1、20212022 学年顺德区普通高中教学质量检测（一）学年顺德区普通高中教学质量检测（一） 高三数学高三数学 第卷（选择题第卷（选择题 共共 60 分）分） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目 要求的要求的 1已知集合 2 20AxZ xx，1Bx x，则AB（ ） A1,1 B1,0 C1,2 D1,0,1,2 2已知为 i 虚数单位，复数 1i 12i z ，则 z 的共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三
2、象限 D第四象限 3cos1875（ ） A 62 2 B 26 4 C 26 4 D 62 4 4已知数列 n a的前 n 项和 2 2 n Sknn， 5 11a ，则 k 的值为（ ） A2 B2 C1 D1 5已知函数 2 1 ln1f xxx x ，则函数 f x的大致图象为（ ） ABC D 6如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，线段 11 B D上有两个动点 E，F，且 2 2 EF ，则三棱锥 ABEF的体积为（ ） A 1 12 B 1 4 C 2 12 D不确定 7已知正实数 a，b 满足： 12 1 ab ，则23aba b的最小值为（ ） A2 2
3、B32 2 C6 D无最小值 8 已知函数 3sin0, 2 f xx ， 且有 0 3 f xfx ， 33 fxfx ， 则 f x在区间0,4内至少有（ ）个零点 A4 B8 C10 D12 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9下列说法正确的是（ ） A命题：1,1x ， 2 230 xx的否定是：1,1x ， 2 230 xx
4、； B2 6 k ，kZ是 1 sin 2 的充要条件； C1a 是 1 1 a 的充分非必要条件； D2,2a 是命题：xR ， 2 10 xax 恒成立的充分非必要条件 10如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点 E，F 分别为 11 AB，BC 的中点，设过点 E，F， 1 D的平面 为，则下列说法正确的是（ ） A 1 EFD为等边三角形； B平面交正方体 1111 ABCDABC D的截面为五边形； C在正方体 1111 ABCDABC D中，存在棱与平面平行； D在正方体 1111 ABCDABC D中，不存在棱与平面垂直； 11 在ABC中， A， B， C 所对的边
5、为 a， b， c， 设 BC 边上的中点为 M，ABC的面积为 S， 其中2 3a ， 22 24bc，下列选项正确的是（ ） A若 3 A ，则3 3S BS 的最大值为3 3 C3AM D角 A 的最小值为 3 12如图，已知圆锥 OP 的底面半径3r ，侧面积为2 3，内切球的球心为 1 O，外接球的球心为 2 O， 则下列说法正确的是（ ） A外接球 2 O的表面积为16 B设内切球 1 O的半径为 1 r，外接球 2 O的半径为 2 r，则 21 3rr C过点 P 作平面截圆锥 OP 的截面面积的最大值为3 D设圆锥 OP 有一内接长方体，该长方体的下底面在圆锥底面上，上底面的四
6、个顶点在圆锥的侧面上，则 该长方体体积的最大值为 8 9 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 90 分）分） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分第第 16 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分分 13已知函数 1 4ln1,0 ,0 x xx f x ex ，则2ff _ 14已知向量1,1a r ，2,3b r ， 2aakb rrr ，则实数 k 的值为_ 15已知数列 n a， 1 1a ， 2 2a ，且 2 21 n nn aa ，则数列 n a的前 100 项的和为_ 16已知函数 2 2 22 x x x
7、f xaxe e ，当2a 时，函数 f x的零点个数为_；若函数 f x有 两个零点，则实数 a 的取值范围为_ 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本题满分 10 分） 已知函数 2sin0, 2 f xx 从下面的两个条件中任选其中一个： 2 2sin2 3sin cos1f xxxx ； 若 1 2f x， 2 0f x，且 12 xx的最小值为 4 ， 01f，求解下列问题： （）化简 f x的表达式并求 f x的单调递增区间； （）已知，, 6 2 ， 3f，
8、3f， 2 sin 10 ，求cos的值 （注：条件、只能任选其一，若两个都选，则以条件计分） 18（本题满分 12 分） 在ABC中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，sinsinsinABCB，角 A 的角平分线交 BC 于点 D，且3b，5c （）求角 A 的大小； （）求线段 AD 的长 19（本题满分 12 分） 已知数列 n a， n b的各项均为正数在等差数列 n a中， 6913 3aaa， 2 25 aa；在数列 n b中， 1 1b ， 22 11 320 nnnn bb bb （）求数列 n a， n b的通项公式； （）求数列 n n a b的前 n 项和为 n
9、T 20（本题满分 12 分） 已知函数 32 f xaxbxcxd的两个极值点为1，2，且在0 x处的切线方程为210 xy （）求函数 f x的表达式； （）当 1 ,3 3 x 时， 5 6 f xkx恒成立，求实数的取值范围 21（本题满分 12 分） 某商品的包装纸如图1， 其中菱形ABCD的边长为3， 且60ABC，3AEAF，2 3BEDF， 将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点 E，F，M，N 汇聚为一点 P，恰好形成如图 2 的四棱锥形的 包裹 （）证明PA 底面ABCD； （） 设点 T 为 BC 上的点， 且二面角BPA T的正弦值为 21 14 ， 试求 PC 与平
10、面 PAT 所成角的正弦值 22（本题满分 12 分） 设函数 1 lnf xax x （）当3a 时，求 f x的单调区间； （）任意正实数 1 x， 2 x，当 12 2xx时，试判断 12 f xf x与 21 2 2 a的大小关系并证明 2021202120222022 学年顺德区普通高中教学质量检测（一）学年顺德区普通高中教学质量检测（一） 高三数学参考答案高三数学参考答案 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要 求的求的 1 2
11、3 4 5 6 7 8 B A D C B A B D 二二多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 10 11 12 AC BD ABC AD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分第第 16 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分分 1313 144 15150 16 12
12、 ,2, 2 e e 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本题满分 10 分） 【解析】（）若选择条件 2 2sin2 3sin cos1f xxxx ； cos213sin21xxcos23sin2xx2sin 2 6 x 由222 262 kxk 得 2 222 33 kxk 即 36 kxk 所以 f x的单调递增区间为, 36 kk ，kZ 若选择条件，若 1 2f x， 2 0f x，即 1 x是 f x的最大值点， 2 x是 f x的零点 且 12 xx的最小值
13、为 4 ，设 f x的周期为 T，由此可得 44 T ， 即有：T，2 由 01f，可得： 02sin1f，即有 1 sin 2 可得：2 6 k 或 5 2 6 k kZ，再结合 2 ，可得 6 （注：若此处没有写因为 2 而得到 6 ，此步不得分） 综上可得： 2sin 2 6 f xx 后续解法同上 （）由 2sin 23 6 f ，可得： 3 sin 2 62 ， 0, 2 ， 7 2, 626 ， 从而可得： 2 2 63 ，即有 4 , 6 2 ，, 4 12 由 2 sin 10 ，可得： 7 2 cos 10 故 4 coscoscoscossinsin 5 18（本题满分 1
14、2 分） 【解析】（）将sinsinsinCABAB 代入sinsinsinABCB得 sincossincossincossincossinABBAABBAB 2sincossin0BAB， 又sin0B，所以 1 cos 2 A， 又0,A，故 3 A （）方法 1：因为 AD 为角 A 的角平分线，所以30BADCAD 在ABC中，由余弦定理得 222 2cos19abcbcA，故19a 而 222 7 19 cos 238 acb B ac 故 2 3 57 sin1 cos 38 BB 所以 314 19 sinsinsincos 62219 ADBBBB 在ABD中，由正弦定理得
15、sinsin cAD ADBB ，故 15 3 8 AD 方法 2：因为 AD 为角 A 的角平分线，所以30BADCAD 由 ABCABDACD SSS 得 111 3 5 sin605sin303sin30 222 ADAD 解得 15 3 8 AD 方法 3：因为 AD 为角 A 的角平分线，所以30BADCAD 115 3 sin 24 ABC SbcA 而 1 sin30 5 2 1 3 sin30 2 ABD ACD cAD S S bAD 故 575 3 832 ABDABC SS 即 175 3 5sin30 232 AD ，解得 15 3 8 AD 19（本题满分 12 分）
16、 【解析】（）方法 1：设数列 n a的公差为 d，由题意得： 111 2 11 58123 4 adadad adad 解得 1 1a ，2d ，故21 n an 由 22 11 320 nnnn bb bb 可得： 11 30 nnnn bbbb ，即有 1 1 3 nn bb 或 1nn bb （舍） 从而有数列 n b为首项为 1，公比为 1 3 的等比数列，即可得 1 1 3 n n b 方法 2： 6913 3aaa及 69132 aaaa得 2 3a ， 2 52 9aa 设数列 n a为的公差为 d，则 1 1 3 49 ad ad 解得 1 1 2 a d 故21 n an
17、求数列 n b的方法同上 （） 1 21 3 nn n n a b 1 12 23 3nn n Taba ba ba b 1231 11352321 333333 n nn nn T 得 231 2111121 12 333333 n nn n T 1 11 1 2133 12 1 3 1 3 n n n 1 121 2 33 nn n 故 1 1 3 3 n n n T 20（本题满分 12 分） 【解析】（） 2 32fxaxbxc 由愿意可得： 1320 21240 fabc fabc （*） 又因为0 x处的切线方程为210 xy 故 01fd， 02fc 代入（*）式解得 1 3 a
18、 ， 1 2 b 故 32 11 21 32 f xxxx （）当0 x时， 5 6 f xkx恒成立，此时kR 当0,3x时，由 5 6 f xkx分离参数可得 2 111 2 326 kxx x 设 2 111 2 326 g xxx x ，则 2 32 222 1 41 211431 32666 xxx xx gxx xxx 故 g x在,0上单调递减，0,1上单调递减，1,上单调递增 故当0,3x时， g x的最小值为 12g ，此时2k 当 1 ,0 3 x 时，由 5 6 f xkx分离参数可得 2 111 2 326 kxx x 由上述过程知 g x在 1 ,0 3 上单调递减，
19、故 g x的最大值为 162 327 g 此时 62 27 k 综上：k 的取值范围为 62 , 2 27 21（本题满分 12 分） 【解析】（）由菱形ABCD的边长为 3，3AEAF，2 3BEDF 可得： 222 BEABAE，即有ABAE 同理 222 DFADAF，即有ADAF 在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得：PAAB，PAAD，ABADA 可得PA 底面ABCD （）解法一：如图，以点 A 为原点，AB 为 x 轴，过点 A 作 AB 的垂线为 y 轴，AP 为 z 轴建立空间直角坐 标系 由第（）问可得PA 底面ABCD，可得：PAAB，PAAT 则BAT为二面角BPA T
20、的平面角，由题意可得： 21 sin 14 BAT 考虑BAT，60ABT，可得 3 21 sinsin60 14 ATBABT 利用正弦定理 sinsin ABBT ATBBAT 可得：1BT ，可得点 T 的坐标为 53 ,0 22 点 0,0, 3P，0,0,0A， 3 3 3 ,0 22 C 设面PAT的法向量为, ,mx y z u r ，则有 0 0 m AP m AT u r u r uuu r，即： 30 530 z xy 令3x ，则有 3, 5 3,0m u r ， 3 3 3 ,3 22 PC uuu r 则有： 3 7 cos, 14 m PC m PC m PC u
21、r uuu r u r uuu r u r uuu r 则 PC 与面 PAT 所成角的正弦值为 3 7 14 解法二：由第（）问可知PA 底面ABCD，3AC ，可得：2 3PC 根据解法一可知，1BT ， 再利用余弦定理可得：7AT ，即点 T 为 BC 上靠近点 B 的三等分点 设过点 C 作平面 PAT 的垂线，垂足为 Q，连接 PQ，则CPQ为 PC 与面 PAT 所成角 考虑三棱锥PACT，利用等体积法 P ACTC PAT VV 可得： 3 21 7 CQ 3 7 sin 14 CQ CPQ PC 则 PC 与面 PAT 所成角的正弦值为 3 7 14 解法三：由PA 面ABCD
22、，可得：PAAB，PAAT 故BAT为二面角BPAA的平面角，由题意可得： 21 sin 14 BAT BAT为锐角，所以 5 7 cos 14 BAT 故 21 sinsin 60 7 CATCAT 过点 C 作 CQ 垂直于 AT 于 Q，连接 CQ、AC 则 3 21 sin 7 CQACCAT PAAC，2 3PC PA 面ABCD，PACQ 又因为ATCQ，ATPAA，故CQ 面 PAT 故CPQ为PC与面 PAT 所成的角， 3 7 sin 14 CPQ 即 PC 与面 PAT 所成角的正弦值为 3 7 14 22（本题满分 12 分） 【解析】（） 1 lnf xxx x ，0
23、x， 2 2 31xx fx x 令 0fx得 3535 22 x ；令 0fx得 35 0 2 x 或 35 2 x 故 f x的增区间为 35 35 , 22 ，减区间为 35 0, 2 ， 35 , 2 （）结论： 2 12 1 2 2 f xf xa ，证明如下： 121122 12 11 lnlnf xf xxaxxax xx 12 121212 1212 2 ln2ln xx xxax xax x x xx x 设 12 tx x，由 1 x， 2 x均为正数且 2 12 12 1 2 xx x x 得01t 设 2 2ln01g tatt t ，则 22 22aat g t ttt 当2a时，由01t 得20at 即 0g t 故 g t单调递减，从而 10g tg 而 21 20 2 a，此时 2 12 1 2 2 f xf xa 成立 当2a时， g t在 2 0, a 上单调递减，在 2 ,1 a 上单调递增 故 g t的最小值为 22 2lngaa aa 此时只需证 221 2ln2 2 aaa a ，化简后即证 21 ln10 2 a a 设 21 ln12 2 h aaa a ， 2 0 2 a h a a 故 h a单调递增，从而有 20h ah，即证 21 ln10 2 a a 综上：不等式得证
