1、2021 年甘肃省兰州市中考数学预测试卷年甘肃省兰州市中考数学预测试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1计算 34，结果是（ ） A1 B7 C1 D7 2下列运算中，正确的是（ ） A2a+3a5a Ba6a3a2 C（ab）2a2b2 D 3下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ） A正方体 B圆柱 C圆锥 D球 4如图，在ABC 中，ABAC，A30，直线 ab，顶点 C 在直线 b 上，直线 a 交 AB 于点 D，交AC 与点 E，若1145，则2 的度数是（ ） A30 B35 C40 D45 5在纳木错开展的第二次青藏高原综
2、合科学考查研究中，我国自主研发的系留浮空器于 5 月 23 日凌晨达到海拔 7003 米的高度这一高度也是已知的同类型同量级浮空器驻空高度的世界纪录数据 7003 用科学记数法表示为（ ） A0.7104 B70.03102 C7.003103 D7.003104 6下列说法正确的是（ ） A了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 B甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 S甲23，S乙24，说明乙的跳远成绩比甲稳定 C一组数据 2，2，3，4 的众数是 2，中位数是 2.5 D可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生 7 九章算术是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五
3、只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为 x 斤，一只燕的重量为 y斤，则可列方程组为（ ） A B C D 8如图，ABC 的顶点坐标分别为 A（4，4）、B（2，1）、C（5，2），沿某一直线作ABC 的对称图形， 得到ABC， 若点 A 的对应点 A的坐标是 （3， 5） ， 那么点 B 的对应点 B的坐标是 （ ） A（0，3） B（1，2） C（0，2） D（4，1） 9如图，已知菱形 ABCD 的周长为 24，对角线 AC、BD 交于点 O，且 AC+BD16，则该菱形的面积等于（ ） A6 B8 C14 D28 10如图，
4、正方形 ABCD 中，点 P 在 AC 上，PEAB，PFBC，垂足分别为 E、F，EF3，则 PD 的长为（ ） A1.5 B2 C2.5 D3 11若点 A（2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数 y（k 是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy1y3y2 Dy3y2y1 12如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是平行四边形，按以下步骤作图： 分别以点 O 和点 B 为圆心，以大于OB 的长为半径画弧，两弧相交于点 M 和 N；作直线 MN 交 BC于点 E，交 OA 于点 F若点 A 的坐标为（4，0），点 E
5、的坐标为（2，），则点 C 的坐标为（ ） A（1，） B（，） C（，） D（，1） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 12 分）分） 13因式分解：a24 14不等式组的最小整数解是 15一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字 1，2，4，8随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于 8 的概率是 16如图，在扇形 AOB 中，AOB90，点 C 在上，且的长为 ，点 D 在 OA 上，连接 BD，CD，若点 C，O 关于直线 BD 对称，则图中阴影部分的面积为 三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 12
6、 小题，共小题，共 72 分）分） 17计算：6sin45+|27|（2）3 18用配方法解方程：2x2x10 19先化简，然后从2，2，5 中选取一个的合适的数作为 x 的值代入求值 20如图，E、F 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，BEDF求证：AECF 21疫情期间，某销售商在网上销售 A、B 两种型号的电脑“手写板”，其进价、售价和每日销量如表所示： 进价（元/个） 售价（元/个） 销量（个/日） A 型 400 600 200 B 型 800 1200 400 根据市场行情，该销售商对 A 型手写板降价销售，同时对 B 型手写板提高售价，此时发现 A 型手写板每降低 5
7、 元就可多卖 1 个，B 型手写板每提高 5 元就少卖 1 个销售时保持每天销售总量不变，设其中 A型手写板每天多销售 x 个，每天获得的总利润为 y 元求 y 与 x 之间的函数关系式，并直接写出 x 的取值范围 22国家学生体质健康标准规定：体质测试成绩达到 90.0 分及以上的为优秀；达到 80.0 分至 89.9 分的为良好；达到 60.0 分至 79.9 分的为及格；59.9 分及以下为不及格某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了 10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示 各等级学生平均分统计表 等级 优秀 良好 及格 不及格 平均分
8、 92.1 85.0 69.2 41.3 （1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 ； （2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分； （3） 若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数， 请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级 232020 年 5 月 5 日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功运载火箭从地面 O 处发射，当火箭到达点 A 时，地面 D 处的雷达站测得 AD4000 米，仰角为 303 秒后，火箭直线上升到达点 B 处，此时地面 C 处的雷达站测得 B 处的仰角为 45已知 C，D 两处相距 460 米，求火箭从 A
9、到 B 处的平均速度（结果精确到 1 米/秒，参考数据：1.732，1.414） 24如图，直线 yax+1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，与双曲线 y在第一象限与第三象限分别交于 P，G 两点，过点 P 作 PCx 轴于点 C，且 PC2，点 A 的坐标为（2，0） （1）求双曲线的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式 ax+1的解集； （3）若点 Q 为双曲线上点 P 右侧的一点，且 QHx 轴于点 H，当以点 Q，C，H 为顶点的三角形与AOB 相似时，求点 Q 的坐标 25以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题 13 （
10、1）在 RtABC 中，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如表：（单位：厘米） AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 AC+BC 3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2 （2）根据学习函数的经验，选取上表中 BC 和 AC+BC 的数据进行分析； 设 BCx，AC+BCy，以（x，y）为坐标，在如图所示的坐标系中描出对应的点； 连线； 观察思考 （3）结合表中的数据以及所面的图象，猜想当 x 时，y 最大； （4）进一步猜想：若 RtABC 中中，C90，斜边 AB2a（a 为常数，a
11、0），则 BC 时，AC+BC 最大 推理证明 （5）对（4）中的猜想进行证明 问题 1在图中完善（2）的描点过程，并依次连线； 问题 2补全观察思考中的两个猜想：（3） ；（4） 问题 3证明上述（5）中的猜想： 26如图，ABC 中，ABAC以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点 D与 CA 的延长线相交于点 E，过点D 作 DFAC 于点 F （1）求证：DF 是O 的切线； （2）若 AC3AE，AHAB 交 BC 于 H，求 tanAHB 的值 27【实践操作】 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AD8cm，AB12cm 第一步：如图，将图中的矩形纸片 ABCD 沿过点 A 的直线折
12、叠，使点 D 落在 AB 上的点 E 处，折痕为 AF，再沿 EF 折叠，然后把纸片展平 （1）请在图中证明四边形 AEFD 是正方形 第二步： 如图， 将图中的矩形纸片再次折叠， 使点 D 与点 F 重合， 折痕为 GH， 然后展平， 隐去 AF 【探索发现】 第三步：如图，将图中的矩形纸片沿 AH 折叠，得到ADH，再沿 AD折叠，折痕为 AM，AM 与折痕 EF 交于点 N，然后展平 （2）请在图中判断 NF 与 ND的数量关系，并加以证明 【问题解决】 （3）求 EN 的长度 28如图，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（3，0），点 C（0，4），作 CDx 轴交抛物线于点 D，作
13、DEx 轴，垂足为 E，动点 M 从点 E 出发在线段 EA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动，同时动点 N 从点 A 出发在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒 （1）求抛物线的解析式； （2）设DMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； （3）当 MNDE 时，直接写出 t 的值； 在点 M 和点 N 运动过程中，是否存在某一时刻，使 MNAD？若存在，直接写出此时 t 的值；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 3
14、6 分）分） 1计算 34，结果是（ ） A1 B7 C1 D7 【分析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数依此即可求解 解：341 故选：A 2下列运算中，正确的是（ ） A2a+3a5a Ba6a3a2 C（ab）2a2b2 D 【分析】分别计算各选项即可 解：A 选项根据合并同类项的法则，系数相加，字母和字母的指数不变，故该选项正确，符合题意； B 选项根据同底数幂的除法，a6a3a3，故该选项错误，不符合题意； C 选项根据完全平方公式，（ab）2a22ab+b2，故该选项错误，不符合题意； D 选项与不是同类二次根式，不能进行合并，故该选项错误，不符合题意 故选：A
15、3下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ） A正方体 B圆柱 C圆锥 D球 【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图 解：A俯视图与主视图都是正方形，故选项 A 不合题意； B俯视图与主视图都是长方形，故选项 B 不合题意； C俯视图是圆，主视图是三角形，故选项 C 符合题意； D俯视图与主视图都是圆，故选项 D 不合题意； 故选：C 4如图，在ABC 中，ABAC，A30，直线 ab，顶点 C 在直线 b 上，直线 a 交 AB 于点 D，交AC 与点 E，若1145，则2 的度数是（ ） A30 B35 C40 D45 【分析】 先根据等
16、腰三角形的性质和三角形的内角和可得ACB75， 由三角形外角的性质可得AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论 解：ABAC，且A30， ACB75， 在ADE 中，1A+AED145， AED14530115， ab， AED2+ACB， 21157540， 故选：C 5在纳木错开展的第二次青藏高原综合科学考查研究中，我国自主研发的系留浮空器于 5 月 23 日凌晨达到海拔 7003 米的高度这一高度也是已知的同类型同量级浮空器驻空高度的世界纪录数据 7003 用科学记数法表示为（ ） A0.7104 B70.03102 C7.003103 D7.003104 【分析】科学记数法
17、的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：将 7003 用科学记数法表示为：7.003103 故选：C 6下列说法正确的是（ ） A了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 B甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 S甲23，S乙24，说明乙的跳远成绩比甲稳定 C一组数据 2，2，3，4 的众数是 2，中位数是 2.5 D可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生 【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：全
18、面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数一组数据中出现次数最多的数据叫做众数 解：A了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A 错误； B甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 S甲23，S乙24，说明甲的跳远成绩比乙稳定，B 错误； C一组数据 2，2，3，4 的众数是 2，中位数是 2.5，正确； D可能性是 1%的事件在一次试验中可能会发生，D
19、错误 故选：C 7 九章算术是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为 x 斤，一只燕的重量为 y斤，则可列方程组为（ ） A B C D 【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题 解：由五只雀，六只燕共重一斤，可得方程 5x+6y1， 由雀重燕轻，互换一只，恰好一样重，可得方程 4x+y5y+x， 故， 故选：C 8如图，ABC 的顶点坐标分别为 A（4，4）、B（2，1）、C（5，2），沿某一直线作ABC 的对称图形， 得到ABC， 若点 A 的对应点 A的坐标是 （3，
20、 5） ， 那么点 B 的对应点 B的坐标是 （ ） A（0，3） B（1，2） C（0，2） D（4，1） 【分析】根据网格结构确定出对称轴，然后找出点 B、C 的对应点 B、C的位置，再与点 A顺次连接即可，然后根据平面直角坐标系写出点 B的坐标 解：如图所示，点 B（0，3） 故选：A 9如图，已知菱形 ABCD 的周长为 24，对角线 AC、BD 交于点 O，且 AC+BD16，则该菱形的面积等于（ ） A6 B8 C14 D28 【分析】首先根据题意求出 AD 的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出 AOBO 的值，最后结合三角形的面积公式即可求出答案 解：四边形 ABCD
21、 是菱形， ACBD，ABBCCDDA， 菱形 ABCD 的周长为 24， ADAB6， AC+BD16， AO+BO8， AO2+BO2+2AOBO64， AO2+BO2AB2， AOBO14， 菱形的面积4三角形 AOD 的面积41428， 故选：D 10如图，正方形 ABCD 中，点 P 在 AC 上，PEAB，PFBC，垂足分别为 E、F，EF3，则 PD 的长为（ ） A1.5 B2 C2.5 D3 【分析】根据正方形的四条边都相等可得 ABAD，正方形的对角线平分一组对角可得BACDAC45，然后利用“边角边”证明ABP 和ADP 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；求出四边形
22、 BFPE 是矩形，根据矩形的对角线相等可 EFPB即可求解 解：如图，连接 PB， 在正方形 ABCD 中，ABAD，BACDAC45， APAP，ABAD，BACDAC45 ABPADP（SAS）， BPDP； PEAB，PFBC，ABC90， 四边形 BFPE 是矩形， EFPB， EFDP3， 故选：D 11若点 A（2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数 y（k 是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy1y3y2 Dy3y2y1 【分析】根据 k 的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点 A（2，y1
23、），B（1，y2），C（2，y3）所在的象限，确定 y2、y1、y3，大小关系 解：（k2+1）0， 反比例函数 y（k 是常数）的图象位于二四象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而增大， 因此点 A（2，y1），B（1，y2）在第二象限，而 C（2，y3）在第四象限， 0y2y2，y30， y21y3， 故选：B 12如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是平行四边形，按以下步骤作图： 分别以点 O 和点 B 为圆心，以大于OB 的长为半径画弧，两弧相交于点 M 和 N；作直线 MN 交 BC于点 E，交 OA 于点 F若点 A 的坐标为（4，0），点 E 的坐标为（2，），则点
24、C 的坐标为（ ） A（1，） B（，） C（，） D（，1） 【分析】连接 CE，如图，先计算出 OE3，再利用基本作图得到 MN 垂直平分 OB，则 OEOF3，OBEF，根据等腰三角形的性质得EOBFOB，接着利用平行四边形的性质得 BCOA，BCOA4，从而可证明EOBEBO，则 EBEO3，然后确定 E 点坐标 解：连接 OE，如图， 点 A 的坐标为（4，0），点 E 的坐标为（2，）， OA4，OE3， 由作法得 MN 垂直平分 OB， OEOF3，OBEF， EOBFOB， 四边形 ABCO 为平行四边形， BCOA，BCOA4， AOBEBO， EOBEBO， EBEO3，
25、CEBCBE431， E 点坐标为（1，） 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 12 分）分） 13因式分解：a24 （a+2）（a2） 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可 解：a24（a+2）（a2） 故答案为：（a+2）（a2） 14不等式组的最小整数解是 2 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案 解： 解不等式得：x3， 解不等式得：x1， 不等式组的解集为3x1， 不等式组的最小整数解是2， 故答案为：2 15一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字 1，2，4，8随机摸取一个小球后不放回，再随
26、机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于 8 的概率是 【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可 解：列表如下 1 2 4 8 1 2 4 8 2 2 8 16 4 4 8 32 8 8 16 32 由表知，共有 12 种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于 8 的有 4 种结果， 所以两次取出的小球上数字之积等于 8 的概率为， 故答案为： 16如图，在扇形 AOB 中，AOB90，点 C 在上，且的长为 ，点 D 在 OA 上，连接 BD，CD，若点 C，O 关于直线 BD 对称，则图中阴影部分的面积为 【分析】根据轴对称得出 BD 垂直平分 OC，再
27、根据直角三角形的边角关系可求出OBE 的度数，进而求出BOC 的度数，利用弧长公式求出半径，最后根据扇形面积和三角形面积公式求出答案即可 解：连接 OC，交 BD 于点 E， 点 C，O 关于直线 BD 对称， BD 垂直平分 OC，即 OECE，OCBD， OECEOCOB， OBE30， BOC903060， 又的长为 ， ， OB3， 在 RtBOD 中，OB3，OBD906030， ODOBtan303， 在 RtDOE 中，OD，DOE906030， DEOD， S阴影部分S扇形AOCSOCD 3 ， 故答案为： 三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 12 小题，共小题，共 72
28、 分）分） 17计算：6sin45+|27|（2）3 【分析】化简绝对值，负整数指数幂，代入特殊角三角函数值，然后先算乘法，再算加减 解：原式6+72（） 3+72+ + 18用配方法解方程：2x2x10 【分析】首先把方程的二次项系数化为 1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解 解：两边都除以 2，得 移项，得 配方，得， 或 x11， 19先化简，然后从2，2，5 中选取一个的合适的数作为 x 的值代入求值 【分析】首先化简分式时，有公因数（式）就先提取公因数（式），括号里分式的加减法，先通分，找到最小公分
29、母是 x+2，则原式可以化简为注意整个过程中分母不能为 0，即 x（x2）0，x240所以 x2，x0将 x5 代入求解得 解：原式 x240，x（x2）0 x0，x2， 当 x5 时，原式 答：原式的值为 20如图，E、F 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，BEDF求证：AECF 【分析】先证AEBCFD，再根据 AAS 证ABECDF，从而得出 AECF 【解答】证明：四边形 ZBCD 是正方形， ABCD，ABCD， BAEDCF， BEDF， BECDFA， AEBCFD， 在ABE 和CDF 中， ， ABECDF（AAS）， AECF 21疫情期间，某销售商在网上销售
30、A、B 两种型号的电脑“手写板”，其进价、售价和每日销量如表所示： 进价（元/个） 售价（元/个） 销量（个/日） A 型 400 600 200 B 型 800 1200 400 根据市场行情，该销售商对 A 型手写板降价销售，同时对 B 型手写板提高售价，此时发现 A 型手写板每降低 5 元就可多卖 1 个，B 型手写板每提高 5 元就少卖 1 个销售时保持每天销售总量不变，设其中 A型手写板每天多销售 x 个，每天获得的总利润为 y 元求 y 与 x 之间的函数关系式，并直接写出 x 的取值范围 【分析】根据题意和表格中的数据，可以写出 y 与 x 之间的函数关系式，并直接写出 x 的取
31、值范围 解：由题意得，y（6004005x）（200+x）+（1200800+5x）（400 x） 10 x2+800 x+200000，（0 x40 且 x 为整数）， 即 y 与 x 之间的函数关系式是 y10 x2+800 x+200000，（0 x40 且 x 为整数） 22国家学生体质健康标准规定：体质测试成绩达到 90.0 分及以上的为优秀；达到 80.0 分至 89.9 分的为良好；达到 60.0 分至 79.9 分的为及格；59.9 分及以下为不及格某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了 10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示
32、 各等级学生平均分统计表 等级 优秀 良好 及格 不及格 平均分 92.1 85.0 69.2 41.3 （1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 4% ； （2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分； （3） 若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数， 请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级 【分析】（1）根据各组的百分比之和为 1，计算即可； （2）利用加权平均数公式计算即可； （3）设总人数为 n 个，列不等式组即可得到结论 解：（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 152%18%26%4%； 故答案为：4%； （2）92.152%+85.026
33、%+69.218%+41.34%84.1； 答：所抽取的学生的测试成绩的平均分为 84.1 分； （3）设总人数为 n 个，80.041.3n4%89.9 所以 48n54.5，又因为 4%n 为整数 所以 n50， 即优秀的学生有 52%5010%260 人 232020 年 5 月 5 日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功运载火箭从地面 O 处发射，当火箭到达点 A 时，地面 D 处的雷达站测得 AD4000 米，仰角为 303 秒后，火箭直线上升到达点 B 处，此时地面 C 处的雷达站测得 B 处的仰角为 45已知 C，D 两处相距 460 米，求火箭从 A
34、到 B 处的平均速度（结果精确到 1 米/秒，参考数据：1.732，1.414） 【分析】 设火箭从 A 到 B 处的平均速度为 x 米/秒， 根据题意可得 AB3x， 在 RtADO 中， ADO30，AD4000， 可得 AO2000， DO2000， 在 RtBOC 中， BCO45， 可得 BOOC， 即可得 2000+3x2000460，进而解得 x 的值 解：设火箭从 A 到 B 处的平均速度为 x 米/秒，根据题意可知： AB3x， 在 RtADO 中，ADO30，AD4000， AO2000， DO2000， CD460， OCODCD2000460， 在 RtBOC 中，BC
35、O45， BOOC， OBOA+AB2000+3x， 2000+3x2000460， 解得 x335（米/秒） 答：火箭从 A 到 B 处的平均速度为 335 米/秒 24如图，直线 yax+1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，与双曲线 y在第一象限与第三象限分别交于 P，G 两点，过点 P 作 PCx 轴于点 C，且 PC2，点 A 的坐标为（2，0） （1）求双曲线的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式 ax+1的解集； （3）若点 Q 为双曲线上点 P 右侧的一点，且 QHx 轴于点 H，当以点 Q，C，H 为顶点的三角形与AOB 相似时，求点 Q 的坐标 【分析】（1）
36、把 A 坐标代入直线解析式求出 a 的值，确定出直线解析式，把 y2 代入直线解析式求出x 的值，确定出 P 坐标，代入反比例解析式求出 k 的值，即可确定出双曲线解析式； （2）观察函数图象即可求解； （3）设 Q（m，n），代入反比例解析式得到 b，分两种情况考虑：当QCHBAO 时；当QCHABO 时，由相似得比例求出 a 的值，进而确定出 b 的值，即可得出 Q 坐标 解：（1）把 A（2，0）代入 yax+1 中，求得 a， yx+1， 由 PC2，把 y2 代入 yx+1 中，得 x2，即 P（2，2）， 把 P 代入 y得：k4， 则双曲线解析式为 y； （2）联立并整理得：x2
37、+2x80，解得 x2 或4， 观察图象得，不等式 ax+1的解集为 x2 或4x0； （3）设 Q（m，n）， Q（m，n）在 y上， n， 当QCHBAO 时，可得，即， m22n，即 m2， 整理得：m22m80， 解得：m4 或 m2（舍去）， Q（4，1）； 当QCHABO 时，可得，即， 整理得：2m4， 解得：m1+或 m1（舍）， Q（1+，22） 综上，Q（4，1）或（1+，22） 25以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题 13 （1）在 RtABC 中，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如表：（单位：厘米
38、） AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 AC+BC 3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2 （2）根据学习函数的经验，选取上表中 BC 和 AC+BC 的数据进行分析； 设 BCx，AC+BCy，以（x，y）为坐标，在如图所示的坐标系中描出对应的点； 连线； 观察思考 （3）结合表中的数据以及所面的图象，猜想当 x 2 时，y 最大； （4） 进一步猜想： 若 RtABC 中中， C90， 斜边 AB2a （a 为常数， a0） ， 则 BC a 时，AC+BC 最大 推理证明 （5）对（4）中的猜想进
39、行证明 问题 1在图中完善（2）的描点过程，并依次连线； 问题 2补全观察思考中的两个猜想：（3） 2 ；（4） a 问题 3证明上述（5）中的猜想： 【分析】问题 1：利用描点法解决问题即可； 问题 2：利用图象法解决问题即可； 问题 3：设 BCx，AC+BCy，根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可 解：问题 1：函数图象如图所示： 问题 2：（3）观察图象可知，x2 时，y 有最大值 （4）猜想：BCa 故答案为：2，BCa 问题 3：设 BCx，AC+BCy， 在 RtABC 中，C90， AC， yx+， yx， y22xy+x24a2x2， 2x22xy+y24a20， 关
40、于 x 的一元二次方程有实数根， 4y242（y24a2）0， y28a2， y0，a0， y2a， 当 y2a 时，2x24ax+4a20， （x2a）20， x1x2a， 当 BCa 时，y 有最大值 26如图，ABC 中，ABAC以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点 D与 CA 的延长线相交于点 E，过点D 作 DFAC 于点 F （1）求证：DF 是O 的切线； （2）若 AC3AE，AHAB 交 BC 于 H，求 tanAHB 的值 【分析】（1）连接 OD，求出 ODAC，求出 DFOD，根据切线的判定得出即可； （2）由 AC3AE 可得 ABAC3AE，EC4AE；连接 B
41、E，由 AB 是直径可知AEB90，根据勾股定理求出 BE，解直角三角形即可求出答案 解：（1）证明：连接 OD， OBOD， OBDODB， ABAC， OBDC， ODBC， ODAC， DFAC， ODDF，点 D 在O 上， DF 是O 的切线； （2）连接 BE， AB 是直径， AEB90， ABAC，AC3AE， AB3AE，CE4AE，ABCC， BE2AE， 在 RtBEC 中，tanC tan， AHAB， BAH90， 设 AHa，AB2a， tanAHB 27【实践操作】 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AD8cm，AB12cm 第一步：如图，将图中的矩形纸片 ABCD
42、 沿过点 A 的直线折叠，使点 D 落在 AB 上的点 E 处，折痕为 AF，再沿 EF 折叠，然后把纸片展平 （1）请在图中证明四边形 AEFD 是正方形 第二步： 如图， 将图中的矩形纸片再次折叠， 使点 D 与点 F 重合， 折痕为 GH， 然后展平， 隐去 AF 【探索发现】 第三步：如图，将图中的矩形纸片沿 AH 折叠，得到ADH，再沿 AD折叠，折痕为 AM，AM 与折痕 EF 交于点 N，然后展平 （2）请在图中判断 NF 与 ND的数量关系，并加以证明 【问题解决】 （3）求 EN 的长度 【分析】（1）由DDAEAEF90，得四边形 AEFD 是矩形；又 AEAD，从而矩形
43、AEFD是正方形； （2）连接 HN，通过 HL 证明 RtHNFRtHND即可； （3）设 NFxcm，则 NDxcm，ANAD+ND（8+x）cm，ENEFNF（8x）cm，在 RtAEN中，利用勾股定理列出方程即可解决问题 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形， DDAE90， 由折叠的性质知 AEAD，AEFD90， DDAEAEF90， 四边形 AEFD 是矩形； AEAD， 四边形 AEFD 是正方形； （2）解：NFND，理由如下： 连接 HN， 由折叠的性质知，ADHD90，HFHDHD， 四边形 AEFD 是正方形， EFD90， ADH90， HDN90， 在 Rt
44、HNF 和 RtHND中， ， RtHNFRtHND（HL）， NFND； （3）解：四边形 AEFD 是正方形， AEEFAD8cm， 由折叠的性质知，ADAD8cm， 设 NFxcm，则 NDxcm， ANAD+ND（8+x）cm，ENEFNF（8x）cm， 在 RtAEN 中，由勾股定理得： （8+x）282+（8x）2， 解得：x2， EN826（cm） 28如图，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（3，0），点 C（0，4），作 CDx 轴交抛物线于点 D，作DEx 轴，垂足为 E，动点 M 从点 E 出发在线段 EA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动，同时动点 N 从
45、点 A 出发在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒 （1）求抛物线的解析式； （2）设DMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； （3）当 MNDE 时，直接写出 t 的值； 在点 M 和点 N 运动过程中，是否存在某一时刻，使 MNAD？若存在，直接写出此时 t 的值；若不存在，请说明理由 【分析】（1）根据抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（3，0），点 C（0，4），可以求得 b、c 的值，从而可以求得抛物线的解析式； （2）要求DMN 的面积，根据题目中的信息可以得到梯形 AEDC 的面积
46、、ANM 的面积、MDE 的面积、CND 的面积，从而可以解答本题； （3）根据 MNDE，可以得到AMN 和AOC 相似，从而可以求得 t 的值； 根据题目中的条件可以求得点 N、点 M、点 A、点 D 的坐标，由 ADMN 可以求得相应的 t 的值 解：（1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（3，0），点 C（0，4）， ， 解得， 即抛物线的解析式为：yx2+x+4； （2）作 NHAM 于点 H，如由图 1 所示， yx2+x+4， 对称轴 x， 点 A（3，0），点 C（0，4），CDx 轴交抛物线于点 D，DEx 轴，垂足为 E， 点 D（3，4），点 E（3，0），OA3，O
47、C4， AC5，AE6，CD3， NHAM，ANt，ME2t， ANHACO，AM62t， ， 即，得 NH0.8t， SS梯形AECDSAMNSDMESCDN 0.8t25.2t+12， 即 S 与 t 的函数关系式是 S0.8t25.2t+12（0t3）； （3）当 MNDE 时，t 的值是， 理由：如右图 2 所示 MNDE，AE6，AC5，AO3， AM62t，ANt，AMNAOC， ， 即， 解得，t； 存在某一时刻，使 MNAD，此时 t 的值是， 理由：如右图 3 所示， 设过点 A（3，0），C（0，4）的直线的解析式为 ykx+b， 则，得， 即直线 AC 的解析式为 y， NH0.8t， 点 N 的纵坐标为 0.8t， 将 y0.8t 代入 y得 x0.6t3， 点 N（0.6t3，0.8t） 点 E（3，0），ME2t， 点 M（32t，0）， 点 A（3，0），点 D（3，4），点 M（32t，0），点 N（0.6t3，0.8t），ADMN， ， 解得，t
