1、2020-2021 学年陕西省西安市碑林区学年陕西省西安市碑林区九年级九年级上第一次月考数学试卷上第一次月考数学试卷 一.选择题（共 10 小题，每小题 3 分，计 30 分。每小题只有一个选项是符合题意的） 1下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ） Ay By Cy Dy+2 2一个圆柱体钢块，正中央被挖去了一个长方体孔，其俯视图如图所示则此圆柱体钢块的主视图可能是 下列选项中的（ ） A B C D 3方程 x2x 的解是（ ） Ax13，x23 Bx11，x20 Cx11，x21 Dx13，x21 4如图，ABCDEF，若 AC4，CE2，BD3，则 BF 的长为（ ） A1.5
2、 B2 C4.5 D5 5若点 A（3，4） 、B（2，m）在同一个反比例函数的图象上，则 m 的值为（ ） A6 B6 C12 D12 6在平面直角坐标系中，ABO 三个顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（4，0） ，O（0，0） ，以原点 O 为位似中心，把这个三角形放大为原来的 2 倍，得到CDO，则点 A 的对应点 C 的坐标为（ ） A （4，8） B （4，8） C （4，8）或（4，8） D （1，2）或（1，2） 7某商场利用如图所示的转盘进行抽奖游戏，规定：顾客随机转转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影 区域就能获奖（若指向分界线，则重转） 通过大量游戏，发现中奖的频率稳定
3、在 0.2 附近，那么可以推 算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（ ） A90 B72 C60 D45 8如图，在ABCD 中，ABBC5对角线 BD8，则ABCD 的面积为（ ） A20 B24 C40 D48 9 已知关于 x 的一元二次方程 x22 （1m） x+m20 的两实数根为 x1， x2， 若 x1x21， 则 m 的值为 （ ） A1 B1 C1 或1 D 10如图，矩形 ABCD 的边长 AB2，AD3，E 为 AB 的中点，F 在边 BC 上，且 BF2FC，AF 分别与 DE、DB 相交于点 M，N，则 MN 的长为（ ） A B C D 二填空题（共 4 小题，每小题
4、 3 分，计 12 分） 11若一元二次方程 x22x+k0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 12如图，在矩形 ABCD 中，AD2AB，E 是 AD 上一点，且 BEBC，则ECD 的度数是 13在平面直角坐标系中，等边ABO 如图放置，其中 B（2，0） ，则过点 A 的反比例函数的表达式 为 14如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 内有一动点 P，且 BP连接 CP，将线段 PC 绕点 P 逆时针旋 转 90得到线段 PQ连接 CQ、DQ，则DQ+CQ 的最小值为 三解答题（共 11 小题，计 78 分。解答应写出过程） 15解方程：2x24x30 16若 m、n 是一元
5、二次方程 x23x+10 的两个根，求代数式：m2+n22m2n+2020 的值 17如图，已知 RtABC，BCA90请在斜边 AB 边上求作一点 M，使 CMAB （要求：尺规作 图，保留作图痕迹，不写作法） 18 如图，在ABCD 中，E 是 BC 上一点，连接 AE，在 AE 上取点 F，使得DFEC 求证：ADABAEDF 19 如图，一次函数 yx2 的图象与反比例函数 y图象交于 A、B 两点 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）直接写出不等式x2的解集 20 雨后的一天晚上， 小明和小亮想利用自己所学的有关 测量物体的高度 的知识， 测量路灯的高度 AB 如 图所示，当小明直
6、立在点 C 处时，小亮测得小明的影子 CE 的长为 5 米；此时小明恰好在他前方 2 米的 点 F 处的小水潭中看到了路灯点 A 的影子已知小明的身高为 1.8 米，请你利用以上的数据求出路灯的 高度 AB 21 猕猴桃是一种营养价值丰富的水果，深受大家的喜爱某水果店购进一批优质猕猴桃，发现这种猕猴桃 在一天内的销售量 y（千克）与该天的售价 x（元/千克）之间的数量关系满足一次函数关系，其中两天 的销售情况如图表所示： 日期 售价 x（元/千克） 销售量 y（千克） 12 日 25 35 13 日 22 38 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）已知该水果店购进这种猕猴桃的进价为 1
7、0 元/千克，售价要求不低于 15 元/千克，且不超过 30 元/ 千克某天若该水果店销售这种猕猴桃共获利 400 元，那么这天这种猕猴桃的售价为每千克多少元？ 22 小亮和小丽进行摸球试验他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四 个小球 这些小球除颜色外其它都相同， 试验规则： 先将布袋内的小球摇匀， 再从中随机摸出一个小球， 记下颜色后放回，称为摸球一次 （1）小亮随机摸球 10 次，其中 6 次摸出的是红球，求这 10 次中摸出红球的频率； （2）若小丽打算随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球没有红球的概率 23 如图，四边形 ABCD 是
8、菱形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，分别交 BD、CD 于点 E、F，连接 CE （1）求证：ADECDE； （2）当 AE2EF 时，判断 FG 与 EF 有何数量关系？并证明你的结论 24 如图，已知直线 AB：yx 与双曲线 y交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 4 （1）求 k 的值； （2） 将直线 AB 绕坐标原点 O 旋转得到另一条直线 l， 交双曲线 y于 P， Q 两点 （P 点在第一象限） 若 由点 A、B、P、Q 为顶点的四边形面积为 24，求点 P 的坐标，并判断此时四边形的形状 25 问题提出 （1）如图，在ABC 中，BAC90，若 BC6，则A
9、BC 面积的最大值为 ； 问题探究 （2）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC若 AD2，BC6，对角线 ACBD，求四边形 ABCD 的最 大面积； 问题解决 （3）随着社会的多元化发展，研学观光园走进了我们的生活如图所示的四边形 ABCD 为某研学观 光园的规划设计图，他们打算分为两个区域，其中一个区域为观光采摘区，如ABD 所示，要求建在一 条笔直的公路 AB 的旁边；另一个区域为研学探究区，如BDC 所示，要求满足BDC90从实用 和美观的角度还要求 ADBC，且 AD：BC1：4已知 AB6km，那么是否存在这样的面积最大的四 边形 ABCD？若存在，请你求出这个最大值；若不存在，
10、说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ） Ay By Cy Dy+2 【分析】根据反比例函数的定义进行判断 【解答】解：A、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意； B、该函数是反比例函数，故本选项符合题意； C、该函数是 y 与（x+2）成反比例函数关系，故本选项不符合题意； D、该函数不符合反比例函数的定义，故本选项不符合题意 故选：B 2一个圆柱体钢块，正中央被挖去了一个长方体孔，其俯视图如图所示则此圆柱体钢块的主视图可能是 下列选项中的（ ） A B C D 【分析】主视图是从物体正面
11、看所得到的图形几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡 而看不见的部分的轮廓线化成虚线 【解答】解：此圆柱体钢块的主视图可能是： 故选：C 3方程 x2x 的解是（ ） Ax13，x23 Bx11，x20 Cx11，x21 Dx13，x21 【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方 程来求解 【解答】解：方程变形得：x2x0， 分解因式得：x（x1）0， 可得 x0 或 x10， 解得：x11，x20 故选：B 4如图，ABCDEF，若 AC4，CE2，BD3，则 BF 的长为（ ） A1.5 B2 C4.5 D5 【分析】直接根
12、据平行线分线段成比例定理即可得出结论 【解答】解：直线 ABCDEF，AC4，CE2，BD3， ， BF4.5， 故选：C 5若点 A（3，4） 、B（2，m）在同一个反比例函数的图象上，则 m 的值为（ ） A6 B6 C12 D12 【分析】根据反比例函数的解析式可知 xyk，然后根据题意即可求得 m 的值 【解答】解：点 A（3，4） 、B（2，m）在同一个反比例函数的图象上， 3（4）（2）m， 解得，m6， 故选：B 6在平面直角坐标系中，ABO 三个顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（4，0） ，O（0，0） ，以原点 O 为位似中心，把这个三角形放大为原来的 2 倍，得到CDO
13、，则点 A 的对应点 C 的坐标为（ ） A （4，8） B （4，8） C （4，8）或（4，8） D （1，2）或（1，2） 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对 应点的坐标的比等于 k 或k即可求得答案 【解答】解：ABO 三个顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（4，0） ，O（0，0） ，以原点为位似中 心，将这个三角形放大为原来的 2 倍，得到CDO， 点 A 的对应点 C 的坐标为： （4，8）或（4，8） 故选：C 7某商场利用如图所示的转盘进行抽奖游戏，规定：顾客随机转转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影 区域就能获奖（
14、若指向分界线，则重转） 通过大量游戏，发现中奖的频率稳定在 0.2 附近，那么可以推 算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（ ） A90 B72 C60 D45 【分析】由概率公式的意义即可得出答案 【解答】解：推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是 3600.272， 故选：B 8如图，在ABCD 中，ABBC5对角线 BD8，则ABCD 的面积为（ ） A20 B24 C40 D48 【分析】连接 AC 交 BD 于 O，判定四边形 ABCD 是菱形，即可得出 ACBD，再根据勾股定理即可得到 AO 的长，最后利用菱形 ABCD 的面积为进行计算即可 【解答】解：如图所示，连接 AC 交 BD
15、 于 O， 在ABCD 中，ABBC5， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， 又对角线 BD8， BO4， 在 RtAOB 中，AO3， AC2AO6， 菱形 ABCD 的面积为24 故选：B 9 已知关于 x 的一元二次方程 x22 （1m） x+m20 的两实数根为 x1， x2， 若 x1x21， 则 m 的值为 （ ） A1 B1 C1 或1 D 【分析】根据根与系数的关系得到 x1x2m21，易得 m 的值 【解答】解：根据题意知，x1x2m21，则 m1 或1 m1 时，原方程无解，故 m1， 故选：A 10如图，矩形 ABCD 的边长 AB2，AD3，E 为 AB 的中点，F
16、 在边 BC 上，且 BF2FC，AF 分别与 DE、DB 相交于点 M，N，则 MN 的长为（ ） A B C D 【分析】首先过 F 作 FHAD 于 H，交 ED 于 O，于是得到 FHAB2，根据勾股定理求得 AF，根据 平行线分线段成比例定理求得 OH，由相似三角形的性质求得 AM 与 AF 的长，根据相似三角形的性质， 求得 AN 的长，即可得到结论 【解答】解：过 F 作 FHAD 于 H，交 ED 于 O，则 FHAB2， BF2FC，BCAD3， BFAH2，FCHD1， AF2， OHAE， ， OHAE， OFFHOH2， AEFO， AMEFMO， ， AMAF， AD
17、BF， ANDFNB， ， ANAF， MNANAM 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 11若一元二次方程 x22x+k0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k1 【分析】直接利用根的判别式得出b24ac44k0 进而求出答案 【解答】解：一元二次方程 x22x+k0 有两个不相等的实数根， b24ac44k0， 解得：k1， 则 k 的取值范围是：k1 故答案为：k1 12如图，在矩形 ABCD 中，AD2AB，E 是 AD 上一点，且 BEBC，则ECD 的度数是 15 【分析】根据矩形性质得出DABC90，ADBC，DCAB，根据 ADBCBE2AB，得出
18、AEB30EBC，求出ECB 的度数，即可求出ECD 的度数 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， DABC90，ADBC，DCAB， AD2AB， BCBE2AB， AEB30， BEBC BECBCE（18030）75 ECD907515， 故答案为：15 13在平面直角坐标系中，等边ABO 如图放置，其中 B（2，0） ，则过点 A 的反比例函数的表达式为 y 【分析】作 ACOB，根据等边三角形的性质、正弦和余弦的定义分别求出 OC、AC，利用待定系数法 求出反比例函数解析式 【解答】解：过点 A 作 ACOB 于 C， 设过点 A 的反比例函数的表达式为 y， OAB 是等边三角形
19、， OA2，AOC60， OCOAcosAOC21，ACOAsinAOC2， 点 A 的坐标为（1，） ， ， 解得，k， 过点 A 的反比例函数的表达式为 y， 故答案为：y 14如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 内有一动点 P，且 BP连接 CP，将线段 PC 绕点 P 逆时针旋 转 90得到线段 PQ连接 CQ、DQ，则DQ+CQ 的最小值为 5 【分析】连接 AC、AQ，先证明BCPACQ 得，即 AQ2，在 AD 上取 AE1，证明QAE DAQ 得 EQQD，故DQ+CQEQ+CQCE，求出 CE 即可 【解答】解：如图，连接 AC、AQ， 四边形 ABCD 是正方形，PC
20、绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 PQ， ACBPCQ45， BCPACQ，cosACB，cosPCQ， BCPACQ， ， BP， AQ2， Q 在以 A 为圆心，AQ 为半径的圆上， 在 AD 上取 AE1， ，QAEDAQ， QAEDAQ， ，即 EQQD， DQ+CQEQ+CQCE， 连接 CE， CE5， DQ+CQ 的最小值为 5 故答案为：5 三解答题三解答题 15解方程：2x24x30 【分析】公式法求解可得 【解答】解：a2，b4，c3， 1642（3）400， 则 x 16若 m、n 是一元二次方程 x23x+10 的两个根，求代数式：m2+n22m2n+2020 的值
21、【分析】利用根与系数的关系得到 m+n3，mn1，再利用完全平方公式得到 m2+n22m2n+2020 （m+n）22mn2（m+n）+2020，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：m、n 是一元二次方程 x23x+10 的两个根， m+n3，mn1， m2+n22m2n+2020（m+n）22mn2（m+n）+2020 322123+2020 2021 17如图，已知 RtABC，BCA90请在斜边 AB 边上求作一点 M，使 CMAB （要求：尺规作 图，保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作线段 AB 的垂直平分线 EF，直线 EF 交 AB 于点 M，连接 CM，线段 CM 即为所求
22、 【解答】解：如图，线段 CM 即为所求 18 如图，在ABCD 中，E 是 BC 上一点，连接 AE，在 AE 上取点 F，使得DFEC 求证：ADABAEDF 【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质 【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；应用意识 【答案】见解答 【分析】根据四边形 ABCD 是平行四边形、DFEC 证明ABEDFA，可得，即可证得 ADABAEDF 【解答】证明：ADBC， AEBDAF， ABCD， B+C180， AFD+DFE180，DFEC， BAFD， ABEDFA， ， ADABAEDF 19 如图，一次函数 yx2 的图象与反比例函数 y图象交于
23、 A、B 两点 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）直接写出不等式x2的解集 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力 【答案】 （1）A 点坐标为（3，1） ，B 点坐标为（1，3） ； （2）x3 或 0 x1 【分析】 （1）解方程组，即可得到 A、B 两点的坐标； （2）根据图象即可求得 【解答】解： （1）根据题意得， 解方程组得或， 所以 A 点坐标为（3，1） ，B 点坐标为（1，3） ； （2）由图象可知，不等式x2的解集是 x3 或 0 x1 20 雨后的一天晚上， 小明和小亮想利用自己所学的有关 测量物体的高
24、度 的知识， 测量路灯的高度 AB 如 图所示，当小明直立在点 C 处时，小亮测得小明的影子 CE 的长为 5 米；此时小明恰好在他前方 2 米的 点 F 处的小水潭中看到了路灯点 A 的影子已知小明的身高为 1.8 米，请你利用以上的数据求出路灯的 高度 AB 【考点】相似三角形的应用；中心投影 【专题】图形的相似；应用意识 【答案】4.2 米 【分析】设 ABx 米，BFy 米利用相似三角形的性质，构建方程组求解即可 【解答】解：设 ABx 米，BFy 米 CDAB， ECDEBA， ， ， 由题意，DCFABF90，DFCAFB， DCFABF， ， ， 由解得， 经检验，的分式方程组的
25、解 AB4.2 米 21 猕猴桃是一种营养价值丰富的水果，深受大家的喜爱某水果店购进一批优质猕猴桃，发现这种猕猴桃 在一天内的销售量 y（千克）与该天的售价 x（元/千克）之间的数量关系满足一次函数关系，其中两天 的销售情况如图表所示： 日期 售价 x（元/千克） 销售量 y（千克） 12 日 25 35 13 日 22 38 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）已知该水果店购进这种猕猴桃的进价为 10 元/千克，售价要求不低于 15 元/千克，且不超过 30 元/ 千克某天若该水果店销售这种猕猴桃共获利 400 元，那么这天这种猕猴桃的售价为每千克多少元？ 【考点】一元二次方程的应用
26、；一次函数的应用 【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；应用意识 【答案】 （1）yx+60； （2）每千克 20 元 【分析】 （1）根据这两天的销售数据，利用待定系数法即可求出 y 与 x 的函数关系式； （2）根据总利润每千克的利润日销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得 出结论 【解答】解： （1）设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b（k0） ， 将（25，35） ， （22，38）代入 ykx+b，得：， 解得：， y 与 x 的函数关系式为 yx+60 （2）依题意，得： （x10） （x+60）400， 化简，得：x270 x+10000，
27、解得：x120，x250（不合题意，舍去） 答：这天这种猕猴桃的售价为每千克 20 元 22 小亮和小丽进行摸球试验他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四 个小球 这些小球除颜色外其它都相同， 试验规则： 先将布袋内的小球摇匀， 再从中随机摸出一个小球， 记下颜色后放回，称为摸球一次 （1）小亮随机摸球 10 次，其中 6 次摸出的是红球，求这 10 次中摸出红球的频率； （2）若小丽打算随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球没有红球的概率 【考点】列表法与树状图法 【专题】概率及其应用；数据分析观念 【答案】 （1）0.6； （2） 【分析】
28、（1）由频率定义即可得出答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球没有红球的情况， 利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解： （1）小亮随机摸球 10 次，其中 6 次摸出的是红球，这 10 次中摸出红球的频率 6100.6； （2）画树状图得： 共有 16 种等可能的结果，这两次摸出的球没有红球的有 4 种情况， 这两次摸出的球没有红球的概率为 23 如图，四边形 ABCD 是菱形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，分别交 BD、CD 于点 E、F，连接 CE （1）求证：ADECDE； （2）当 AE2EF 时，判断 FG 与 EF 有
29、何数量关系？并证明你的结论 【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力 【答案】 （1）证明过程见解答； （2）FG3EF，证明过程见解答 【分析】 （1）根据菱形的性质，可以得到 DADC，ADECDE，然后根据 SAS，即可证明结论成 立； （2）先写出 FG 与 EF 的数量关系，然后根据全等三角形的性质和相似三角形的判定和性质，可以得到 EG 和 EF 的关系，然后即可得到 FG 与 EF 的数量关系 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是菱形， DADC，ADECDE， 在ADE 和CDE 中，
30、 ， ADECDE（SAS） ； （2）FG3EF， 证明：由（1）知，ADECDE， DAEDCE，AECE， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC， DAEG， DCEG， 又CEFGEC， CEFGEC， ， CE2EFEG， AE2EF， CE2EF， （2EF）2EFEG， EG4EF， FGEGEF4EFEF3EF， 即 FG3EF 24 如图，已知直线 AB：yx 与双曲线 y交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 4 （1）求 k 的值； （2） 将直线 AB 绕坐标原点 O 旋转得到另一条直线 l， 交双曲线 y于 P， Q 两点 （P 点在第一象限） 若 由点 A、B、P
31、、Q 为顶点的四边形面积为 24，求点 P 的坐标，并判断此时四边形的形状 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力 【答案】 （1）k8； （2）P1（2，4） ，P2（8，1） 【分析】 （1）将点 A 的横坐标为 4 代入直线 yx 可求出点 A 的坐标，再代入反比例函数关系式可求出 k 值， （2）分两种情况进行解答，一是点 P 在点 A 上方曲线上，将平行四边形 APBQ 的四分之一，转化为梯 形面积，设出坐标，构造方程求解即可，二是点 P 在点 A 的下方曲线上，方法相同，只是表示线段的代 数式不同，构造方程求解，舍去
32、不符合题意的解 【解答】解： （1）把点 A 的横坐标为 4代入直线 yx 得，y2， 点 A（4，2）代入 y得，2， k8； （2）如图：由对称性得，OAOB，OPOQ， 四边形 APBQ 是平行四边形， SAOPSAPBQ246S梯形AMNP， 设点 P（x，） ，则 PN，ONx， 当点 P 在点 A 上方的曲线上， （+2） （4x）6， 整理得，x2+6x160， 解得：x12，x28（舍去） ， 当 x2 时，y4， 点 P（2，4） ， 当点 P 在点 A 下方的曲线上， （+2） （x4）6， 整理得，x26x160， 解得：x18，x22（舍去） ， 当 x8 时，y1，
33、点 P（8，1） ， 符合条件的点 P 有两个，P1（2，4） ，P2（8，1） 25 问题提出 （1）如图，在ABC 中，BAC90，若 BC6，则ABC 面积的最大值为 ； 问题探究 （2）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC若 AD2，BC6，对角线 ACBD，求四边形 ABCD 的最 大面积； 问题解决 （3）随着社会的多元化发展，研学观光园走进了我们的生活如图所示的四边形 ABCD 为某研学观 光园的规划设计图，他们打算分为两个区域，其中一个区域为观光采摘区，如ABD 所示，要求建在一 条笔直的公路 AB 的旁边；另一个区域为研学探究区，如BDC 所示，要求满足BDC90从实用 和
34、美观的角度还要求 ADBC，且 AD：BC1：4已知 AB6km，那么是否存在这样的面积最大的四 边形 ABCD？若存在，请你求出这个最大值；若不存在，说明理由 【考点】四边形综合题 【专题】几何综合题；梯形；推理能力 【答案】 （1）9； （2）16； （3）存在这样的面积最大的四边形 ABCD，四边形 ABCD 的面积的最大值为 30km2 【分析】 （1）过点 A 作 ADBC 于 D，作ABC 的外接圆O，由BAC90得 BC 是直径，过圆心 O 作 OABC 与点 A 同侧交O 于点 A，推出BAC90，可得 RtABC 的 BC 边上的高的最大 值为 OA，此时ABC 的面积最大，
35、利用三角形的面积公式即可求解； （2）如图中，设 AC 交 BD 于 O，过点 O 作 OHBC 于 H，交 AD 于 E，取 BC 的中点 F，连接 OF由 OHOF，推出 OH 的最大值为 3，当 OH 的值最大时，点 H 与 F 重合，此时BOC，AOD 是等腰直 角三角形，OEAD1，由此即可解决问题解法二：如图中，过点 D 作 DMBE 于 M，作 DE AC 交 BC 的延长线于 E先证出四边形 ADEC 是平行四边形，则 ADCE2，BE8，可得 S四边形ABCD （AD+BC） DM4DM，则 DM 的值最大时，四边形 ABCD 的面积最大，当 DBDE 时，DM 的值 最大，
36、最大值BE4，即可求得四边形 ABCD 的面积的最大值为 16； （3）如图中，设 ADakm，则 BC4akm，过点 D 作 DFBC 于 F，DEBA 交 BA 延长线于 E，作 DHAB 交 BC 于 H，可得四边形 ABHD 是平行四边形，DHAB6km，由 S四边形ABCDSABD+SBCD ABDE+BCDF， 由 DEAD， DFDH 可得出当 ADBA， DHBC 时四边形 ABCD 的面积最大， 证明ABDDCB，根据相似三角形的性质求出 a 的值，可得出 AD、BC、BD、CD 的值，即可解决 问题 【解答】解： （1）过点 A 作 ADBC 于 D，作ABC 的外接圆O，
37、过圆心 O 作 OABC 与点 A 同侧 交O 于点 A， BAC90， BC 是直径， BAC90， RtABC 的 BC 边上的高的最大值为半径 OA， BC6， OA3， 此时 ABAC，ABC 的面积最大， SABC最大639， ABC 面积的最大值为 9， 故答案为：9； （2）如图中，过点 O 作 OHBC 于 H，交 AD 于 E，取 BC 的中点 F，连接 OF ACBD， BOC90， BFCF， OFBC3， OHBC， OHOF， OH 的最大值为 3， 当 OH 的值最大时，点 H 与 F 重合，此时BOC，AOD 是等腰直角三角形，OEAD1， 四边形 ABCD 的面
38、积的最大值（2+6）（3+1）16； 解法二：如图中，过点 D 作 DMBE 于 M，作 DEAC 交 BC 的延长线于 E ACBC， BOC90， DEAC， BDEBOC90， ADCE，DEAC， 四边形 ADEC 是平行四边形， ADCE2， BC6， BE8， S四边形ABCD（AD+BC） DM4DM， DM 的值最大时，四边形 ABCD 的面积最大， BE8，BDE90， 当 DBDE 时，DM 的值最大，最大值BE4， 四边形 ABCD 的面积的最大值为 16； （3）如图中，设 ADakm，则 BC4akm，过点 D 作 DFBC 于 F，DEBA 交 BA 延长线于 E，作 DHAB 交 BC 于 H， ADBC， 四边形 ABHD 是平行四边形， DHAB6km， S四边形ABCDSABD+SBCDABDE+BCDF， DEAD，DFDH， 当 ADBA，DHBC 时，四边形 ABCD 的面积最大， 当 ADBA，DHBC 时，BADCDB90， 又ADBC， ADBDBC， ABDDCB， ，即 BD2ADCB， a2+62a4a，解得：a2， AD2，BC8，BD4，CD12， S四边形ABCD最大SABD+SBCDABAD+BDCD62+41230（km2） ， 存在这样的面积最大的四边形 ABCD，四边形 ABCD 的面积的最大值为 30km2
