1、2020-2021 学年安徽省学年安徽省合肥市蜀山区合肥市蜀山区九年级（上）联考数学试卷（三）九年级（上）联考数学试卷（三） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分，每小题都给出分，每小题都给出 A、B、C、D 四个选项，其中只四个选项，其中只有一个是正确的）有一个是正确的） 1 （4 分）下列是有理数的是（ ） Atan45 Bsin45 Ccos45 Dsin60 2 （4 分）若，则的值为（ ） A B C D 3 （4 分）在 RtABC 中，C90，AC1，BC3，则B 的正切值为（ ） A3 B C D 4 （4 分
2、）函数 y中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx0 Cx0 的一切实数 Dx 取任意实数 5 （4 分）如图所示，有一山坡在水平方向每前进 100m 就升高 60m，那么山坡的坡度 i 为（ ） A3：5 B2：3 C4：7 D5：3 6 （4 分）如图，直线 y与 x、y 轴分别交于 A、B 两点，则 cosBAO 的值是（ ） A B C D 7 （4 分）已知二次函数 yx2+x+c 的图象与 x 轴的一个交点为（2，0） ，则它与 x 轴的另一个交点坐标是（ ） A （1，0） B （1，0） C （2，0） D （3，0） 8 （4 分）关于抛物线 yx2+2x，下列说法错
3、误的是（ ） A该抛物线经过原点 B该抛物线的对称轴是直线 x1 C该抛物线的最大值为 1 D当 x0 时，y 随 x 增大而减小 9 （4 分）如图，在等边三角形 ABC 中，点 E，F 分别在 AC，BC 上，且 AEACAPAF，则下列不正确的是（ ） AAEPAFC BABFBCE CABPPAE DPBFCBE 10 （4 分）如图，正方形 ABCD 和正方形 EFGH 的对角线 BD，EG 都在直线 l 上，将正方形 ABCD 沿着直线l从点D与点E重合开始向右平移， 直到点B与点G重合为止， 设点D平移的距离为x，两个正方形重合部分的面积为 S，则 S 关于 x 的函数图象大致为
4、（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11 （5 分）如图，AE、BD 交于点 C，ABDE，若 AC4，BC2，DC1，则 EC 12（5 分） 如图， ABC 的三个顶点分别在边长为 1 的正方形网格的格点上， 则 tan （+） tan+tan（填“” “” “” ） 13（5 分） 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形， 建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数关系式为 y，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 米时，这时水面宽度 AB 为 米 14 （5 分）一张直角三角形纸片 ABC，ACB90，A
5、B10，AC6，点 D，E 分别是 BC，AC 上的点，点 E 不与点 A， C 重合， 折叠DCE 使得直角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 F 处， 且BDF 是直角三角形 （1）四边形 DCEF 的形状是 ； （2）CD 的长为 三、 （本大题共三、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15 （8 分）计算：3tan2302sin60tan60+（cos23tan22）0 16 （8 分）如图，已知ABC 中，DEBC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，点 M 在 BC 边上，AM 交 DE 于点 F 求证： 四、 （本大题共四、 （本大
6、题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17 （8 分）如图，ABC 的顶点都在网格点上，点 M 的坐标为（0，1） （1）以点 M 为位似中心，位似比为 3，将ABC 放大，在第二象限得到A1B1C1，画出A1B1C1； （2）直接写出点 B1、C1的坐标 18 （8 分） 某工厂生产化肥的总任务一定， 平均每天化肥产量 y （吨） 与完成生产任务所需要的时间 x （天）之间成反比例关系，如果每天生产化肥 125 吨，那么完成总任务需要 7 天 （1）求 y 关于 x 的函数表达式； （2）若要 5 天完成总任务，则每天产量应达到多少？ 五、 （本大题共五、
7、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，D 为 AC 上的一点，CD3，ADBD5求A 的三个三角函数值 20 （10 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AEDB，射线 AG 分别交线段 DE，BC 于点 F，G，且 （1）求证：ADFACG； （2）若，求的值 六、 （本题满分六、 （本题满分 12 分）分） 21 （12 分）某公司向市场投入一款电子产品，前期研发投入为 10 万元，总利润 y（万元）与月份 x 成二次函数，其函数关系式为 yx2+20 x10（总利润
8、月销售累积利润前期投入） （1）投入市场后多长时间内总利润 y 是随月份 x 上升的？ （2）求最快要几个月，总利润才能达到 81 万元； （3）当月销售利润小于等于 3 万元时应考虑推出替代产品，问该公司何时推出替代产品最好？ 七、 （本题满分七、 （本题满分 12 分）分） 22 （12 分）如图，二次函数ax2+bx3 的图象与 x 轴相交于 A（1，0） ，B（3，0）两点与 y 轴相交于点 C （1）求这个二次函数的解析式； （2）若 P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx 轴于点 H，与 BC 交于点 AM，请问：当点 P 的坐标为多少时，线段 PM 的长最大？并求出
9、这个最大值 八、 （本题满分八、 （本题满分 14 分）分） 23 （14 分）如图 1，ABC 和DCE 都是等腰直角三角形，ABAC，DCDE，且点 A 是 DE 上的点（点A 不与点 D，E 重合） ，过点 B 作 BHAC 交 CE 的延长线于点 H，DE 的延长线交 BH 于点 G过点 A作 AFCE 交 CD 于点 F，连接 BE （1）求证：ABGCDA； （2）若 CHCF，求 BC 的长； （3）如图 2，若HEGCEA，求 tanCAF 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分
10、 40 分，每小题都给出分，每小题都给出 A、B、C、D 四个选项，其中只四个选项，其中只有一个是正确的）有一个是正确的） 1 （4 分）下列是有理数的是（ ） Atan45 Bsin45 Ccos45 Dsin60 【分析】根据特殊角的三角函数值、有理数的定义判断即可 【解答】解：A、tan451，是有理数，符合题意； B、sin45，不是有理数，不符合题意； C、cos45，不是有理数，不符合题意； D、sin60，不是有理数，不符合题意； 故选：A 2 （4 分）若，则的值为（ ） A B C D 【分析】用 b 表示 a，代入求解即可 【解答】解：， ab， 即 故选：A 3 （4 分
11、）在 RtABC 中，C90，AC1，BC3，则B 的正切值为（ ） A3 B C D 【分析】根据正切的定义计算即可 【解答】解：在 RtABC 中，C90，AC1，BC3， 则 tanB， 故选：B 4 （4 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx0 Cx0 的一切实数 Dx 取任意实数 【分析】根据分式有意义可得中 x0 【解答】解：函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x0， 故选：C 5 （4 分）如图所示，有一山坡在水平方向每前进 100m 就升高 60m，那么山坡的坡度 i 为（ ） A3：5 B2：3 C4：7 D5：3 【分析】根据坡度是坡面的铅直高度
12、h 和水平宽度 l 的比计算即可 【解答】解：铅直高度为 60m，水平宽度为 100m， 山坡的坡度 i60：1003：5， 故选：A 6 （4 分）如图，直线 y与 x、y 轴分别交于 A、B 两点，则 cosBAO 的值是（ ） A B C D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征求出点 A、B 的坐标，得到 OA、OB 的长，根据勾股定理求出 AB，根据余弦的定义解答即可 【解答】解：当 x0 时，y3， 当 y0 时，x4， 直线 y与 x、y 轴的交点 A 的坐标（4，0） 、B（0，3） ， OA4，OB3， 由勾股定理得，AB5， 则 cosBAO， 故选：A 7 （4 分）已
13、知二次函数 yx2+x+c 的图象与 x 轴的一个交点为（2，0） ，则它与 x 轴的另一个交点坐标是（ ） A （1，0） B （1，0） C （2，0） D （3，0） 【分析】根据根与系数的关系，即可求出另一根，即可解答 【解答】解：a1，b1， ， 即：2+x1，解得：x3， 二次函数与 x 轴的另一个交点为（3，0） ， 也可求将点（2，0）代入解析式可求 c6，令 y0，可求解 故选：D 8 （4 分）关于抛物线 yx2+2x，下列说法错误的是（ ） A该抛物线经过原点 B该抛物线的对称轴是直线 x1 C该抛物线的最大值为 1 D当 x0 时，y 随 x 增大而减小 【分析】根据抛
14、物线的解析式得出顶点坐标是（1，1） ，对称轴是直线 x1，根据 a10，得出开口向下，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，根据结论即可判断选项 【解答】解：当抛物线 yx2+2x，当 x0 时，y0， 经过原点，A 正确， 配方得：y（x1）2+1， 顶点坐标是（1，1） ，对称轴是直线 x1，根据 a10，得出开口向下有最大值，当 x1 时，y随 x 的增大而减小， B、C 说法正确； D 说法错误 故选：D 9 （4 分）如图，在等边三角形 ABC 中，点 E，F 分别在 AC，BC 上，且 AEACAPAF，则下列不正确的是（ ） AAEPAFC BABFBCE CABPPAE D
15、PBFCBE 【分析】首先证明PAECAF，推出APEC60，再证明ABFBCE，PBFCBE，可得结论 【解答】解：ABC 是等边三角形， ABBCAC，ABCCBAC60， AEACAPAF， ， PAECAF， PAECAF， APEC60， APEABP+BAP60，BAP+CAF60， CAFABE， BAFCBE， ABFC， ABFBCE， BPFAPEC，PBFCBE， PBFCBE， 故选项 A，B，D 正确， 故选：C 10 （4 分）如图，正方形 ABCD 和正方形 EFGH 的对角线 BD，EG 都在直线 l 上，将正方形 ABCD 沿着直线l从点D与点E重合开始向右平
16、移， 直到点B与点G重合为止， 设点D平移的距离为x，两个正方形重合部分的面积为 S，则 S 关于 x 的函数图象大致为（ ） A B C D 【分析】由题意易知，重合部分的形状是点或正方形，BD2，EG4然后分 0 x2、2x4、4x6 讨论即可 【解答】解：如图（1） ，当 0 x2 时，； 如图（2） ，当 2x4 时，正方形 ABCD 在正方形 EFGH 内部， 则； 如图（3） ，当 4x6 时，BG2（x4）6x， 综上所述，选项 A 符合题意 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11 （5 分）如
17、图，AE、BD 交于点 C，ABDE，若 AC4，BC2，DC1，则 EC 2 【分析】 由 ABDE， 即可证得ABCECD， 然后由相似三角形的对应边成比例， 即可求得 CE 的长 【解答】解：ABDE， ABCECD， ， AC4，BC2，DC1， ， 解得：CE2 故答案为：2 12（5分） 如图， ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上， 则tan （+） tan+tan（填“” “” “” ） 【分析】根据正切的概念和正方形网格图求出 tan 和 tan，根据等腰直角三角形的性质和 tan45的值求出 tan（+） ，比较即可 【解答】解：由正方形网格图可知，tan，t
18、an， 则 tan+tan+， ACBC，ACB90， +45， tan（+）1， tan（+）tan+tan， 故答案为： 13（5 分） 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形， 建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数关系式为 y，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 米时，这时水面宽度 AB 为 20 米 【分析】根据题目中的函数解析式和题意，将 y4 代入函数解析式，求出相应的 x 的值，从而可以得到 AB 的长 【解答】解：当 y4 时， 4， 解得，x110，x210， 当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 米时，这时水面宽度 AB 为：10（10）20（米） ， 故答案为：20 14 （5 分
19、）一张直角三角形纸片 ABC，ACB90，AB10，AC6，点 D，E 分别是 BC，AC 上的点，点 E 不与点 A， C 重合， 折叠DCE 使得直角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 F 处， 且BDF 是直角三角形 （1）四边形 DCEF 的形状是 正方形 ； （2）CD 的长为 【分析】 （1）由BDF 是直角三角形得CDFBDF90，再由折叠的性质可得：CDDF，即可求得结果； （2）在 RtACB 中，由勾股定理求出 BC 的长，根据BB，BDFBCA90，证明出BDFBCA，设 CDx，根据三角形相似性质即可列出方程求得 CD 的长 【解答】解（1）BDF 是直角三角形 FDBC
20、， CDFBDF90， 又ACB90， CDFBDFACB90， 四边形 DCEF 是矩形， 由折叠的性质可得：CDDF， 四边形 DCEF 是正方形， 故答案为：正方形； （2）在 RtACB 中，由勾股定理得： BC8， 设 CDx，则 DFx，BD8x， BB，BDFBCA90， BDFBCA， ， 即， 解得：x， CD 三、 （本大题共三、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15 （8 分）计算：3tan2302sin60tan60+（cos23tan22）0 【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，结合零指数幂的性质以及实数运算法则
21、，计算得出答案 【解答】解：原式3（）22+1 33+1 13+1 3 16 （8 分）如图，已知ABC 中，DEBC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，点 M 在 BC 边上，AM 交 DE 于点 F 求证： 【分析】由 DEBC，将问题分解为 DFBM，FEMC，分别利用平行线分线段成比例定理，利用“中间比”过渡，得出新的比例式，再变形即可 【解答】证明：DEBC， ， ， 四、 （本大题共四、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17 （8 分）如图，ABC 的顶点都在网格点上，点 M 的坐标为（0，1） （1）以点 M 为位似中心，位似
22、比为 3，将ABC 放大，在第二象限得到A1B1C1，画出A1B1C1； （2）直接写出点 B1、C1的坐标 【分析】 （1）利用位似变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1即可 （2）根据 B1，C1的位置写出坐标即可 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所求 （2）如图，B1（6，1） ，C1（9，10） 18 （8 分） 某工厂生产化肥的总任务一定， 平均每天化肥产量 y （吨） 与完成生产任务所需要的时间 x （天）之间成反比例关系，如果每天生产化肥 125 吨，那么完成总任务需要 7 天 （1）求 y 关于 x 的函数表达式； （2）若要 5 天完成总任务，则
23、每天产量应达到多少？ 【分析】 （1）首先设出反比例函数为 y，根据题意求得 k 的值即可； （2）代入 x5 求得 y 值即可 【解答】解： （1）设 y， 根据题意得：kxy1257875， y 关于 x 的函数表达式为 y； （2）当 x5 时，y175（吨） ， 即若要 5 天完成总任务，则每天产量应达到 175 吨 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，D 为 AC 上的一点，CD3，ADBD5求A 的三个三角函数值 【分析】在 RtBCD 中由勾股定理求得 BC4，
24、在 RtABC 中求得 AB4，再根据三角函数的定义求解可得 【解答】解：在 RtBCD 中，CD3、BD5， BC4， 又 ACAD+CD8， AB4， 则 sinA， cosA， tanA 20 （10 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AEDB，射线 AG 分别交线段 DE，BC 于点 F，G，且 （1）求证：ADFACG； （2）若，求的值 【分析】（1） 由AEDB、 DAECAB 利用三角形内角和定理可得出ADFC， 结合，即可证出ADFACG； （2）根据相似三角形的性质可得出，由可得出，再结合 FGAGAF 即可求出的值 【解答】 （1）证明：AED
25、B，DAECAB， ADFC 又， ADFACG （2）ADFACG， ， ， 1 六、 （本题满分六、 （本题满分 12 分）分） 21 （12 分）某公司向市场投入一款电子产品，前期研发投入为 10 万元，总利润 y（万元）与月份 x 成二次函数，其函数关系式为 yx2+20 x10（总利润月销售累积利润前期投入） （1）投入市场后多长时间内总利润 y 是随月份 x 上升的？ （2）求最快要几个月，总利润才能达到 81 万元； （3）当月销售利润小于等于 3 万元时应考虑推出替代产品，问该公司何时推出替代产品最好？ 【分析】 （1）将二次函数配方成顶点式，根据函数性质可得其增减性； （2）
26、根据题意列出方程，解方程可得； （3）当月销售利润当前总利润上月总利润，根据题意列出不等式，解不等式可得 【解答】解： （1）yx2+20 x10（x10）2+90， 当 x10 时，y 随 x 的增大而增大， 故投入市场后 10 个月内总利润 y 是随月份 x 上升的 （2）当 y81 时，可得：（x10）2+9081， 解得：x17，x213， 故最快要 7 个月，总利润才能达到 81 万元 （3）根据题意，得：x2+20 x10（x1）2+20（x1）103， 整理，得：2x+213， 解得：x9， 答：该公司第 9 个月时推出替代产品最好 七、 （本题满分七、 （本题满分 12 分）分
27、） 22 （12 分）如图，二次函数ax2+bx3 的图象与 x 轴相交于 A（1，0） ，B（3，0）两点与 y 轴相交于点 C （1）求这个二次函数的解析式； （2）若 P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx 轴于点 H，与 BC 交于点 AM，请问：当点 P 的坐标为多少时，线段 PM 的长最大？并求出这个最大值 【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数解析式； （2）先确定 C 点坐标，则可求出直线 BC 的解析式，设 P 的坐标为（t，t22t3） （0t3） ，M 的坐标为（t，t3） ，所以 PMt3（t22t3）t2+3t，然后利用二次函数的性质解决问题 【解答】
28、解： （1）由题意得：，解得， 这个二次函数的解析式为 yx22x3， （2）当 x0 时，y3，则 C 为（0，3） ， 易得直线 BC 的函数解析式为：yx3， 设 P 的坐标为（t，t22t3） （0t3） ，则 M 的坐标为（t，t3） ， PMt3（t22t3）t2+3t （t）2+， 10 且 0t3， 当 t时，PM 取得最大值，最大值为，此时 P 的坐标为（，） 八、 （本题满分八、 （本题满分 14 分）分） 23 （14 分）如图 1，ABC 和DCE 都是等腰直角三角形，ABAC，DCDE，且点 A 是 DE 上的点（点A 不与点 D，E 重合） ，过点 B 作 BHAC
29、 交 CE 的延长线于点 H，DE 的延长线交 BH 于点 G过点 A作 AFCE 交 CD 于点 F，连接 BE （1）求证：ABGCDA； （2）若 CHCF，求 BC 的长； （3）如图 2，若HEGCEA，求 tanCAF 的值 【分析】 （1）利用“同角的余角相等”得AGBCAD 即可； （2）先证明HBCAFC，进而根据比例线段求得； （3）作 BPDG，由“一线三等角”得ABPCAD，进而推出 PBPE，进而推出CAFPAB求得 【解答】证明： （1）BHAC， ABGBAC90， BAG+AGB90， BAG+CAD90， AGBCAD， ABGD90， ABGCDA； （2）
30、BHAC，CHAF， HACE，ACEFAC，AFDDCE45， HFAC， CBHABC+ABG45+90135， AFC180AFD135， CBHAFC， HBCAFC， ， ACBCCHCF， BCAC， BC； （3）如图 2， 作 BPDG 于 P， APB90， PAB+ABP90， BAC90， PAB+CAD90， CADABP， ABAC， DAPB90， ABPCAD（AAS） ， BPAD，APDC， DEDC， APDE， APAEDEAE， PEAD， BPPE， PBE 是等腰直角三角形， BEP45， DEC45， BEC180PEBDEC90， AOCBOE， ABEACECAF， HEGCEA， GEAE， BEAE， PABABE， PABCAF， 设 PBPEk， AEBEk， APPE+AE（k， tanCAFtanPAB 1
