1、 1 2021-2022 学年学年九年级九年级第一学期期中测试第一学期期中测试数学试卷数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 4 分，共分，共 4040 分）分） 1抛物线 y（x3）25 的顶点坐标是（ ） A （3，5） B （3，5） C （3，5） D （3，5） 2关于二次函数 y（x+1）2，下列说法正确的是（ ） A当 x1 时，y 值随 x 值的增大而增大 B当 x1 时，y 值随 x 值的增大而减小 C当 x1 时，y 值随 x 值的增大而增大 D当 x1 时，y 值随 x 值的增大而减小 3若（b+d0） ，则的值为（ ） A B C1 D 4二次函数 yx2+
2、4x+5 的图象可以由二次函数 yx2的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ） A先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 B先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 C先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 D先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 5已知反比例函数 y（k0）经过点（2，5）和点（1，a） ，则 a 的值为（ ） A2 B5 C10 D 6 已知点 （1， y1） 、 （3， y2） 、 （， y3） 在函数 yx2+2x+1+m 的图象上， 则 y1、 y2、 y3的大小关系是 （ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy2y3y1 Dy3y1
3、y2 7如图，点 D，E 分别在ABC 的 AB，AC 边上，增加下列条件中的一个：AEDB，ADEC，AC2ADAE，使ADE 与ACB 一定相似的有（ ） A B C D 8二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线 x1下列结论：a0；ab0；（a+c） 2 2b20；a+bm（am+b） （m 为实数） 其中结论正确的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 9 据省统计局公布的数据， 安徽省 2019 年第二季度 GDP 总值约为 7.9 千亿元人民币， 若我省第四季度 GDP总值为 y 千亿元人民币，平均每个季度 GDP 增长的百分率为 x，则 y 关于 x 的函数表达
4、式是（ ） Ay7.9（1+2x） By7.9（1x）2 Cy7.9（1+x）2 Dy7.9（1+x） （2+x） 10AD 是ABC 的中线，E 是 AD 上一点，AEAD，BE 的延长线交 AC 于 F，则的值为（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 11已知二次函数 yx24x6，若1x6，则 y 的取值范围为 12如图：点 A 在双曲线上，ABx 轴与 B，且AOB 的面积 SAOB2，则 k 13 用 长 度 为 16m 的 铝 合 金 条 制 成 如 图 所 示 的 矩 形 窗 框 ， 那 么 这 个 窗 户 的 最
5、大 透 光 面 积为 3 14五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点 C，D 分别为线段 AB 的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且 AB2，则图中五边形 CDEFG 的周长为 三、三、解答题解答题 15 （本小题（本小题 8 8 分）分）已知二次函数 yx2+4x+k1 （1）若抛物线与 x 轴有两个不同的交点，求 k 的取值范围； （2）若抛物线的顶点在 x 轴上，求 k 的值 16 （本小题（本小题 8 8 分）分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABBC，点 E 在 AB 上，DEC90 （1）求证：ADEBEC （2）若 AD1，BC3，AE2，求 EB 的
6、长 17 （本小题（本小题 8 8 分）分）已知一次函数 ykx+b（k0）的图象经过 A（3，18）和 B（2，8）两点 （1）求一次函数的解析式； （2）若一次函数 ykx+b（k0）的图象与反比例函数 y（m0）的图象只有一个交点，求交点坐 4 标 18 （本小题（本小题 8 8 分）分）若，求 k 的值 19 （本小题（本小题 1010 分）分）如图所示，C90，BC8cm，AC6cm，点 P 从点 B 出发，沿 BC 向点 C 以 2cm/s的速度移动，点 Q 从点 C 出发沿 CA 向点 A 以 1cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别从 B、C 同时出发，过多少秒时，以 C、P
7、、Q 为顶点的三角形恰与ABC 相似？ 20 （本小题（本小题 1010 分）分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx+m 的图象与反比例函数 y（x0）的图象交于 A、B 两点，已知 A（2，4） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求 B 点的坐标； （3）连接 AO、BO，求AOB 的面积 21 （本小题（本小题 1212 分）分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过 60 元） ，每天可售出 50 件根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1件设销售单价增加 x 元，每天售出 y 件 （1）请写出
8、y 与 x 之间的函数表达式； （2）当 x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元？ 5 （3）设超市每天销售这种玩具可获利 w 元，当 x 为多少时 w 最大，最大值是多少？ 22 （本小题（本小题 1212 分）分）如图，二次函数 yax2+bx 的图象经过点 A（2，4）与 B（6，0） （1）求 a，b 的值； （2）点 C 是该二次函数图象上 A，B 两点之间的一动点，横坐标为 x（2x6） ，写出四边形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值 23 （本小题（本小题 1414 分）分）在矩形 ABCD 的 CD 边上取一点
9、E，将BCE 沿 BE 翻折，使点 C 恰好落在 AD 边上点F 处 （1）如图 1，若 BC2BA，求CBE 的度数； （2）如图 2，当 AB5，且 AFFD10 时，求 BC 的长； （3）如图 3，延长 EF，与ABF 的角平分线交于点 M，BM 交 AD 于点 N，当 NFAN+FD 时，求的值 6 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 4 分，共分，共 4040 分）分） 1抛物线 y（x3）25 的顶点坐标是（ ） A （3，5） B （3，5） C （3，5） D （3，5） 【分析】根据抛物线 ya（xh）2+k 的顶点坐标是（h，k
10、）直接写出即可 【解答】解：抛物线 y（x3）25 的顶点坐标是（3，5） ， 故选：C 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线 ya（xh）2+k 的顶点坐标是（h，k） ，对称轴是直线 xh 2关于二次函数 y（x+1）2，下列说法正确的是（ ） A当 x1 时，y 值随 x 值的增大而增大 B当 x1 时，y 值随 x 值的增大而减小 C当 x1 时，y 值随 x 值的增大而增大 D当 x1 时，y 值随 x 值的增大而减小 【分析】观察二次函数 y（x+1）2的图象，从而可得答案 【解答】解；如图，由图象可得：当 x1 时，y 值随 x 值的增大先减少后增大，故 A
11、错误； 当 x1 时，y 值随 x 值的增大先减少后增大，故 B 错误； 当 x1 时，y 值随 x 值的增大而减少，故 C 错误； 当 x1 时，y 值随 x 值的增大而减小，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查的是二次函数的性质，掌握利用二次函数的图象探究二次函数的图象是解题的关键 3若（b+d0） ，则的值为（ ） A B C1 D 【分析】根据合比的性质进行解答即可 7 【解答】解：若（b+d0） ， 故选：A 【点评】此题考查了比例线段，熟练掌握合比的性质是解题的关键，是一道基础题 4二次函数 yx2+4x+5 的图象可以由二次函数 yx2的图象平移而得到，下列平移正确的是（
12、） A先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 B先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 C先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 D先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 【分析】把二次函数 yx2+4x+3 化为顶点坐标式，再观察它是怎样通过二次函数 yx2的图象平移而得到 【解答】解：根据题意 yx2+4x+5（x+2）2+1， 按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数 yx2先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位得到 故选：C 【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力 5已知反比例函数 y（k0）经过点（
13、2，5）和点（1，a） ，则 a 的值为（ ） A2 B5 C10 D 【分析】根据 kxy 即可得到关于 a 的方程，解方程即可求得 【解答】解：反比例函数 y（k0）经过点（2，5）和点（1，a） ， k25a， 解得：a10 故选：C 【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， 只要点在函数的图象上， 则一定满足函数的解析式 反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上 6 已知点 （1， y1） 、 （3， y2） 、 （， y3） 在函数 yx2+2x+1+m 的图象上， 则 y1、 y2、 y3的大小关系是 （ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy2y3y1 Dy3y1
14、y2 【分析】先求得抛物线的对称轴为直线 x1，根据二次函数的性质即可判断 8 【解答】解：由函数 yx2+2x+1+m（x+1）2+m 可知则抛物线的对称轴为直线 x1，抛物线开口向上，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大， 而点 A（1，y1）在对称轴上， （3，y2） 、 （，y3） ）在对称轴的右侧， y2y3y1 故选：C 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式 7如图，点 D，E 分别在ABC 的 AB，AC 边上，增加下列条件中的一个：AEDB，ADEC，AC2ADAE，使ADE 与ACB 一定相似的有（ ） A B C D 【分析】由
15、两角相等的两个三角形相似得出正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出正确；不能证出ADE 与ACB 一定相似；即可得出结果 【解答】解：AA，AEDB， ADEACB，正确； AA，ADEC， ADEACB，正确； AA， ADEACB，正确； 由，或 AC2ADAE，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明ADE 与ACB 相似，不正确 故选：A 【点评】本题考查了相似三角形的判定定理： （1）两角对应相等的两个三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； （3）三边对应成比例的两个三角形相似； （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条
16、直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 8二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线 x1下列结论：a0；ab0；（a+c） 9 2b20；a+bm（am+b） （m 为实数） 其中结论正确的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由抛物线开口方向得到 a0，选项错误； 由抛物线开口方向得到 a0，对称轴在 y 轴右侧，得到 a 与 b 异号可得出 ab0，选项错误； 由 x1 时对应的函数值 y0，可得出 a+b+c0，得到 a+cb，x1 时，y0，可得出 ab+c0，得到|a+c|b| ，即可得到（a+c）2b20，选项正确； 由对称轴为直线 x1，即 x1 时
17、，y 有最小值，可得结论，即可得到正确 【解答】解：抛物线开口向上，a0， 抛物线的对称轴在 y 轴右侧，b0 抛物线与 y 轴交于负半轴， c0， abc0，错误； 抛物线开口向上，a0， 抛物线的对称轴在 y 轴右侧，b0 ab0，错误； 当 x1 时，y0，a+b+c0， a+cb， 当 x1 时，y0，ab+c0， a+cb， |a+c|b| （a+c）2b2，即（a+c）2b20，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x1， x1 时，函数的最小值为 a+b+c， 10 a+b+cam2+mb+c， 即 a+bm（am+b） ，所以正确 故选：B 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关
18、系：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时，对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时，对称轴在 y 轴右常数项 c 决定抛物线与 y轴交点：抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数由判别式确定：b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 9 据省统计局公布的数据， 安徽省 2019 年第二季度 GDP 总值约为 7.9 千亿元人民币， 若我
19、省第四季度 GDP总值为 y 千亿元人民币，平均每个季度 GDP 增长的百分率为 x，则 y 关于 x 的函数表达式是（ ） Ay7.9（1+2x） By7.9（1x）2 Cy7.9（1+x）2 Dy7.9（1+x） （2+x） 【分析】根据平均每个季度 GDP 增长的百分率为 x，第三季度季度 GDP 总值约为 7.9（1+x）元，第四季度 GDP 总值为 7.9（1+x）2元，则函数解析式即可求得 【解答】解：设平均每个季度 GDP 增长的百分率为 x，则 y 关于 x 的函数表达式是：y7.9（1+x）2 故选：C 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是
20、解题关键 10AD 是ABC 的中线，E 是 AD 上一点，AEAD，BE 的延长线交 AC 于 F，则的值为（ ） A B C D 【分析】作 DHBF 交 AC 于 H，根据三角形中位线定理得到 FHHC，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案 【解答】解：作 DHBF 交 AC 于 H， AD 是ABC 的中线， FHHC， 11 DHBF，AEAD， ， AF：FC1：6， 的值 故选：D 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 11已知二次函数 yx24x6，
21、若1x6，则 y 的取值范围为 【分析】先根据 a1 判断出抛物线的开口向上，故有最小值，再把抛物线化为顶点式的形式可知对称轴x2，最小值 y7，再根据1x6 可知当 x6 时 y 最大，把 x6 代入即可得出结论 【解答】解：二次函数 yx24x6 中 a10， 抛物线开口向上，有最小值， yx24x6（x2）210， 抛物线的对称轴 x2，y最小10， 1x6， 当 x6 时，y 最大624666 10y6 故答案为：10y6 【点评】本题考查的是二次函数的性质，在解答此题时要先确定出抛物线的对称轴及最小值，再根据 x的取值范围进行解答 12如图：点 A 在双曲线上，ABx 轴与 B，且A
22、OB 的面积 SAOB2，则 k 12 【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出 k 的符号，再根据 SAOB2 求出 k 的值即可 【解答】解：反比例函数的图象在二、四象限， k0， SAOB2， |k|4， k4 故答案为：4 【点评】本题考查的是反比例系数 k 的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变 13 用 长 度 为 16m 的 铝 合 金 条 制 成 如 图 所 示 的 矩 形 窗 框 ， 那 么 这 个 窗 户 的 最 大 透 光 面 积为 【分析】设宽为 xm，则长为2316xm，可得面积 Sx2
23、316x，即可求解 【解答】解：设宽为 xm，则长为2316xm， 可得面积 Sx2316xx2+8x， 当 x38时，S 有最大值，最大值为332（m2） 故答案为：332m2 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案 13 14五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点 C，D 分别为线段 AB 的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且 AB2，则图中五边形 CDEFG 的周长为 【分析】 根据点 C， D 分别为线段 AB 的右侧和左侧的黄金分割点， 可得 ACBDAB， BCAB，再根据 CDBDB
24、C 求出 CD 的长度，然后乘以 5 即可求解 【解答】解：点 C，D 分别为线段 AB 的右侧和左侧的黄金分割点， ACBDAB1，BCAB3， CDBDBC（1）（3）24， 五边形 CDEFG 的周长5（24）1020 故答案为 1020 【点评】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点 四、四、解答题解答题 15 （本小题（本小题 8 8 分）分）已知二次函数 yx2+4x+k1 （1）若抛物线与 x 轴有两个不同的交点，求 k 的取值范围； （2）若抛物线的顶点在 x 轴上，求 k 的值
25、 【分析】 （1）根据抛物线 yx2+4x+k1 与 x 轴有两个不同的交点，得出 b24ac0，进而求出 k 的取值范围 （2）根据顶点在 x 轴上，所以顶点的纵坐标是 0，求出即可 【解答】解： （1）二次函数 yx2+4x+k1 的图象与 x 轴有两个交点 b24ac4241（k1）204k0 k5， 则 k 的取值范围为 k5； （2）根据题意得： 0， 14 解得 k5 【点评】此题主要考查了二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的个数的判断以及图象顶点在坐标轴上的性质，熟练掌握其性质是解题关键 16 （本小题（本小题 8 8 分）分）如图，在四边形 ABCD 中，ADB
26、C，ABBC，点 E 在 AB 上，DEC90 （1）求证：ADEBEC （2）若 AD1，BC3，AE2，求 EB 的长 【分析】 （1）由 ADBC、ABBC 可得出AB90，由等角的余角相等可得出ADEBEC，进而即可证出ADEBEC； （2）根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】 （1）证明：ADBC，ABBC， ABAD，AB90， ADE+AED90 DEC90， AED+BEC90， ADEBEC， ADEBEC； （2）解：ADEBEC， ， 即， BE 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是： （1）利用相似三角形的判定定理找出ADEBEC
27、； （2）利用相似三角形的性质求出 BE 的长度 15 17 （本小题（本小题 8 8 分）分）已知一次函数 ykx+b（k0）的图象经过 A（3，18）和 B（2，8）两点 （1）求一次函数的解析式； （2）若一次函数 ykx+b（k0）的图象与反比例函数 y（m0）的图象只有一个交点，求交点坐标 【分析】 （1）直接把（3，18） ， （2，8）代入一次函数 ykx+b 中可得关于 k、b 的方程组，再解方程组可得 k、b 的值，进而求出一次函数的解析式； （2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到0，解方程即可得到结论 【解答】解： （1）把（3，18） ， （2，8）代入
28、一次函数 ykx+b（k0） ，得 ， 解得， 一次函数的解析式为 y2x+12； （2）一次函数 ykx+b（k0）的图象与反比例函数 y（m0）的图象只有一个交点， 只有一组解， 即 2x2+12xm0 有两个相等的实数根， 12242（m）0， m18 把 m18 代入求得该方程的解为：x3， 把 x3 代入 y2x+12 得：y6， 即所求的交点坐标为（3，6） 【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法是解题的关键 18 （本小题（本小题 8 8 分）分）若，求 k 的值 【分析
29、】可分 a+b+c0 和 a+b+c0 两种情况代入求值和利用等比性质求解 【解答】解：当 a+b+c0 时， b+ca，c+ab，a+bc， 16 k 为其中任何一个比值，即 k1； a+b+c0 时， k 【点评】考查比例性质的应用；分两种情况探讨此题是解决本题的易错点 19 （本小题（本小题 1010 分）分）如图所示，C90，BC8cm，AC6cm，点 P 从点 B 出发，沿 BC 向点 C 以 2cm/s的速度移动，点 Q 从点 C 出发沿 CA 向点 A 以 1cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别从 B、C 同时出发，过多少秒时，以 C、P、Q 为顶点的三角形恰与ABC 相似？
30、 【分析】 设经过 y 秒后相似， 由于没有说明对应角的关系， 所以共有两种情况： CPQCBA 与CPQCAB 【解答】解：设经过 y 秒后，CPQCBA，此时 BP2y，CQy CPBCBP82y，CB8，CQy，CA6 CPQCBA， ， y2.4 设经过 y 秒后，CPQCAB，此时 BP2y，CQy CPBCBP82y CPQCAB， y， 所以，经过 2.4s 或s 后两个三角形都相似 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是分两种情况进行讨论，本题属于中等题型 17 20 （本小题（本小题 1010 分）分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx+m 的图象与反比例函数
31、y（x0）的图象交于 A、B 两点，已知 A（2，4） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求 B 点的坐标； （3）连接 AO、BO，求AOB 的面积 【分析】（1） 由点 A 的坐标利用一次函数、 反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式； （2）联立方程，解方程组即可求得； （3）求出直线与 y 轴的交点坐标后，即可求出 SAOD和 SBOD，继而求出AOB 的面积 【解答】解： （1）将 A（2，4）代入 yx+m 与 y（x0）中得 42+m，4， m6，k8， 一次函数的解析式为 yx+6，反比例函数的解析式为 y； （2）解方程组得或， B（4，2） ； （
32、3）设直线 yx+6 与 x 轴，y 轴交于 C，D 点，易得 D（0，6） ， OD6， SAOBSDOBSAOD64626 18 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；利用分割图形求面积法求出AOB 的面积 21 （本小题（本小题 1212 分）分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过 60 元） ，每天可售出 50 件根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1件设销售单价增加 x 元，每天售出
33、 y 件 （1）请写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当 x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利 w 元，当 x 为多少时 w 最大，最大值是多少？ 【分析】 （1）根据“每天可售出 50 件根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1件”列函数关系式即可； （2）根据题意“每天可售出 50 件根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1 件，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元”即可得到结论； （3）根据题意得到 w（x30）2+2450，根据二次函数的性质得到当 x30 时，w 随 x
34、 的增大而增大，于是得到结论 【解答】解： （1）根据题意得，yx+50（0 x20） ； （2）根据题意得， （40+x） （x+50）2250， 解得：x150，x210， 每件利润不能超过 60 元， x10， 答：当 x 为 10 时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元； （3）根据题意得，w（40+x） （x+50）x2+30 x+2000（x30）2+2450， 19 a0， 当 x30 时，w 随 x 的增大而增大， 40+x60，x20， 当 x20 时，w最大2400， 答：当 x 为 20 时 w 最大，最大值是 2400 元 【点评】本题考查了一次函数、二次函数的
35、应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键 22 （本小题（本小题 1212 分）分）如图，二次函数 yax2+bx 的图象经过点 A（2，4）与 B（6，0） （1）求 a，b 的值； （2）点 C 是该二次函数图象上 A，B 两点之间的一动点，横坐标为 x（2x6） ，写出四边形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值 【分析】 （1）把 A 与 B 坐标代入二次函数解析式求出 a 与 b 的值即可； （2）如图，过 A 作 x 轴的垂直，垂足为 D（2，0） ，连接 CD，过 C 作 CEAD，CFx 轴，垂足分别为 E，F，分别表示出三角形 OA
36、D，三角形 ACD，以及三角形 BCD 的面积，之和即为 S，确定出 S 关于x 的函数解析式，并求出 x 的范围，利用二次函数性质即可确定出 S 的最大值，以及此时 x 的值 【解答】解： （1）将 A（2，4）与 B（6，0）代入 yax2+bx， 得，解得：； （2）如图，过 A 作 x 轴的垂线，垂足为 D（2，0） ，连接 CD、CB，过 C 作 CEAD，CFx 轴，垂足分别为 E，F， 设 C 坐标为（x，x2+3x） ， SOADODAD244； 20 SACDADCE4（x2）2x4； SBCDBDCF4（x2+3x）x2+6x， 则 SSOAD+SACD+SBCD4+2x4
37、x2+6xx2+8x， S 关于 x 的函数表达式为 Sx2+8x（2x6） ， Sx2+8x（x4）2+16， 当 x4 时，四边形 OACB 的面积 S 有最大值，最大值为 16 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键 23 （本小题（本小题 1414 分）分）在矩形 ABCD 的 CD 边上取一点 E，将BCE 沿 BE 翻折，使点 C 恰好落在 AD 边上点F 处 （1）如图 1，若 BC2BA，求CBE 的度数； （2）如图 2，当 AB5，且 AFFD10 时，求 BC 的长； （3）如图 3，延长 EF，与ABF 的
38、角平分线交于点 M，BM 交 AD 于点 N，当 NFAN+FD 时，求的值 21 【分析】 （1）由折叠的性质得出 BCBF，FBEEBC，根据直角三角形的性质得出AFB30，可求出答案； （2）证明FABEDF，由相似三角形的性质得出，可求出 DE2，求出 EF3，由勾股定理求出 DF，则可求出 AF，即可求出 BC 的长； （3）过点 N 作 NGBF 于点 G，证明NFGBFA，设 ANx，设 FGy，则 AF2y，由勾股定理得出（2x）2+（2y）2（2x+y）2，解出 yx，则可求出答案 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， C90， 将BCE 沿 BE 翻折，使点 C
39、恰好落在 AD 边上点 F 处， BCBF，FBEEBC，CBFE90， BC2AB， BF2AB， AFB30， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， AFBCBF30， CBEFBC15； （2）将BCE 沿 BE 翻折，使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处， BFEC90，CEEF， 又矩形 ABCD 中，AD90， AFB+DFE90，DEF+DFE90， AFBDEF， 22 FABEDF， ， AFDFABDE， AFDF10，AB5， DE2， CEDCDE523， EF3， DF， AF2， BCADAF+DF23 （3）过点 N 作 NGBF 于点 G， NFAN+FD， NFADBC， BCBF， NFBF， NFGAFB，NGFBAF90， NFGBFA， ， 设 ANx， BN 平分ABF，ANAB，NGBF， ANNGx，ABBG2x， 23 设 FGy，则 AF2y， AB2+AF2BF2， （2x）2+（2y）2（2x+y）2， 解得 yx BFBG+GF2x+xx 【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键
