关于直线 l 的对称轴 B，连接 BC 交 l 于一点 P，点 P 即为使PBC 周长最小的点， 此时 B（3，4），直线 BC：yx+1， P（，）， B（0，4），C（1，0），B（3，4）， BC，CB4， PBC 周长的最小值为：+4 （3） 存在， 以点 E、 F、 N、 M 为顶点的四边形为平行四边形的点 M 的坐标为 （， ） ，（，）或（，）理由如下： 由抛物线解析式可知，E（，）， A（4，0）、B（0，4）， 直线 AB 的解析式为：yx+4， F（，） EF 设 M（m，m2+3m+4）， 当 EF 为边时，则 EFMN， N（m，m+4）， NMEF，即|m2+3m+4（m+4）|， 解得 m（舍）或或或， M（，）或（，）或（，） 当 EF 为对角线时，EF 的中点为（，）， 点 N 的坐标为（3m，m23m+）， 3+m+4m23m+，解得 m（舍），m， M3（，） 综上， 满足以点 E、 F、 N、 M 为顶点的四边形为平行四边形的点 M 的坐标为 （， ） ，（，）或（，）
