1、2020-2021 学年安徽淮南市田家庵区九年级（上）第四次月考数学试卷学年安徽淮南市田家庵区九年级（上）第四次月考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的） 1 （4 分）的相反数是（ ） A3 B3 C D 2 （4 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a4 B（b2）3b6 C3a3a23a3 D（ab）2a2b2 3 （4 分）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方
2、块的个 数，则这个几何体的左视图为（ ） A B C D 4 （4 分）2020 年初，新冠病毒肆虐，新冠病毒是一种传染性很强的病毒，病毒颗粒多呈球形，其中球形 直径 60140nm， 请你将 60nm 换算成单位 m （1m1000000000nm） ， 并用科学记数法表示正确的是 （ ） A6.010 9 B610 9 C0.610 9 D610 8 5 （4 分） 是锐角，且，则（ ） A030 B3045 C4560 D6090 6 （4 分）如图，在ABC 中，ACBC，C90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，若 CD1，则 AC 的长度等于（ ） A B+1 C2 D+2 7
3、 （4 分）如图，在半径为 2 的O 中，弦 AB1，点 C 是优弧上一点（不与 A，B 重合） ，则 cosC 的 值为（ ） A B C D 8 （4 分）在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机摸取 一个小球记下标号后放回，再随机摸取一个小球记下标号，则两次摸取的小球的标号之积为负数的概率 为（ ） A B C D 9 （4 分）如图，过O 外一点 A 引圆的两条切线，切点分别为 D，C，BD 为O 的直径，连接 BC，DC若 ADCD，BD4，则 AC 的长度为（ ） A2 B2 C2 D4 10 （4 分）二次函数 yx2+mxn 的对称轴为
4、 x2若关于 x 的一元二次方程 x2+mxn0 在1x6 的范围内有实数解，则 n 的取值范围是（ ） A4n5 Bn4 C4n12 D5n12 二、填空题（木大题共二、填空题（木大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 11（5 分）分解因式：4x316x 12 （5 分）正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 13 （5 分）如图，在平面直角坐标系中菱形 ABCD 的顶点 A、B 在反比例函数 y（k0，x0）的图象 上，点 A、B 横坐标分别为 1，4，对角线 BDx 轴若菱形 ABCD 的面积为 10，则 k 的值 为 14 （5 分）如图，已知
5、BAC45，线段 DE 的两个端点在角的两边 AB，AC 上运动，且 DE2以线 段 DE 为边在 DE 的右侧作等边三角形 DEF，则 AF 的最大值为 三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15（8 分）计算：+4cos260|1| 16（8 分）先化简，再求值：（）（x21），其中 x 四、 （本大题共四、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17 （8 分）已知：如图，一次函数 y1x+2 与反比例函数 y2（x0）的图象交于点 A（a，5） （1）确定反比例函数的表达式
6、； （2）结合图象，直接写出 x 为何值时，y1y2 18 （8 分）如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且CDACBD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 BC6，tanCDA，求 CD 的长 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 19 （10 分）高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式，如图，A，B 两地被大山阻隔，由 A 地到 B 地需要绕行 C 地，若打通穿山隧道，建成 A，B 两地的直达高铁，可以缩短从 A 地到 B 地的路程已 知CAB30， CBA45， AC640 公里， 求隧道打
7、通后， 从 A 地到 B 地的路程 （结果保留根号） 20 （10 分）为抗击新冠肺炎，民众对消毒水的需求量激增，某消毒水生产厂商根据相关要求，1 月份生产 消毒液 2 万件，经技术改进后，2 月、3 月生产消毒水共 12 万件，那么 23 月生产的月平均增长率是多 少？ 六、 （本题满分六、 （本题满分 12 分）分） 21 （12 分）合肥地铁一号线某站有 4 个出站口，分别为 A 出口、B 出口、C 出口、D 出口，甲乙两位同学 先后在该地铁站下车，任意选择一个出站口出站 （1）甲同学从 A 出口出站的概率是 ； （2）求两人不从同一个出站口出站的概率 七、 （本题满分七、 （本题满分
8、12 分）分） 22 （12 分）设抛物线 yax2+bx2 与 x 轴交于两个不同的点 A（1，0） 、B（m，0） ，与 y 轴交于点 C且 ACB90 （1）求抛物线的解析式 （2）已知过点 A 的直线 yx+1 交抛物线于另一点 E，且点 D（1，3）在抛物线上问：在 x 轴上是否 存在点 P， 使以点 P、 B、 D 为顶点的三角形与AEB 相似？若存在， 请求出所有符合要求的点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 八、 （本题满分八、 （本题满分 14 分）分） 23 （14 分）问题探究： （1）如图 1，AOB45，在AOB 内部有一点 P，分别作点 P 关于边 OA、OB 的
9、对称点 P1，P2顺 次连接 O，P1，P2，则OP1P2的形状是 三角形 （2） 如图 2，在ABC 中，ABAC，BAC30，ADBC 于 D，AD2+，求：ABC 的面积 问题解决： （3）如图 3，在四边形 ABCD 内有一点 P，点 P 到顶点 B 的距离为 10，ABC60，点 M、N 分别是 AB、BC 边上的动点，顺次连接 P、M、N，使PMN 在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使 PMN 在周长最小的条件下， 面积最大这种情况？若存在， 请求出PMN 的面积的最大值； 若不存在， 请说明理由 2020-2021 学年安徽淮南市田家庵区九年级（上）第四次月考数学试卷学年
10、安徽淮南市田家庵区九年级（上）第四次月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的） 1 （4 分）的相反数是（ ） A3 B3 C D 【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号 【解答】解：的相反数是， 故选：C 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反 数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0 2 （4 分）下
11、列运算正确的是（ ） Aa2+a2a4 B（b2）3b6 C3a3a23a3 D（ab）2a2b2 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及整式的混合运算法则分别判断得出答案 【解答】解：A、a2+a22a2，故此选项错误； B、（b2）3b6，正确； C、3a3a29a3，故此选项错误； D、（ab）2a22ab+b2，故此选项错误； 故选：B 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 3 （4 分）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个 数，则这个几何体的左视图为（ ） A B C D 【分析】由已知条件可知，左视图有
12、3 列，每列小正方形数目分别为 2，3，2据此可作出判断 【解答】解：从左面看可得到从左到右分别是 3，2 个正方形 故选：A 【点评】本题考查几何体的三视图由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视 图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字 4 （4 分）2020 年初，新冠病毒肆虐，新冠病毒是一种传染性很强的病毒，病毒颗粒多呈球形，其中球形 直径 60140nm， 请你将 60nm 换算成单位 m （1m1000000000nm） ， 并用科学记数法表示正确的是 （ ） A6.010 9 B610 9 C0.610 9 D610 8 【分析】
13、绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：1m1000000000nm， 1nm110 9m， 60nm610 8m， 故选：D 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10，n 为由原数左边 起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 5 （4 分） 是锐角，且，则（ ） A030 B3045 C4560 D6090 【分析】在锐角三角函数中，余切值都是随着角的增大而减小cos30，cos45，故知
14、 的范围 【解答】解：在锐角三角函数中，余切值都是随着角的增大而减小， 又知 cos30，cos45， 故 3045， 故选：B 【点评】本题主要考查锐角三角形的增减性，在一个单调区间里，正弦函数和正切函数随角度增大而增 大，余弦和余切反之 6 （4 分）如图，在ABC 中，ACBC，C90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，若 CD1，则 AC 的长度等于（ ） A B+1 C2 D+2 【分析】 过 D 作 DEAB 于 E， 依据BDE 是等腰直角三角形， 即可得到 BD 的长， 进而得到 BC 的长， 可得答案 【解答】解：如图所示，过 D 作 DEAB 于 E， ACBC，C90
15、，AD 平分BAC， DECD1，B45， BDEB45， BEDE1， RtBDE 中，BD， BC+1， AC+1， 故选：B 【点评】 本题主要考查了角平分线的的性质以及等腰直角三角形， 等腰直角三角形是一种特殊的三角形， 具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质 7 （4 分）如图，在半径为 2 的O 中，弦 AB1，点 C 是优弧上一点（不与 A，B 重合） ，则 cosC 的 值为（ ） A B C D 【分析】作直径 BD， 连接 AD，根据圆周角定理得出DC， DAB90，根据勾股定理求出 AD， 解直角三角形求出即可 【解答】解：作直径 BD，连接 AD，
16、 则DC，BD224， BD 为直径， DAB90， 由勾股定理得：AD， cosCcosD， 故选：B 【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，圆周角定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关 键 8 （4 分）在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机摸取 一个小球记下标号后放回，再随机摸取一个小球记下标号，则两次摸取的小球的标号之积为负数的概率 为（ ） A B C D 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸取的小球的标号之积 为负数的结果数，再根据概率公式计算可得 【解答】解：画树状图得： 则共有 16 种等可
17、能的结果，其中两次摸取的小球的标号之积为负数的有 6 种结果， 所以两次摸取的小球的标号之积为负数的概率为， 故选：C 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率的知识用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数 之比 9 （4 分）如图，过O 外一点 A 引圆的两条切线，切点分别为 D，C，BD 为O 的直径，连接 BC，DC若 ADCD，BD4，则 AC 的长度为（ ） A2 B2 C2 D4 【分析】利用切线长定理得到 ADAC，则可判断ADC 为等边三角形，所以ADC60，再利用切 线的性质得到 ADDB，所以CDB30，接着根据圆周角定理得到BCD90，然后根据含 30 度 的直角三角形三
18、边的关系求出 CD 即可 【解答】解：AD、AC 为O 的两条切线，切点分别为 D，C， ADAC， 而 ADCD， ADCDAC， ADC 为等边三角形， ADC60， AD 为切线， ADDB， CDB906030， BD 为O 的直径， BCD90， 在 RtBCD 中，BCBD42， CDBC2， AC2 故选：C 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半 径，构造定理图，得出垂直关系 10 （4 分）二次函数 yx2+mxn 的对称轴为 x2若关于 x 的一元二次方程 x2+mxn0 在1x6 的范围内有实数解，则 n 的取值范围是（
19、） A4n5 Bn4 C4n12 D5n12 【分析】 根据对称轴求出 m 的值， 从而得到 x1、 6 时的函数 yx24x 值， 再根据一元二次方程 x2+mx n0 在1x6 的范围内有解相当于 yx2+mx 与 yn 在 x 的范围内有交点解答 【解答】解：抛物线的对称轴 x2， m4， 则方程 x2+mxn0，即 x24xn0 的解相当于 yx24x 与直线 yn 的交点的横坐标， 方程 x2+mxn0 在1x6 的范围内有实数解， 当 x1 时，y1+45， 当 x6 时，y362412， 又yx24x（x2）24， 当4n12 时，在1x6 的范围内有解 n 的取值范围是4n12
20、， 故选：C 【点评】本题主要考查抛物线与 x 轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键难点是把 一元二次方程 x2+mxn0 在1x6 的范围内有实数解，转化为函数 yx2+mx 与直线 yn 在1 x6 的范围内有交点的问题进行解答 二、填空题（木大题共二、填空题（木大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 11（5 分）分解因式：4x316x 4x（x+2） （x2） 【分析】首先提公因式 4x，再利用平方差进行分解即可 【解答】解：原式4x（x24）4x（x+2） （x2） 故答案为：4x（x+2） （x2） 【点评】 此题主要考查了提公因式
21、法与公式法分解因式， 一般是先提取公因式， 再考虑运用公式法分解 12 （5 分）正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 2： 【分析】从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的边长引垂线，构建直角三角形，解三角形即可 【解答】解：设正六边形的半径是 r， 则外接圆的半径 r， 内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是r， 因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 2： 故答案为：2： 【点评】考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中 的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形 13 （5 分）如图，在平面直角坐标系中菱形 ABCD
22、的顶点 A、B 在反比例函数 y（k0，x0）的图象 上，点 A、B 横坐标分别为 1，4，对角线 BDx 轴若菱形 ABCD 的面积为 10，则 k 的值为 【分析】连接 AC 交 BD 于 E，如图，利用菱形的性质得 ACBD，AECE，DEBE，设 A（1，k） ，B （4，） ，则 BE3，AEkk，根据菱形的面积公式得到 43k10，然后解关于 k 的方程即可 【解答】解：如图，连接 AC 交 BD 于 E， 四边形 ABCD 为菱形， ACBD，AECE，DEBE， BDx 轴， 设 A（1，k） ，B（4，） ， BE3，AEkk， 菱形 ABCD 的面积为 10， 4SABE1
23、0， 即 43k10，解得 k 故答案为 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义：在反比例函数 y图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|也考查了反比例函数图象上点的坐标特征 和菱形的性质 14 （5 分）如图，已知BAC45，线段 DE 的两个端点在角的两边 AB，AC 上运动，且 DE2以线 段 DE 为边在 DE 的右侧作等边三角形 DEF，则 AF 的最大值为 +1+ 【分析】当 AFDE 时，AF 的值最大，设 AF 交 DE 于 H，在 AH 上取一点 M，使得 AMDM，连接 DM分别求出 MH、AM、FH 即可解决
24、问题 【解答】解：如图，作ADE 的外接圆 O，连接 OD，OE， DAE45， 弦 DE 所对的圆心角DOE90， 当 A，O，F 在同一条直线上时，AF 最大， DEF 是等边三角形， DFEF， ODOE， AF 垂直平分 DE， 即当 AFDE 时，AF 的值最大，设 AF 交 DE 于 H，在 AH 上取一点 M，使得 AMDM，连接 DM FDFEDE2，AFDE， DHHE，ADAE，DAHDAE22.5， AMDM， MADMDA22.5， DMHMDH45， DHHM1， DMAM， FH，DAHDAE22.5，DH1， AH（为定值） ， AFAM+MH+FH+1+ AF
25、的最大值为+1+， 故答案为：+1+ 【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角 形解决问题 三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15 （8 分）计算：+4cos260|1| 【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值 【解答】解：原式2+4（）2（1） 2+4+1 2+1+1 +2 【点评】此题考查了实数的运算，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是 解本题的关键 16 （8 分）先化简，再求值： （） （x
26、21） ，其中 x 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可 【解答】解：原式（x21） 2x+2+x1 3x+1， 当 x时，原式 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 四、 （本大题共四、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17 （8 分）已知：如图，一次函数 y1x+2 与反比例函数 y2（x0）的图象交于点 A（a，5） （1）确定反比例函数的表达式； （2）结合图象，直接写出 x 为何值时，y1y2 【分析】 （1）依据点 A（a，5）在一次函数 y1x+2 的图
27、象上，可得 a3，进而得到点 A 坐标为（3，5） ， 再根据点 A（3，5）在反比例函数的图象上，可得 k15，进而得到反比例函数的表达式 为 y2（x0） ； （2）在第一象限内，依据 y1y2即可得到 x 的取值范围 【解答】解： （1）点 A（a，5）在一次函数 y1x+2 的图象上， 5a+2， a3， 点 A 坐标为（3，5） ， 点 A（3，5）在反比例函数的图象上， 5， k15， 反比例函数的表达式为 y2（x0） ； （2）由图象可知，当 0 x3 时，y1y2 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法 确定函数解析式，熟练
28、掌握待定系数法是解本题的关键 18 （8 分）如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且CDACBD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 BC6，tanCDA，求 CD 的长 【分析】 （1）连接 OD，如图，先证明CDAODB，再根据圆周角定理得ADO+ODB90，则 ADO+CDA90，即CDO90，于是根据切线的判定定理即可得到结论； （2）由于CDAODB，则 tanCDAtanABD，根据正切的定义得到 tanABD， 接着证明CADCDB，由相似的性质得，然后根据比例的性质可计算出 CD 的长 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图， OBOD， OBDB
29、DO， CDACBD， CDAODB， AB 是O 的直径， ADB90，即ADO+ODB90， ADO+CDA90， 即CDO90， ODCD， CD 是O 的切线； （2）解：CDAODB， tanCDAtanABD， 在 RtABD 中，tanABD， DACBDC，CDACBD， CADCDB， ， CD64 【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆 的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可也考查了相似三角形的判 定与性质 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 2
30、0 分）分） 19 （10 分）高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式，如图，A，B 两地被大山阻隔，由 A 地到 B 地需要绕行 C 地，若打通穿山隧道，建成 A，B 两地的直达高铁，可以缩短从 A 地到 B 地的路程已 知CAB30， CBA45， AC640 公里， 求隧道打通后， 从 A 地到 B 地的路程 （结果保留根号） 【分析】直接构造出直角三角形，进而利用锐角三角函数关系得出答案 【解答】解：如图，过点 C 作 CDAB，垂足为 D， 在 RADC 中，CAB30，AC640 公里， CDACsin30320 公里，ADACcos30320（公里）， 在 RtBCD 中，
31、CBA45，CD320 公里， BDCD320 公里， ABAD+BD（320+320）公里， 答：随道打通后，从 A 地到 B 地的路程为（320+320）公里 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键 20 （10 分）为抗击新冠肺炎，民众对消毒水的需求量激增，某消毒水生产厂商根据相关要求，1 月份生产 消毒液 2 万件，经技术改进后，2 月、3 月生产消毒水共 12 万件，那么 23 月生产的月平均增长率是多 少？ 【分析】 设 23 月生产的月平均增长率是 x， 则 2 月份生产消毒液 2 （1+x） 瓶， 3 月份生产消毒液 2 （1+x） 2 瓶
32、， 根据 2 月、 3 月生产消毒水共 12 万件， 即可得出关于 x 的一元二次方程， 解之取其正值即可得出 2 3 月生产的月平均增长率是 100% 【解答】解：设 23 月生产的月平均增长率是 x，则 2 月份生产消毒液 2（1+x）瓶，3 月份生产消毒液 2（1+x）2瓶， 依题意得：2（1+x）+2（1+x）212， 整理得：x2+3x40， 解得：x11100%，x24（不合题意，舍去） 答：23 月生产的月平均增长率是 100% 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 六、 （本题满分六、 （本题满分 12 分）分） 21 （12 分
33、）合肥地铁一号线某站有 4 个出站口，分别为 A 出口、B 出口、C 出口、D 出口，甲乙两位同学 先后在该地铁站下车，任意选择一个出站口出站 （1）甲同学从 A 出口出站的概率是 ； （2）求两人不从同一个出站口出站的概率 【分析】 （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有 16 种等可能的结果，甲乙两人不从同一个出站口出站的结果有 12 种，再由概率公 式求解即可 【解答】解： （1）甲同学从 A 出口出站的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有 16 种等可能的结果，甲乙两人不从同一个出站口出站的结果有 12 种， 甲乙两人不从同一个出站口出站的概率为 【点评】本
34、题考查的是用树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所 求情况数与总情况数之比 七、 （本题满分七、 （本题满分 12 分）分） 22 （12 分）设抛物线 yax2+bx2 与 x 轴交于两个不同的点 A（1，0） 、B（m，0） ，与 y 轴交于点 C且 ACB90 （1）求抛物线的解析式 （2）已知过点 A 的直线 yx+1 交抛物线于另一点 E，且点 D（1，3）在抛物线上问：在 x 轴上是否 存在点 P， 使以点 P、 B、 D 为顶点的三角形与AEB 相似？若存在， 请求出所有符合要求的点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据抛物线的解析
35、式可知 OC2，由于ACB90，可根据射影定理求出 OB 的长，即 可得出 B 点的坐标，也就得出了 m 的值然后根据 A，B，C 三点的坐标，用待定系数法可求出抛物线 的解析式 （2）本题要分情况进行讨论，如果过 E 作 x 轴的垂线，不难得出DBx135，而ABE 是个钝角但 小于 135， 因此 P 点只能在 B 点左侧 可分两种情况进行讨论： DPBABE， 即DBPEAB， 可得出 BP：APBD：AE，可据此来求出 P 点的坐标PDBABE，即DBPBAE，方法同 ，只不过对应的成比例线段不一样综上所述可求出符合条件的 P 点的值 【解答】解：（1）令 x0，得 y2， C（0，2
36、）， ACB90，COAB， AOCCOB， OAOBOC2 OB4， m4， B（4，0）， 将 A（1，0），B（4，0）代入 yax2+bx2 得， 解得， 抛物线的解析式为 yx2x2； （2）解得， E（6，7）， 过 E 作 EHx 轴于 H，则 H（6，0） ， AHEH7， EAH45， 过 D 作 DFx 轴于 F，则 F（1，0） ， BFDF3 DBF45， EAHDBF45， DBH135，90EBA135 则点 P 只能在点 B 的左侧，有以下两种情况： 若DBP1BAE，则， BP1 OP14， P1（，0）； 若DBP2BAE，则， BP2 OP24， P2（，0
37、） 综合、，得点 P 的坐标为：P1（，0）或 P2（，0） 【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性较 强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法 八、 （本题满分八、 （本题满分 14 分）分） 23 （14 分）问题探究： （1）如图 1，AOB45，在AOB 内部有一点 P，分别作点 P 关于边 OA、OB 的对称点 P1，P2顺 次连接 O，P1，P2，则OP1P2的形状是 等腰直角 三角形 （2） 如图 2，在ABC 中，ABAC，BAC30，ADBC 于 D，AD2+，求：ABC 的面积 问题解决： （3）如图 3，在四边形 AB
38、CD 内有一点 P，点 P 到顶点 B 的距离为 10，ABC60，点 M、N 分别是 AB、BC 边上的动点，顺次连接 P、M、N，使PMN 在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使 PMN 在周长最小的条件下， 面积最大这种情况？若存在， 请求出PMN 的面积的最大值； 若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）如图，OP1P2是等腰直角三角形证明 OP1OP2，P1OP290即可 （2）如图 2 中，在 AD 上取一点 E，使得 AEEC，连接 EC证明DECEAC+ECA30，设 CDBDx，则 ECEA2x，DEx，构建方程求出 x 即可解决问题 （3）存在如图，作点 P 关于 A
39、B 的对称点 G，作点 P 关于 BC 的对称点 H，连接 GH，交 AB，BC 于 点 M，N，此时PMN 的周长最小，易知 SBGHGHBO25，由 S四边形BMPNSBGM+SBNHS BGHSBMN，推出 SBMN的值最小时，S四边形BMPN的值最大，此时 SPMN的面积最大 【解答】解：（1）如图 1 中，OP1P2是等腰直角三角形 理由：点 P 关于边 OA、OB 的对称点分别为 P1，P2， OPOP1OP2，AOPAOP1，BOPBOP2， AOB45， P1OP22（AOP+BOP）90， OP1P2是等腰直角三角形 故答案为等腰直角 （2）如图 2 中，在 AD 上取一点
40、E，使得 AEEC，连接 EC ABAC，ADBC， EACBAC15， EAEC， EACECA15， DECEAC+ECA30，设 CDBDx，则 ECEA2x，DEx， AD2+， 2x+x2+， x1， BC2CD2， SABCBCAD2（2+）2+ （3）如图 3 中，存在 理由：如图，作点 P 关于 AB 的对称点 G，作点 P 关于 BC 的对称点 H，连接 GH，交 AB，BC 于点 M， N，此时PMN 的周长最小 BPBGBH10，GBMPBM，HBNPBN， PBM+PBN60， GBH120，且 BGBH， BGHBHG30， 过点 B 作 BOGH 于 O， BO5，HOGO5， GH10， SBGHGHBO25， S四边形BMPNSBGM+SBNHSBGHSBMN，SBGH面积为定值， SBMN的值最小时，S四边形BMPN的值最大，此时 SPMN的面积最大， 观察图象可知：OB 是BMN 的高，是定值， MN 最小时，BMN 的面积最小， 当BMN 是等边三角形时，MN 定值最小，此时 SBMN最小， 此时 GMMNNH， PMN 的最大值SBGH2SBMN2525 【点评】本题属于四边形综合题，考查了轴对称，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解 题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型
