1、 1 2021-2022 学年第一学期九年级数学期中试题卷学年第一学期九年级数学期中试题卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 1下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ） Ay3x1 Byax2+bx+c Cy2x22x+1 Dyx2+ 2如图，下列条件中不能判定ACDABC 的是（ ） AADCACB B CACDB DAC2ADAB 3反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A图象经过点（1，1） B图象位于第二、四象限 C图象关于直线 yx 对称 Dy 随 x 的增大而增大 4将抛物线 yx2向上平移 3 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度
2、，所得到的抛物线为（ ） Ay（x+3）2+5 By（x3）2+5 Cy（x+5）2+3 Dy（x5）2+3 5下面四组图形中，必是相似三角形的为（ ） A两个直角三角形相似 B两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形相似 C有一个角为 40的两个等腰三角形 D有一个角为 100的两个等腰三角形 6在同一平面直角坐标系中，函数 ykx2+k 与 y的图象可能是（ ） 7已知二次函数 yax2+bx+c 与自变量 x 的部分对应值如表，下列说法错误的是（ ） 2 x 1 0 1 3 y 3 1 3 1 Aa0 B方程 ax2+bx+c2 的正根在 4 与 5 之间 C2a+b0 D若点（5，
3、y1） 、 （，y2）都在函数图象上，则 y1y2 8如图所示，AD 是ABC 的中线，E 是 AD 上一点，AE：ED1：3，BE 的延长线交 AC 于 F，AF：AC（ ） A1：4 B1：5 C1：6 D1：7 9如图，ABC 和DEF 都是边长为 2 的等边三角形，它们的边 BC，EF 在同一条直线 l 上，点 C，E 重合现将ABC 沿着直线 l 向右移动，直至点 B 与 F 重合时停止移动在此过程中，设点 C 移动的距离为 x，两个三角形重叠部分的面积为 y，则 y 随 x 变化的函数图象大致为（ ） 10已知二次函数 yx2+2x+3，截取该函数图象在 0 x4 间的部分记为图象
4、 G，设经过点（0，t）且平行于 x 轴的直线为 l，将图象 G 在直线 l 下方的部分沿直线 l 翻折，图象 G 在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象 M，若函数 M 的最大值与最小值的差不大于 5，则 t 的取值范围是（ ） A0t1 B1t0 C5t4 D1t1 二、二、填空题（每小题填空题（每小题 3 3 分，共分，共 2424 分）分） 11抛物线 y3（x1）2+8 的顶点坐标为 3 12已知：，且 3a2b+c9，则 2a+4b3c 13已知点 A（1，y1） ，B（2，y2）在反比例函数 y（k0）的图象上，则 y1 y2（填“” “”或“” ） 14已知抛物线 yx2+
5、bx+4 经过（2，n）和（4，n）两点，则 b 的值为 15当4x2 时，函数 yx26x7 的取值范围为 16如图，一直线经过原点 O，且与反比例函数 y（k0）相交于点 A、点 B，过点 A 作 ACy 轴，垂足为 C，连接 BC若ABC 面积为 8，则 k 17如图，在ABC 中，AB6，BC8，AC7，点 D，E 分别在 AB，BC 上，将BDE 沿 ED 折叠，点B 的对应点 F 刚好落在 AC 上当CEF 与ABC 相似时，BE 的长为 18在直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0） ，若抛物线 yx22x+n1 与线段 OA 有且只有一个公共点，则 n 的取值范围为 三、三、解
6、答题（共解答题（共 6 6 小题，小题，4646 分）分） 19(6 分)如图，abc直线 m、n 与 a、b、c 分别相交于点 A、B、C 和点 D、E、F 若 AB：BC2：5，DF10，求 EF 的长 4 20(6 分)如图，在ABC 中，ADDB，12求证：ABCEAD 21(8 分)如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象交于 A（2，1） ，B（1，n）两点 （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求AOB 的面积； （3）根据所给条件，请直接写出不等式 kx+b的解集 22(8 分)如图ABC 中，ABAC，A36，BD 为ABC 的平分线， （1）求证：A
7、D2ACDC； （2）若 ACa，求 AD 5 23(9 分)某社区决定把一块长 50m，宽 30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形） ，空白区域为活动区，且四周的 4 个出口宽度相同，其宽度不小于 14m，不大于 26m，设绿化区较长边为 xm，活动区的面积为 ym2为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于 14m，算出 x18 （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）求活动区的最大面积； （3）预计活动区造价为 50 元/m2，绿化区造价为 40 元/m2，若社区的此项建造投
8、资费用不得超过 72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？ 24(9 分)如图，已知抛物线 yax2+bx+5 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（5，0）两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 C，B 不重合） ，过点 D 作 DFx 轴于点 F，交直线BC 于点 E，连接 BD，直线 BC 能否把BDF 分成面积之比为 2：3 的两部分？若能，请求出点 D 的坐标；若不能，请说明理由 （3）若 M 为抛物线对称轴上一动点，使得MBC 为直角三角形，请直接写出点 M 的坐标 6 参考答案与试
9、题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 1下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ） Ay3x1 Byax2+bx+c Cy2x22x+1 Dyx2+ 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，a0）的函数，叫做二次函数进行分析 【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误； B、当 a0 时，yax2+bx+c 不是二次函数，故此选项错误； C、是二次函数，故此选项正确； D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是
10、要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为 0这个关键条件 2如图，下列条件中不能判定ACDABC 的是（ ） AADCACB B CACDB DAC2ADAB 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得 【解答】解：A、由ADCACB，AA 可得ACDABC，此选项不符合题意； B、由不能判定ACDABC，此选项符合题意； C、由ACDB，AA 可得ACDABC，此选项不符合题意； D、由 AC2ADAB，即，且AA 可得ACDABC，此选项不符合题意； 故选：B 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相
11、似三角形的判定定理 7 3反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A图象经过点（1，1） B图象位于第二、四象限 C图象关于直线 yx 对称 Dy 随 x 的增大而增大 【分析】反比例函数 y（k0）的图象 k0 时位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；k0 时位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大；在不同象限内，y 随 x 的增大而增大，根据这个性质选择则可 【解答】解：A、图象经过点（1，1） ，正确； B、图象位于第二、四象限，故正确； C、双曲线关于直线 yx 成轴对称，正确； D、在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，故错误， 故选：D 【点评】
12、本题考查了反比例函数图象的性质：、当 k0 时，图象分别位于第一、三象限；当 k0 时，图象分别位于第二、四象限、当 k0 时，在同一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k0 时，在同一个象限， y 随 x 的增大而增大 注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析 4将抛物线 yx2向上平移 3 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度，所得到的抛物线为（ ） Ay（x+3）2+5 By（x3）2+5 Cy（x+5）2+3 Dy（x5）2+3 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线 yx2向上平移 3 个单位所得
13、抛物线的解析式为：yx2+3； 由“左加右减”的原则可知，将抛物线 yx2+3 向右平移 5 个单位所得抛物线的解析式为：y（x5）2+3； 故选：D 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键 5下面四组图形中，必是相似三角形的为（ ） A两个直角三角形相似 B两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形相似 C有一个角为 40的两个等腰三角形 D有一个角为 100的两个等腰三角形 【分析】根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法得出 A、B、C 不一定相似，D 一定相似；即可 8 得出结果 【解答】解：两个直角三角形不一定相似； 因为只有一个直角
14、相等， A 不一定相似； 两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似； 因为这个对应角不一定是夹角； B 不一定相似； 有一个角为 40的两个等腰三角形不一定相似； 因为 40的角可能是顶角，也可能是底角， C 不一定相似； 有一个角为 100的两个等腰三角形一定相似； 因为 100的角只能是顶角， 所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等， D 一定相似； 故选：D 【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解决问题的关键 6在同一平面直角坐标系中，函数 ykx2+k 与 y的图象可能是（ ） 【分析】分 k0 和 k
15、0 分析两函数图象大致位置，对照四个选项即可得出结论 【解答】解：当 k0 时，函数 ykx2+k 的图象开口向上，顶点坐标在 y 轴正半轴上， 此时，函数 y的图象在第一、三象限， A 选项中图形合适； 当 k0 时，函数 ykx2+k 的图象开口向下，顶点坐标在 y 轴负半轴上， 9 此时，函数 y的图象在第二、四象限， 无合适图形 故选：A 【点评】本题考查了二次函数的图象以及反比例函数的图象分 k0 和 k0 两种情况分析出两函数图象大致位置是解题的关键 7已知二次函数 yax2+bx+c 与自变量 x 的部分对应值如表，下列说法错误的是（ ） x 1 0 1 3 y 3 1 3 1
16、Aa0 B方程 ax2+bx+c2 的正根在 4 与 5 之间 C2a+b0 D若点（5，y1） 、 （，y2）都在函数图象上，则 y1y2 【分析】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对 A 进行判断；利用抛物线的对称性可得 x1 和 x4 的函数值相等，则可对 B 进行判断；利用 x0 和 x3 时函数值相等可得到抛物线的对称轴方程，则可对 C 进行判断；利用二次函数的性质则可对 D 进行判断 【解答】解：二次函数值先由小变大，再由大变小， 抛物线的开口向下， a0， 故 A 正确； x1 时，y3， x4 时，y3， 二次函数 yax2+bx+c 的函数值为2 时，1x0
17、 或 3x4， 即方程 ax2+bx+c2 的负根在1 与 0 之间，正根在 3 与 4 之间， 故 B 错误； 抛物线过点（0，1）和（3，1） ， 抛物线的对称轴为直线 x， 1， 2a+b0， 故 C 正确； （，y2）关于直线 x的对称点为（，y2） ， 10 5， y1y2， 故 D 正确； 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质抛物线与 x 轴的交点，熟练掌握二次函数的性质和抛物线的对称性是解决此题的关键 8如图所示，AD 是ABC 的中线，E 是 AD 上一点，AE：ED1：3，BE 的延长线交 AC 于 F，AF：AC（ ） A1：4 B1：5
18、C1：6 D1：7 【分析】作 DHBF 交 AC 于 H，根据三角形中位线定理得到 FHHC，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案 【解答】解：作 DHBF 交 AC 于 H AD 是ABC 的中线， BDDC， FHHC， DHBF， AF：FC1：6， AF：AC1：7， 故选：D 11 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键 9如图，ABC 和DEF 都是边长为 2 的等边三角形，它们的边 BC，EF 在同一条直线 l 上，点 C，E 重合现将ABC 沿着直线 l 向右移动，直至点 B 与 F 重合时停止移动在此过程中，设点 C 移动的距
19、离为 x，两个三角形重叠部分的面积为 y，则 y 随 x 变化的函数图象大致为（ ） 【分析】分为 0 x2、2x4 两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得 y 与x 的函数关系式，于是可求得问题的答案 【解答】解：如图 1 所示：当 0 x2 时，过点 G 作 GHBF 于 H ABC 和DEF 均为等边三角形， GEJ 为等边三角形 GHEJx， yEJGHx2 当 x2 时，y，且抛物线的开口向上 如图 2 所示：2x4 时，过点 G 作 GHBF 于 H 12 yFJGH（4x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上 故选：A 【点评】本题主要考查的是动点问
20、题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键 10已知二次函数 yx2+2x+3，截取该函数图象在 0 x4 间的部分记为图象 G，设经过点（0，t）且平行于 x 轴的直线为 l，将图象 G 在直线 l 下方的部分沿直线 l 翻折，图象 G 在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象 M，若函数 M 的最大值与最小值的差不大于 5，则 t 的取值范围是（ ） A0t1 B1t0 C5t4 D1t1 【分析】找到最大值和最小值差刚好等于 5 的时刻，则 t 的范围可知 【解答】解：如图 1 所示，当 t 等于 0 时， y（x1）2+4， 顶点坐标为（1，4） ， 当 x0 时，y3， A（0，3
21、） ， 当 x4 时，y5， C（4，5） ， 当 t0 时， D（4，5） ， 此时最大值为 5，最小值为 0； 如图 2 所示，当 t1 时， 13 此时最小值为1，最大值为 4 综上所述：1t0， 故选：B 【点评】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为 5 的 t 的值为解题关键 三、三、填空题（每小题填空题（每小题 3 3 分，共分，共 2424 分）分） 11抛物线 y3（x1）2+8 的顶点坐标为 【分析】已知抛物线顶点式 ya（xh）2+k，顶点坐标是（h，k） 【解答】解：抛物线 y3（x1）2+8 是顶点式， 顶点坐标是（1，8） 故答案为：
22、（1，8） 【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易 12已知：，且 3a2b+c9，则 2a+4b3c 【分析】根据题意列出三元一次方程组，求得 a，b，c 的值后，代入代数式求值 【解答】解：由于，3a2b+c9， ， 解得：b7，a5，c8， 把 a，b，c 代入代数式得： 2a+4b3c25+473814， 故本题答案为：14， 另解：设：x， 14 则：a5x，b7x，c8x 3a2b+c9 可以转化为：15x14x+8x9，解得 x1 那么 2a+4b3c10 x+28x24x14x14 故答案为：14 【点评】本题利用了三元一次方程组的解法求解 13已知
23、点 A（1，y1） ，B（2，y2）在反比例函数 y（k0）的图象上，则 y1 y2（填“” “”或“” ） 【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再判断出在每一象限内的增减性，根据点 A（1，y1） ，B（2，y2）即可得出结论 【解答】解：反比例函数 y中，k0， 此函数的图象在二四象限， A（1，y1） ，B（2，y2） ， 点 A 在第二象限，点 B 在第四象限， y10，y20， y1y2 故答案为： 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键 14已知抛物线 yx2+bx+4 经过（2，n）
24、和（4，n）两点，则 b 的值为 【分析】根据（2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴 x1，再由对称轴的 x2b即可求解； 【解答】解：抛物线 yx2+bx+4 经过（2，n）和（4，n）两点， 可知函数的对称轴 x1， 2b1， b2； 故答案为 2 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键 15当4x2 时，函数 yx26x7 的取值范围为 【分析】 先根据 a1 判断出抛物线的开口向下， 故有最大值， 可知对称轴 x3， 再根据4x2， 15 可知当 x3 时 y 最大，把 x2 时 y 最小代入即可得出结论 【解答】解：a1， 抛物线
25、的开口向下，故有最大值， 对称轴 x3， 当 x3 时 y 最大为 2， 当 x2 时 y 最小为23， 函数 y 的取值范围为23y2， 故答案为23y2 【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴以及增减性是解题的关键 16如图，一直线经过原点 O，且与反比例函数 y（k0）相交于点 A、点 B，过点 A 作 ACy 轴，垂足为 C，连接 BC若ABC 面积为 8，则 k 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知 A、B 两点关于原点对称，则 O 为线段 AB的中点，故BOC 的面积等于AOC 的面积，都等于 4，然后由反比例函数 y的比例系数 k 的几何
26、意义，可知AOC 的面积等于|k|，从而求出 k 的值 【解答】解：反比例函数与正比例函数的图象相交于 A、B 两点， A、B 两点关于原点对称， OAOB， BOC 的面积AOC 的面积824， 又A 是反比例函数 y图象上的点，且 ACy 轴于点 C， AOC 的面积|k|， |k|4， k0， k8 16 故答案为 8 【点评】 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题， 涉及到反比例函数的比例系数 k 的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、 坐标轴、 向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系，即 S|k| 17如图，在ABC 中，AB6，BC8，AC7，点 D，E
27、 分别在 AB，BC 上，将BDE 沿 ED 折叠，点B 的对应点 F 刚好落在 AC 上当CEF 与ABC 相似时，BE 的长为 【分析】根据折叠的性质得到 BEEF，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解：将BDE 沿 DE 翻折得到FDE， BEEF， BC8， CE8BE， 当CEF 与ABC 相似时，或，即或， 解得：BE或， 故答案是：或 【点评】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键 18在直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0） ，若抛物线 yx22x+n1 与线段 OA 有且只有一个公共点，则 n 的取值范围为 【分析】根据题意可以将函数
28、解析式化为顶点式，由抛物线 yx22x+n1 与线段 OA 有且只有一个公共点，可以得到顶点的纵坐标为 0 或当 x0 时 y0 且当 x3 时，y 不小于 0，从而可以求得 x 的取值范围 【解答】解：点 A 的坐标为（3，0） ，抛物线 yx22x+n1（x1）2+n2 与线段 OA 有且只有一个公共点， n20 或， 17 解得，2n1 或 n2， 故答案为：2n1 或 n2 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 四、四、解答题（共解答题（共 6 6 小题，小题，4646 分）分） 19(6 分)如图，abc直线 m、n 与 a、b
29、、c 分别相交于点 A、B、C 和点 D、E、F 若 AB：BC2：5，DF10，求 EF 的长 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求 EF 即可 【解答】解：abc， ， ， 解得 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 20(6 分)如图，在ABC 中，ADDB，12求证：ABCEAD 【分析】根据已知得出CADE，进而利用相似三角形的判定方法得出答案 【解答】证明：ADDB， BBAD BDA1+C2+ADE， 又12， CADE 18 ABCEAD 【点评】 此题考查了相似三角形的判定： 有两个对应角相等的三角形相似；
30、 有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似 21(8 分)如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象交于 A（2，1） ，B（1，n）两点 （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求AOB 的面积； （3）根据所给条件，请直接写出不等式 kx+b的解集 【分析】 （1）把点 A（2，1）代入反比例函数 y，得到关于 m 的一元一次方程，解之，得到 m 的值， 即可得到反比例函数的解析式， 把点 B （1， n） 代入反比例函数 y得到关于 n 的一元一次方程，解之，即可得到 n 的值，得到点 A 和点 B 的坐标，利用待定系
31、数法，解之，即可得到 k 和 b 的值，即可得到一次函数的表达式， （2）把 y0 代入一次函数 yx1，解之，得到点 C 的横坐标，根据点 A 和点 B 的纵坐标，分别求出OAC 和OBC 的面积，二者相加即可得到答案， （3）根据函数图象，结合点 A 和点 B 的横坐标，即可得到答案 【解答】解： （1）把点 A（2，1）代入反比例函数 y得： 1， 解得：m2， 即反比例函数的解析式为：y， 把点 B（1，n）代入反比例函数 y得： n2， 即点 A 的坐标为： （2，1） ，点 B 的坐标为： （1，2） ， 19 把点 A（2，1）和点 B（1，2）代入一次函数 ykx+b 得： ，
32、 解得：， 即一次函数的表达式为：yx1， （2）把 y0 代入一次函数 yx1 得： x10， 解得：x1， 即点 C 的坐标为： （1，0） ，OC 的长为 1， 点 A 到 OC 的距离为 1，点 B 到 OC 的距离为 2， SAOBSOAC+SOBC + ， （3）如图可知：kx+b的解集为：2x0，x1 【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，解题的关键是： （1）正确掌握代入法和待定系数法， （2）正确掌握三角形的面积公式， （3）正确掌握数形结合思想 22(8 分)如图ABC 中，ABAC，A36，BD 为ABC 的平分线， （1）求证：AD2ACDC； （2）若 A
33、Ca，求 AD 【分析】 （1）根据两角对应相等证明BCDABC，再根据相似三角形的性质即可得到； （2）结合（1）的结论和已知条件可以得到关于 x 的方程，从而求解 【解答】 （1）证明：ABCCBDC， 20 BCDABC ， 又 BCBDAD， AD2ACDC （2）解：AD2ACDC，设 ADx，ACAD+CD， AD2（AC-AD） AC， x2（a-x）a， x（a+x）a2， x2+axa20， x a251 （负值舍去） 即 xa251 【点评】 （1）考查了相似三角形的判定和性质； （2）掌握一元二次方程的解法，注意此图中，点 D 实际上是 AC 的一个黄金分割点 23(9
34、分)某社区决定把一块长 50m，宽 30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形） ，空白区域为活动区，且四周的 4 个出口宽度相同，其宽度不小于 14m，不大于 26m，设绿化区较长边为 xm，活动区的面积为 ym2为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于 14m，算出 x18 （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）求活动区的最大面积； （3）预计活动区造价为 50 元/m2，绿化区造价为 40 元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过 72000元，求投资费用最少时活动区的出口
35、宽度？ 【分析】 （1）根据“活动区的面积矩形空地面积阴影区域面积”列出函数解析式便可，图形可得结 21 论； （2）根据题意可得 y 与 x 的关系式； （3）根据二次函数的增减性及解一元二次方程可得结论； 【解答】解： （1）根据题意，绿化区的宽为：30（502x）2x10 y50304x（x10）4x2+40 x+1500， 4 个出口宽度相同，其宽度不小于 14m，不大于 26m， 12x18， y4x2+40 x+1500（12x18） ； （2）y4x2+40 x+15004（x5）2+1600， a40，抛物线的开口向下，当 12x18 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x12
36、 时，y最大1404， 答：活动区的最大面积为 1404m2 （3）设投资费用为 w 元， 由题意得，w50（4x2+40 x+1500）+404x（x10）40（x5）2+76000， 当 w72000 时，解得：x15（不符合题意舍去） ，x215， a400， 当 x15 时，w72000， 又12x18， 15x18， 当 x18 时，投资费用最少，此时出口宽度为 502x5021814（m） ， 答：投资最少时活动区的出口宽度为 14m 【点评】本题是二次函数的综合应用题，结合图形得出函数关系，并根据问题的实际意义对自变量及函数值的范围作出判断 24(9 分)如图，已知抛物线 yax
37、2+bx+5 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（5，0）两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 C，B 不重合） ，过点 D 作 DFx 轴于点 F，交直线BC 于点 E，连接 BD，直线 BC 能否把BDF 分成面积之比为 2：3 的两部分？若能，请求出点 D 的坐标；若不能，请说明理由 22 （3）若 M 为抛物线对称轴上一动点，使得MBC 为直角三角形，请直接写出点 M 的坐标 【分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线 BC 的解析式为 yx+5，设 D（x，x
38、2+4x+5） ，则 E（x，x+5） ，F（x，0） ， （0 x5） ，则 DEx2+5x，EFx+5，利用三角形的面积公式进行讨论：当 DE：EF2：3 时，SBDE：SBEF2：3；当 DE：EF3：2 时，SBDE：SBEF3：2，从而可得到关于 x 的方程，然后解方程求出 x 就看得到对应的 D 点坐标； （3） 先确定抛物线的对称轴， 如图， 设 M （2， t） ， 利用两点间的距离公式得到 BC250， MC2t210t+29，MB2t2+9，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当 BC2+MC2MB2时，BCM 为直角三角形，则 50+t210t+29t2+9；当 BC2+MB2
39、MC2时，BCM 为直角三角形，则 50+t2+9t210t+29；当 MC2+MB2BC2时，BCM 为直角三角形，则 t210t+29+t2+950，然后分别解关于 t 的方程，从而可得到满足条件的 M 点坐标 【解答】解： （1）将 A（1，0） ，B（5，0）代入 yax2+bx+5， 得：， 解得， 则抛物线解析式为 yx2+4x+5； （2）能 设直线 BC 的解析式为 ykx+b， 把 C（0，5） ，B（5，0）代入得， 解得， 所以直线 BC 的解析式为 yx+5， 设 D（x，x2+4x+5） ，则 E（x，x+5） ，F（x，0） ， （0 x5） ， 23 DEx2+4
40、x+5（x+5）x2+5x，EFx+5， 当 DE：EF2：3 时，SBDE：SBEF2：3，即（x2+5x） ： （x+5）2：3， 整理得 3x217x+100， 解得 x1，x25（舍去） ，此时 D 点坐标为（，） ； 当 DE：EF3：2 时，SBDE：SBEF3：2，即（x2+5x） ： （x+5）3：2， 整理得 2x213x+150， 解得 x1，x25（舍去） ，此时 D 点坐标为（，） ； 综上所述，当点 D 的坐标为（，）或（，）时，直线 BC 把BDF 分成面积之比为 2：3 的两部分； （3）抛物线的对称轴为直线 x2，如图， 设 M（2，t） ， B（5，0） ，C
41、（0，5） ， BC252+5250，MC222+（t5）2t210t+29，MB2（25）2+t2t2+9， 当 BC2+MC2MB2时，BCM 为直角三角形，BCM90，即 50+t210t+29t2+9，解得 t7，此时 M 点的坐标为（2，7） ； 当 BC2+MB2MC2时，BCM 为直角三角形，CBM90，即 50+t2+9t210t+29，解得 t3，此时 M 点的坐标为（2，3） ； 当 MC2+MB2BC2时，BCM 为直角三角形，CMB90，即 t210t+29+t2+950，解得 t16，t21，此时 M 点的坐标为（2，6）或（2，1） ， 综上所述，满足条件的 M 点的坐标为（2，7） ， （2，3） ， （2，6） ， （2，1） 24 【点评】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与 x 轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 理解坐标与图形性质， 记住两点间的距离公式； 学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题
