1、湖北省部分重点中学湖北省部分重点中学 2022 届高三第一次联考届高三第一次联考数学试卷数学试卷 一、一、选择题选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1已知集合3, 2,1,2A ， 2 560Bx xx，则AB（ ） A 2 B1,2 C3, 2 D3, 2,1 2已知复数 z 的共轭复数是z，若31 2izz ，则z （ ） A 2 2 B 1 2 C 5 2 D 5 2 3若一个圆锥的母线长为 4，且其侧面积为其轴截面面积的 4 倍，则该圆锥的高为（ ） A 2 B C 1 2 D1 4将函数 sin 2f xx的图象
2、向右平移 6 个单位长度后，得到的图象关于 y 轴对称，则的值可以 为（ ） A 2 B 6 C 3 D 2 5已知圈 22 :232Cxy，直线 l 过点1,2A且与圆 C 相切，若直线 l 与两坐标轴交点分别为 M、N，则MN （ ） A2 2 B4 C3 2 D10 6若tan2x，则 2 sin2sin cos2sin sin 2 xxxx x （ ） A 4 5 B 4 5 C 8 5 D 8 5 7已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F且斜率为3 7的直线与双曲 线在第二象限的交点为 A，若 1212 0AFFF AF
3、uuuu ruuu ruuu u r ，则此双曲线的离心率为（ ） Ayx B2yx C 7 2 yx D3yx 8已知sin0.1a， 0.3 b ， 2 0.9 c ，则（ ） Acba Babc Cacb Dcab 二、选择题二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9已知二项式 6 1 ax x ，则下列说法正确的是（ ） A若2a，则展开式的常数为 60 B展开式中有理项的个数为 3 C若展开式中各项系数之和为 64，则3a D展开式中二项式系数最大为第 4 项
4、 10抛掷一颗质地均匀的骰子一次，记事件 M 为“向上的点数为 1 或 4” ，事件 N 为“向上的点数为奇数” ， 则下列说法正确的是（ ） AM 与 N 互斥但不对立 BM 与 N 对立 C 1 6 P MN D 2 3 P MN 11如图， 11 OAB， 122 A A B， 233 A A B是全等的等腰直角三角形 1 2OA ，1,2,3 i B i 处为直角 顶点，且 O， 1 A， 2 A， 3 A四点共线若点 1 P， 2 P， 3 P，分别是边 11 AB， 22 A B， 33 A B上的动点（包含端 点） ，记 113 IOB OP uuur uuu r ， 222 I
5、OB OP uuuu r uuur ， 331 IOB OP uuuu r uuu r ，则（ ） A 1 6I B 31 II C 32 II D 2 56I 12 已知数列 n a满足 1 0a ， 1 1 nnn aaa een N， 前n项和为 n S， 则下列选项中正确的是 （ ） （参 考数据：ln20.693，ln3 1.099） A 1 ln2 nn aa B 2020 666S C 3 lnln22 2 n an D 21n a 是单调递增数列， 2n a是单调递减数列 三、填空题三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13函数 1 cos sin x f
6、 x x 的图象在点 , 2 处的切线方程为_ 14已知椭圆的方程为 22 22 10 xy ab ab ， 1 F， 2 F为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上在第一象限的一 点， I 为 12 PFF的内心， 直线 PI 与 x 轴交于点 Q， 椭圆的离心率为 1 3 ， 若P QI Q u u u ru u r ， 则的值为_ 15已知函数 1 2 fx 为奇函数，设 2g xfx，则 122021 202220222022 ggg L _ 16 如图， 已如平面四边形 ABCD，3ABBC，1CD，5AD ，90ADC 沿直线 AC 将DAC 翻折成DAC，则AC BD uuu r uuu
7、r _；当平面DAC平面 ABC 时，则异面直线 AC 与 BD 所成角余弦 值是_ 四、解答题四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本题满分 10 分） 已知数列 n a满足 32 1 4 23 n aaa an n L，n N （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 1 41 n n n a b n ，求数列 n b前 n 项和2 n Sn 18 （本题满分 12 分） 在迎来中国共产党成立 100 周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人 间奇迹习近平总书记指出： “脱贫摘帽不是终点，而是新生活、新奋
8、斗的起点 ”某农户计划于 2021 年初 开始种植新型农作物已知该农作物每年每亩的种植成本为 2000 元，根据前期各方面调查发现，该农作物 的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表： 该农作物亩产量（kg） 900 1200 概率 0.5 0.5 该农作物市场价格（元/kg） 30 40 概率 0.4 0.6 （1）设 2021 年该农户种植该农作物一亩的纯收入为 X 元，求 X 的分布列； （2）若该农户从 2021 年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该 农户种植该农作物一亩至多一年的纯收入不少于 30000 元的概率 19 （本题
9、满分 12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，PA 底面 ABCD，ADAB，/DC AB，1PAADDC，2AB ， E 为棱 PB 上一点 （1）若 E 为棱 PB 的中点，求证：直线/CE平面 PAD； （2）若 E 为棱 PB 上存在异于 P、B 的一点，且二面角EACB的平面角的余弦值为 6 3 ，求直线 AE 与平面 ABCD 所成角的正弦值 20 （本题满分 12 分） 在ABC中，ACAB， 31 cos 32 A，8AB （1）若 15 7 4 ABC S ，求 BC； （2）若 1 cos 8 BC，求 ABC S 21 （本题满分 12 分） 已知函数 2 244lnf
10、 xaxaxx，aR （1）讨论 f x的单调性； （2） 已知 11 31ln 2 axxg x ， 若函数 yf x与 yg x图像有两个交点， 求 a 的取值范围 22 （本题满分 12 分） 如图所示，已知抛物线 2 4xy的焦点为 F，过 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，A 在 y 轴左侧且 AB 的斜 率大于 0 （1）当直线 AB 的斜率为 1 时，求弦长AB的长； （2）已知1,0P为 x 轴上一点，弦 AB 过抛物线的焦点 F，且斜率0k ，若直线 PA，PB 分别交抛物线 于 C、D 两点，问是否存在实数使得ABCD uuu ruuu r ，若存在，求出的值；若不存在，
11、说明理由 湖北省部分重点中学湖北省部分重点中学 2022 届高三第届高三第一一次联考次联考 数学试题参考答案与评分细则数学试题参考答案与评分细则 一、选择题一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B B C C D A 二、选择题：二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 题号 9 10 11 12 答案 AD CD ABC ACD 三、填空题：三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 10 2 xy 144 154042 162； 6 9 四、解答题：四、解答题：本题共 6 小题
12、，共 70 分。 17解：(1)当1n 时， 1 4a ； 由已知得 312 1 412 231 n aaa ann n L， 于是4414 n a nn n ，即42 n an n， 又 1 4a 也满足上式，所以 4 n an n N （2）由（1）知 2 14 41 n n n b n ， 而 2 21214 11 412121 nn n nnn b nnn 11 1 2121 n nn 当 n 为奇数时： 111111122 1 33557212121 n n S nnn L， 当 n 为偶数时： 111111112 11 3355721212121 n n S nnnn L 综上，
13、n S 22 21 n n ，n为奇数 2 21 n n ，n为偶数 18解：(1)由题意知： 900 30 200025000，1200 30 200034000， 900 40 200034000，1200 40 200046000， X 的所有可能取值为：25000，34000，46000， 设 A 表示事件“作物亩产量为 900kg” ，则 0.5P A ， B 表示事件“作物市场价格为 30 元/kg” ，则 0.4P B ， 则250000.5 0.40.2P XP AB， 340001 0.50.40.51 0.40.5P XP ABP AB， 460001 0.4 1 0.50
14、.5P XP AB， X 的分布列为： X 25000 34000 46000 P 0.2 0.5 0.3 (2)设 C 表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收人不少于 30000 元” ， 则 3000034000460000.50.30.8P CP XP XP X， 设这三年中有 Y 年有纯收入不少于 30000 元， 则有3,0.8YB， 这三年中该农户种植该农作物一亩至多一年纯收入不少于 3000 元的概率为： 3312 03 10.20.8 0.20.104P YCC 19解：(1)证明：取 PA 的中点 F，连 EF，DF， E 为 PB 的中点， 1 / 2 EFAB， 又/CD
15、AB，且 1 2 CDAB， /EF CD，所以四边形 CDFE 为平行四边形， /CE DF， 又CE平面 PAD，DF 平面 PAD， 故直线/CE平面 PAD (2)以 A 为坐标原点，以 AD，AB，AP 所在射线， 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示， 则0,0,0A，0,0,1P，0,2,0B，1,1,0C 设, ,E x y z，则, ,1PEx y z uuu r ，0,2, 1PB uuu r E 在棱 PB 上，可设01PEPB uuu ruuu r 故, ,10,2, 1x y z，解得 0 2 1 x y z ，即0,2 ,1E， 易知平面 AC
16、B 的法向量为0,0,1u r ， 设平面 ACB 的法向量 222 ,xvy z r ，0,2 ,1AE uuu r ，1,1,0AC uuu r ， 0 0 v AE v AC uuu r r uuu r r ，即 222 222 ,0,2 ,10 ,1,1,00 xy z xy z ， 即 22 22 210 0 yz xy 取 2 1x ，则 2 1y ， 2 22 0 11 z ， 故 2 1, 1,1v r 因为二面角EACB的平面角的余弦值为 6 3 ， 所以 6 cos, 3 u v r r ，即 6 3 u v uv r r rr ， 即 22 222 1 1 131 22
17、22 124 11 2 3 131 ，解得 1 2 1 0,1, 2 E ， 1 0,1, 2 AE uuu r 因为 z 轴平面 ABCD，所以平面 ABCD 的一个法向量为0,0,1m r 设 AE 与平面 ABCD 所成角为， 则 2 1 5 2 sin 5 1 11 2 m AE mAE uuu r r uuu r r 故 AE 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 5 5 20解：(1)由 31 cos 32 A，得 2 2 313 7 sin1 cos1 3232 AA 由 113 715 7 sin8 22324 ABC SAB ACAAC 得10AC ， 于是 22222 31
18、2cos8102 8 109 32 BCABACAB ACA ， 所以3BC (2)在 AC 上取点 D，使得DBCC， 于是 1 cos 8 ABD， 则 2 2 13 7 sin1 cos1 88 ABDABD ， sinsinsincoscossinADBAABDAABDAABD ， 3 71313 73 7 3283288 由sinsinABDADB，结合正弦定理知8ADAB， 于是 22222 31 2cos882 8 84 32 BDABADAB ADA ， 所以2BD 由DBCC知2CDBD， 所以8 2 10ACAD CD ， 所以 113 715 7 sin8 10 2232
19、4 ABC SAB ACA 21解： (1) 4 224fxaxax x 2 2244212axaxxax xx 若0a时， 当0,1x， 0fx， f x递增；1,x， 0fx， f x递减 若02a时，则 2 1 a ， 当0,1x， 0fx， f x递增；当 2 1,x a ， 0fx， f x递减； 当 2 ,x a ， 0fx， f x递增 若2a时，则 2 1 a ，0,x时 0fx， f x递增 若2a时， 2 01 a ， 当 2 0,x a ， 0fx， f x递增；当 2 ,1x a ， 0fx， f x递减； 当1,x， 0fx， f x递增 (2)由 f xg x得 2
20、 11 244ln31ln 2 axaxxaxx ， 即 2 3 1 3ln0 2 axxx，即 2 3 3ln 2 a xxxx， 所以 2 3 3ln 2 xx a xx ， 令 2 3 3ln 2 xx h x x x ，问题等价为直线ya与函数 x的图像有两个交点 2 2 1 3ln1 2 xxx x xh x ， 令 ln1mxxx ，显然 m x在0,递增， 10m， 即0,1x时， 0h x， h x递增； 当1,x时， 0h x， h x递减， 故 h x极大 3 1 2 h， 当1x 时， 22 3 3ln 3 2 0 xx x h xxx x x ， 当01x时，取 1 x
21、 e ， 2 2 13133 ln 1 22 11 11 3 0h eee e ee ee ， 故符合题意的必要条件是： 3 0 2 a 又当 3 0 2 a，由 5 1 a ， 而 22 53553 5 ln 5 22 5 9 33 9 2 1 5555 1 0 aaaa a a aaa ha a a ， 这说明，在两个交点的横坐标位于区间 1 ,1 3 和1, 5 a 内， 所以 3 0 2 a是充分的 故符合题意的必要条件是： 3 0 2 a 22解：设 11 ,A x y， 22 ,B x y，, CC C xy (1)由题意知，点 F 坐标为0,1，直线 AB 方程为1yx， 联立
22、2 1 4 xy xy ，得 2 610yy ， 12 6yy， 12 28AByy （2）解：设 2 1 1, 4 x A x ， 2 2 2, 4 x B x ， 33 ,C x y， 44 ,D xy， 其中 21 xx，显然 12 0 xx， 由ABCD uuu ruuu r 知/AB CD，且 AB CD ， 于是 ABPA CDPC ，即PAPC uu u ruuu r ， 22 31 44 xx ， 1 3 x x ， 同理 2 4 x x ，显然 2 4 x x ，则 2 22 , 4 xx D 设:1 AB lykx，代入 2 4xy得 2 440 xkx， 则 12 12
23、4 4 xxk xx 若 1 3 x x ，则 2 11 , 4 xx C ，此时 22 21 21 21 1 1 4 1 4 CD xx kxx xx ， 于是 1 4 4 kk ，1，舍去 若 1 3 x x ，则 2 11 , 4 xx C ，此时 22 21 21 21 1 1 4 1 4 CD xx kxx xx ， 2 2121 1 4 4 kxxxx ，即 2 1 1616 4 kk ， 2 1 1kk ， 2 2 1k k 由PAPC uu u ruuu r 得 1 1 11 x x ，即 1 1x ， 2 1 1 1 k x k 由 2 440 xkx得 2 1 221xkk， 2 2 1 1221 k kk k 2 1 1210 k k k ，由 2 1 1 k k 知210k ， 1 2 k 故 2 2 1 1 2 5 1 2
